2018-2019学年宁夏银川一中高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年宁夏银川一中高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知集合则（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】化简集合，根据并集的定义写出．‎ ‎【详解】‎ 解：集合，‎ ‎，‎ 则．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．‎ ‎2．命题“，使得”的否定形式是 A．，，使得 B．，，使得 C．，，使得 D．，，使得 ‎【答案】D ‎【解析】全称命题的否定形式为特称命题，将条件中的“∀x∈R”改为“∃x∈R”，结论中的“”改为“”即可．‎ ‎【详解】‎ 的否定是，的否定是，的否定是，所以命题“，使得”的否定形式是“，，使得”．故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了全称命题与特称命题的否定，难度为简单题．‎ ‎3．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】根据新定义，化简即可得出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵cosisini，‎ ‎∴i)=i，‎ 此复数在复平面中对应的点（，）位于第一象限，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的除法运算及复数的几何意义，涉及三角函数求值，属于基础题．‎ ‎4．已知函数，则（ ）‎ A．2 B． C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据分段函数解析式，先计算，再计算即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分段函数求值，根据自变量代入解析式即可，属于容易题.‎ ‎5．王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的 ( )‎ A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意“非有志者不能至也”可知到达“奇伟、瑰怪，非常之观”必是有志之士，故“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的必要条件，故选D.‎ ‎6．已知函数是奇函数，则常数的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数为奇函数，根据奇函数的定义恒成立，即可求出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为函数为奇函数，‎ 所以 恒成立 所以，.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了奇函数的概念以及对数的运算，属于中档题.‎ ‎7．若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】分别求出m，a的值，求出函数的单调区间即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意得：，解得：，‎ 故，将代入函数的解析式得：‎ ‎，解得：，‎ 故，‎ 令，解得：，‎ 故在递增，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了幂函数的定义以及对数函数的性质，是一道基础题．‎ ‎8．若，则的最小值是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题设可得，即,故,应选D.‎ ‎【考点】对数的运算性质及基本不等式的综合运用.‎ ‎9．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为，‎ 所以，选B.‎ ‎10．若变量x，y满足|x|﹣ln0，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件可得，显然定义域为，且过点，当时，是减函数，即可选出答案 ‎【详解】‎ 若变量满足，则，显然定义域为，且过点，故排除 再根据当时，是减函数，排除 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题。‎ ‎11．若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由函数求导，求出函数的单调区间及极值，得到函数图象的变化趋势，根据函数有三个零点，寻求函数满足的条件，即可求出.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以当时，有极大值，当时，有极小值.‎ 要使有3个不同的零点，‎ 只需，解得.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数图象的变化趋势，函数零点的概念，属于中档题.‎ ‎12．已知定义在上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，分析可得与的图象都关于直线对称，作出两个函数的图象，分析其交点的情况即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数满足，则的图象关于直线对称，‎ 函数的图象也关于直线对称，‎ 函数的图象与函数的图象的位置关系如图所示，‎ 可知两个图象有3个交点，一个在直线上，另外2个关于直线对称，‎ 则两个函数图象所有交点的横坐标之和为3；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果函数满足，那么的图像关于对称，如果函数满足，那么的图像关于点对称.刻画函数图像时，注意利用上述性质.‎ 二、填空题 ‎13．若满足，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域，由变形得，平移直线并结合的几何意义求解可得结果．‎ ‎【详解】‎ 画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．‎ 由变形得，‎ 平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z取得最大值．‎ 由，解得，‎ 所以点A的坐标为，‎ 所以．‎ 故答案为2．‎ ‎【点睛】‎ 求目标函数的最值时，可将函数转化为直线的斜截式：‎ ‎，通过求直线的纵截距的最值间接求出z的最值．解题时要注意：①当时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；②当时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．‎ ‎14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时，不等式的解集为____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由奇函数的性质可得x＞0时的解析式，再解不等式即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，‎ ‎∴当x＞0时，﹣x＜0，‎ ‎∴f（﹣x）＝x2﹣6，‎ 由奇函数可得f（x）＝﹣x2+6，‎ ‎∴不等式f（x）＜x可化为，‎ 解得x＞2‎ ‎∴x＞0时，不等式f（x）＜x的解集为：（2，+∞）‎ 故答案为：（2，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性，涉及不等式的解法，熟记奇函数得定义是关键，属基础题．‎ ‎15．设对任意的都有， ：存在，使，如果命题为真，命题为假，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求出命题为真命题的的范围，由为真，为假，可得一真一假，再由集合运算求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意：对于命题，对任意的，，即恒成立，‎ ‎△，得，即；‎ 对于命题，存在，使，‎ ‎△，得，解得或，‎ 即或．‎ 为真，为假，‎ ‎，一真一假，‎ ‎①真假时，，得；‎ ‎②假真时，，得．‎ 综上，，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的的范围是解决本题的关键，是中档题．‎ ‎16．如图所示，放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点．设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：‎ ‎①若，则函数是偶函数；‎ ‎②对任意的，都有；‎ ‎③函数在区间上单调递减；‎ ‎④函数在区间上是减函数．‎ 其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．‎ ‎【详解】‎ 当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，‎ 当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，‎ 当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，‎ 当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，‎ ‎∴函数的周期是4．‎ 因此最终构成图象如下：‎ ‎①根据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．‎ ‎②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②正确．‎ ‎③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．‎ ‎④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的思想对本题进行分析是解答本题的关键．‎ 三、解答题 ‎17．已知函数 ‎（1）求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）19；‎ ‎【解析】（1）求出函数的导数，计算的值，写出切线方程即可;‎ ‎（2）求出导函数在上的零点2，计算比较大小即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 因为，所以 切线方程为，即 ‎（2）令，得或，由，所以，‎ 因为，所以的最大值为19.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数单调性，极值问题，函数切线的几何意义，导数的应用，属于中档题.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎（1）判断的奇偶性并证明;‎ ‎（2）判断的单调性，并求当时，函数的值域．‎ ‎【答案】(1) 为奇函数.证明见解析；(2) 在定义域内为增函数．值域.‎ ‎【解析】（1）由真数为正求出函数的定义域，根据奇函数的定义判定为奇函数（2）判断单调性利用函数单调性求出函数值域.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ ‎∴此函数定义域为，‎ ‎，‎ 为奇函数.‎ ‎（2），可得在定义域内为增函数．‎ 在区间上为增函数，函数的值域为，‎ 即为所求.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的定义域，奇偶性，单调性的判断，值域，属于中档题.‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为，直线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线的距离的最大值．‎ ‎【答案】（1）,；（2）.‎ ‎【解析】（1）直接利用极坐标方程、参数方程和普通方程互化的公式求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．先求出点P到直线l的距离再求最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为直线l的极坐标方程为，‎ 即ρsinθ－ρcosθ＋4＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，‎ 可得直线l的直角坐标方程为x－y－4＝0．‎ 将曲线C的参数方程消去参数a，‎ 得曲线C的普通方程为．‎ ‎（2）设N（，sinα），α∈[0，2π）．‎ 点M的极坐标（，），化为直角坐标为（－2，2）．‎ 则．‎ 所以点P到直线l的距离，‎ 所以当时，点M到直线l的距离的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查三角函数的图像和性质，考查点到直线的距离的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．已知定义在上的函数，且恒成立 ‎（1）求实数的值;‎ ‎（2）若，且，求证：‎ ‎【答案】(1) ； (2)见证明.‎ ‎【解析】（1）由绝对值不等式的性质得，故，转化为即可求解（2）由及，利用均值不等式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 在上恒成立解得，‎ ‎（2）‎ ‎，即，‎ 所以，‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎21．某种出口产品的关税税率为，市场价格(单位:千元)与市场供应量(单位:万件)之间近似满足关系式:,其中、均为常数.当关税税率时,若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.‎ ‎（1）试确定、的值；‎ ‎（2）市场需求量(单位:万件)与市场价格近似满足关系式：,当时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 最大值为 ‎【解析】（1）根据市场价格(单位:千元)与市场供应量(单位:万件)之间近似满足关系式:,将代入即可求解（2 ）当时，可建立t与x的关系，利用双沟函数求最大值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知，‎ 解得，‎ ‎（2）当时，‎ 所以 而在上单调递减，‎ 所以当时，最小值，‎ 故当时，关税税率的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数模型的应用，考查了指数方程的解法和双沟函数最值得求法，属于中档题.‎ ‎22．已知函数， 在点处的切线与轴平行.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若存在，当时，恒有成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增区间 减区间 (2) ‎ ‎【解析】试题分析：先求出函数的导数，令导函数大于，解出即可；‎ ‎（2）构造新函数，求导，分类讨论的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果 解析：（1）由已知可得的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）不等式可化为，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，不适合题意.‎ ‎ ‎ ‎ 适合题意.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 适合题意.‎ 综上，的取值范围是 点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围