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- 2021-04-13 发布
合作一中2019-2020学年第一学期期末考试高二理科数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知，则“”是“”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】若则不存在，
若，可得，故选D
2.命题“若，则”的逆否命题是（ ）
A. 若，则且 B. 若，则
C. 若或，则 D. 若或，则
【答案】D
【解析】
分析】
根据逆否命题的定义即可写出原命题的逆否命题.
【详解】根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：
若，或，则.
故选：D.
【点睛】考查逆否命题的定义，以及写出原命题的逆否命题的方法.
3.向量，，若与垂直，则实数k=( )
A. 6 B. －7 C. 7 D. －6
【答案】C
【解析】
【分析】
首先表示出的坐标，再根据与垂直，则，即可得解；
【详解】解：因为，，
所以
因为与垂直，所以，即，解得，
故选：C
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，向量垂直的坐标表示，属于基础题.
4.如果命题“p∨q”与命题“┓p”都是真命题，那么( )
A. 命题p不一定是假命题 B. 命题q一定为真命题
C. 命题q不一定是真命题 D. 命题p与命题q的真假相同
【答案】B
【解析】
因为是真命题，所以一定为假命题，所以只有为真命题时才为真，选B
5.空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是( )
A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），=﹣2，从而得到直线AB与CD平行．
【详解】∵空间直角坐标系中，
A（1，2，3），B（﹣1，0，5），C（3，0，4），D（4，1，3），
∴=（﹣2，﹣2，2），=（1，1，﹣1），
∴=﹣2，
∴直线AB与CD平行．
故选A．
【点睛】本题考查空间两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题．
6.若平面，的法向量分别为，，则( )
A. B. 与相交但不垂直
C. D. 或与重合
【答案】A
【解析】
【分析】
可判断两个平面的法向量共线，根据法向量平行可知两平面平行．
【详解】解：因为平面，的法向量分别为，
即，所以
所以
故选：A
【点睛】本题考查了空间向量在立体几何中的应用问题，属于基础题．
7.抛物线y2＝－ax的准线方程为x＝－2，则a的值为( )
A. 4 B. －4 C. 8 D. －8
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线的准线方程为，结合题意，即可求得的值.
【详解】因为的准线方程为，
所以由的准线方程为，得，
所以，故选D.
【点睛】本题考查的是抛物线的简单性质，掌握抛物线的准线方程为，
是解题的关键，属于基础题目.
8.三棱锥中，，，，则等于( )
A. 0 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．
【详解】解：因为，
即，
所以
故选：．
【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题．
9.若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（ ）
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
【答案】B
【解析】
由双曲线定义得，即，解得，故选B．
考点：双曲线的标准方程和定义．
10.在长方体中，，，，则与所成角的余弦值是( )
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的余弦值．
【详解】解：建立如图坐标系，
在长方体中，，，，
， ，， ，
，．
所以，，
，．
与所成角的余弦值为0．
故选：．
【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于基础题．
11.已知抛物线准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，
所以抛物线焦点坐标为，故答案选
考点：抛物线方程和性质
12.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.
考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）
13.已知命题，则：_____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】解：命题为全称命题，则命题的否定为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
14.过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则________．
【答案】
【解析】
双曲线的右焦点，渐近线方程为，过双曲线右焦点且与轴垂直的直线，，可得，故答案为.
15.已知，，若，则k=________.
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用空间向量的数量积计算可得；
【详解】解：因为，
所以，，，
又
所以
所以，解得或
因为，所以，
所以，
故答案为：
【点睛】本题考查空间向量的数量积的运算，属于基础题.
16.已知为，当B在曲线上运动时，线段的中点M的轨迹方程是___________________.
【答案】
【解析】
【分析】
设出的坐标，求出的坐标，动点在抛物线上运动，点满足抛物线方程，代入求解，即可得到的轨迹方程．
【详解】解：设的坐标，由题意点与点所连线段的中点，可知，
动点在抛物线上运动，所以，所以．
所以点与点所连线段的中的轨迹方程是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，相关点法，是常见的求轨迹方程的方法，注意中点坐标的应用，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.若命题p：函数在区间上是减函数，写出，若是假命题，求a的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意知函数在区间上是减函数是真命题，从而得，从而解得．
【详解】解：：函数在区间上不是减函数.
因为为假命题，所以p为真命题.
因此.
故，即所求a的取值范围是.
【点睛】本题考查了复合命题的判断及二次函数的单调性的应用，属于基础题．
18.椭圆的两个焦点的坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），且椭圆经过点（，﹣）
（1）求椭圆标准方程．
（2）求椭圆长轴长、短轴长、离心率．
【答案】（1）椭圆的标准方程为：+=1，
（2）椭圆的长轴长：2，短轴长2，离心率e==．
【解析】
试题分析：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），结合两点之间距离公式，求出2a，进而求出b，可得椭圆标准方程．
（2）由（1）中椭圆标准方程，可得椭圆长轴长、短轴长、离心率．
解：（1）设椭圆的标准方程为+=1（a＞b＞0），
则2a=+=2，
即a=，
又∵c=2，
∴b2=a2﹣c2=6，
故椭圆的标准方程为：+=1，
（2）由（1）得：
椭圆的长轴长：2，
短轴长2，
离心率e==．
考点：椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．
19.已知空间三点，设.
（1）求和的夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）利用向量夹角公式即可得出；
（2）利用两个向量互相垂直，其数量积为0，可得关于的方程.
【详解】，
．
（1），
所以与的夹角的余弦值为.
（2），
，
所以,
即，
所以或.
【点睛】本题考查空间向量的夹角、数量积运算、共线向量定理，求解时要充分利用平面向量已有的知识进行问题类比求解，考查基本运算求解能力．
20.过双曲线的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，F1为左焦点．
(1)求|AB|；
(2)求△AOB的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)联立方程，利用韦达定理直接利用弦长公式得到答案.
(2)求原点到直线的距离，再利用面积公式得到答案.
【详解】解：(1)由双曲线的方程得，∴，F1(－3，0)，F2(3，0)．
直线AB的方程为．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得5x2＋6x－27＝0
∴，.
∴
(2)直线AB的方程变形为.
∴原点O到直线AB的距离为.
∴.
【点睛】本题考查了弦长和面积，是圆锥曲线里面的常规题型，意在考查学生的计算能力.
21.已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把
转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求
试题解析：（1）为等边三角形，则
椭圆的方程为：；
（2）容易求得椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，设，
则，
∵，
∴，
即
解得，即，
故直线方程为或.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．
22.如图，在直三棱柱中，，，，．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值大小．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据，，两两垂直，建立如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据两个向量的数量积等于0，证出两条直线互相垂直．
（2）求出两个面的法向量，求两个法向量的夹角的余弦值，即可得到答案．
【详解】直三棱柱，底面三边长，，，，，两两垂直．
如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则
（1），，
，故。
（2）平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
，，
由得：
令，则，则．
故，．
所求二面角的余弦值。
【点睛】本题考查线面垂直、二面角大小的向量求解，考查空间想象能力和运算求解能力．