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- 2021-04-13 发布
牡一中2017届高三学年12月月考考试
数学理科试题
一、选择题（本大题共有个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列中，，则其前5项和为（ ）
A．5 B． 6 C．15 D． 30
3.已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4． 函数的大致图像为（ ）
5、已知、是两条不同的直线, 、是两个不同的平面,给出下列命题:
①若,则;②若,且则;
③若,则;④若,,且,则.
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
6．已知p：，，q：，，则下列命题为真命题的是（ ）
A． B. C. D.
7、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，
则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
9.设满足，若的最大值为，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
10.定义在上的函数满足，，且时，，则（ ）
A. B． C．1 D．
11．如右上图，将绘有函数的部分图象
的纸片沿轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则 （ ）[
A. B. C. D.
12．设函数，（为自然对数的底数），若曲线上存在一点使得，则的取值范围是（ ）
A. B． C． D．
二、填空题（本大题共有个小题，每小题分，共分）
13．已知平面向量与的夹角等于，如果，那么
14．经过坐标原点和点，并且圆心在直线上的圆的方程为
15．已知各项均为正数的数列前项和为，若，，则=_____________
16．在正三棱锥内，有一半球，其底面与正三棱锥的底面重合，且与正三棱锥的三个侧面都相切，若半球的半径为2，则正三棱锥的体积最小时，其高等于
三、解答题（本大题共有个小题，共分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）设函数
（1）解不等式； （2）若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，已知，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值
19. （本小题满分12分）如图，在中，，点在BC边上，且
（1）求
（2）求的长
20.（本小题满分12分） 已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，n∈N，求数列{cn}的前n项和．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，
，,是的中点．
（1）求证:平面⊥平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，
求二面角的余弦值.
22. （本小题满分12分） 已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.
（1）求的取值范围；
（2）记两个极值点分别为已知，若不等式恒成立，求的范围.
牡一中2017届高三数学12月月考试题参考答案
选择
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
D
C
B
C
D
D
A
A
B
D
填空
13
14
15
16
答案
17．（1）
（2） ，当且仅当时等号成立
18．（1）略 （2）
19．（本题12分）解：⑴
⑵中
.即
解得,
在中，
所以
20. 解：(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意知q>0.
由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0.又因为q>0，解得q＝2，所以d＝2.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N.
(2)由(1)有cn＝(2n－1)×2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则
Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
上述两式相减，
得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n
＝－(2n－3)×2n－3，
所以，Sn＝(2n－3)×2n＋3，n∈N.
21.
22.解：()依题意得函数得定义域为(0,+)，所以方程在(0,+)有两个不同的根，
即方程在 (0,+)有两个不同的根. 问题转化为函数与的图象(0,+)有两个不同的交点.
又即当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.从而 ]
又有且只有一个零点是1，且当时，；
当时，. 所以，要想函数与函数的图象(0,+)有两个不同的交点，
只需.
()因为等价于，由()可知分别是方程的两个根，
即，所以原式等价于，
因为，所以原式等价于. 又由作差得，即.所以原式等价于，因为时，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立.
令，又，
当时，可见时，，所以上单调递增,
又上恒成立，符合题意.
当时，可见当时，，当时，所以上单调递增, 在上单调递减， 又上不能恒成立，不符合题意，舍去.
综上所述，若不等式恒成立，只需， 又，所以.