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- 2021-04-13 发布
重点强化训练(四) 直线与圆
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直得(a＋1)(a－1)＋3a×(a＋1)＝0，解得a＝或a＝－1.
∴“a＝”是“直线(a＋1)x＋3ay＋1＝0与直线(a－1)x＋(a＋1)y－3＝0互相垂直”的充分不必要条件．]
2．若圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )
A．(－∞，4) B.(－∞，0)
C．(－4，＋∞) D.(4，＋∞)
A [圆的方程可变为(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，
可知圆心(1，－3)，且10－5a>0，即a<2.
∵圆关于直线y＝x＋2b对称，
∴点(1，－3)在直线上，则b＝－2.
∴a－b＝2＋a<4.]
3．已知定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是( )
A. B.
C. D.
A [因为定点A(1,0)，点B在直线x－y＝0上运动，所以当线段AB最短时，直线AB和直线x－y＝0垂直，AB的方程为y＋x－1＝0，它与x－y＝0联立解得x＝，y＝，所以B的坐标是.]
4．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是( )
【导学号：01772306】
A. B.
C. D.
D [因为l与圆x2＋y2＝1有公共点，则l的斜率存在，设斜率为k，所以直线l的方程为y＋1＝k(x＋)，
即kx－y＋k－1＝0，
则圆心到l的距离d＝.
依题意，得≤1，解得0≤k≤.
故直线l的倾斜角的取值范围是.]
5．(2017·重庆一中模拟)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，y轴被圆C截得的弦长与直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长相等，则b＝( )
【导学号：01772307】
A．－ B.±
C．－ D.±
D [在(x－1)2＋(y－2)2＝2中，令x＝0，得(y－2)2＝1，解得y1＝3，y2＝1，则y轴被圆C截得的弦长为2，所以直线y＝2x＋b被圆C截得的弦长为2，所以圆心C(1,2)到直线y＝2x＋b的距离为1，
即＝1，解得b＝±.]
二、填空题
6．经过两条直线3x＋4y－5＝0和3x－4y－13＝0的交点，且斜率为2的直线方程是__________．
【导学号：01772308】
2x－y－7＝0 [由得即两直线的交点坐标为(3，－1)，又所求直线的斜率k＝2.
则所求直线的方程为y＋1＝2(x－3)，即2x－y－7＝0.]
7．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝__________.
2 [因为点P(2,2)为圆(x－1)2＋y2＝5上的点，
由圆的切线性质可知，圆心(1,0)与点P(2,2)的连线与过点P(2,2)的切线垂直．
因为圆心(1,0)与点P(2,2)的连线的斜率k＝2，故过点P(2,2)的切线斜率为－，
所以直线ax－y＋1＝0的斜率为2，因此a＝2.]
8．已知直线x－y＋a＝0与圆心为C的圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0相交于A，B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为__________．
0或6 [由x2＋y2＋2x－4y－4＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝9，所以圆C的圆心坐标为C(－1,2)，半径为3，由AC⊥BC可知△ABC是直角边长为3的等腰直角三角形．故可得圆心C到直线x－y＋a＝0的距离为.由点到直线的距离得＝，
解得a＝0或a＝6.]
三、解答题
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
[解] 将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.2分
(1)若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.5分
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
得8分
解得a＝－7或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.12分
10．已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
[解] (1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y).2分
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.5分
(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，
|PN|＝|BN|.7分
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，10分
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，
所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝.
又弦长为2＝，
所以S△OAB＝··＝＝，
解得k＝±1.
因此可知“k＝1”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件．]
2．(2017·衡水中学二调)已知点P的坐标(x，y)满足过点P的直线l与圆C：x2＋y2＝14相交于A，B两点，则|AB|的最小值为__________．
4 [作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．要使弦AB最短，只需弦心距最大，根据图形知点P(1,3)到圆心的距离最大，则|OP|＝，圆的半径为.
∴|AB|min＝2＝2＝4.]
3．已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋4＝0，直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3)．
(1)求直线l1的方程；
(2)若直线l2：x＋y＋b＝0与圆C相交，求b的取值范围；
(3)是否存在常数b，使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上？若存在，求出b的值；若不存在，说明理由.
【导学号：01772309】
[解] (1)圆C的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝9，于是圆心C(3,2)，半径r＝3.1分
若设直线l1的斜率为k，则k＝－＝－＝－2.
所以直线l1的方程为y－3＝－2(x－5)，即2x＋y－13＝0.3分
(2)因为圆的半径r＝3，所以要使直线l2与圆C相交，则有<3，5分
所以|b＋5|<3，
于是b的取值范围是－3－5