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- 2021-04-13 发布
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双牌二中2019年下期高一期中考试数学试卷
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合，则集合A中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据满足的不等式列举出的可能值，然后用列举法写出集合，即可得到集合中元素的个数.
【详解】因为，所以可取，
所以，所以集合中元素的个数为.
故选：C.
【点睛】本题考查用列举法求集合中元素的个数，难度较易.
2.已知函数=的图象恒过定点,则点的坐标是
A. ( 1,5 ) B. ( 1, 4) C. ( 0,4) D. ( 4,0)
【答案】A
【解析】
令=，得x=1，此时y=5．
所以函数=图象恒过定点(1，5)．选A．
点睛：
（1）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为．
（2）求函数（且）的图象过的定点时，可令，求得的值，再求得，可得函数图象所过的定点为．
3.函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
分别计算两部分的定义域，求交集得到答案.
【详解】函数
∵，∴.
故答案选B
【点睛】本题考查函数的定义域，考查运算求解能力
4.下列图象中不能表示函数的图象的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由函数的概念：在定义域内的任何一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，且函数的定义域和值域不能为空集，根据这一定义得到结果
【详解】根据函数的基本概念可知，一个自变量x不能对应两个函数值y，在D选项中，当x>0时，一个自变量x对应两个函数值y，这与函数的概念矛盾，
故选D．
【点睛】这个题目考查了函数的概念和图像，函数中一个x对应一个y值，一个y
值可以对应2个y值．
5.下列函数中，既是偶函数，又在(0,+∞)上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后判断各个函数的奇偶性，最后判断函数在上是否单调递增.
【详解】A．定义域为关于原点对称，，是奇函数，不符合；
B．定义域为关于原点对称，，是偶函数，当时是减函数，不符合；
C．定义域为关于原点对称，，是偶函数，当时是减函数，不符合；
D．定义域为关于原点对称，，当时是增函数，符合.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，难度较易.判断一个函数是奇函数还是偶函数，首先应判断函数的定义域是否关于原点对称，其次才是判断的关系.
6.设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
都和0，1比较大小，得到，，的大小关系.
【详解】 ， ，
， ，
，
.
故选B
【点睛】本题考查指对数比较大小，属于简单题型.
7.某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设
，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为
A. f（0.5） B. f（1.125）
C. f（1.25） D. f（1.75）
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出
该同学在第二次应计算的函数值.
【详解】∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．
【点睛】本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.
8.设全集为，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出集合B的等价条件，结合集合的基本运算进行求解即可．
【详解】B＝{x|log3（x+2）＜1}＝{x|0＜x+2＜3}＝{x|﹣2＜x＜1}，
则∁RB＝{x|x≥1或x≤﹣2}，
A∩（∁RB）＝{x|1≤x＜2}，
故选C．
【点睛】本题主要考查集合基本运算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．
9.有一组实验数据如表所示：
t
1
2
3
4
5
s
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由所给数据可知随的变化关系，然后判断各个选项对应的函数的增长速度即可选出合适模型.
【详解】由表中数据可知：随的增大而增大且其增长速度越来越快，
A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，
C中的函数随的增大而增大，且增长速度越来越快.
故选：C.
【点睛】本题考查函数模型的选择与应用，着重考查分析问题、解决问题的能力，难度较易.
一般情况下，指数函数的增长速度二次函数增长速度对数函数增长速度.
10.当生物死亡后，其体内原有的碳的含量大约每经过年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的，则该生物生存的年代距今约（）
A. 万年 B. 万年 C. 万年 D. 万年
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实际问题，可抽象出，按对数运算求解.
【详解】设该生物生存的年代距今是第个5730年，
到今天需满足，
解得：，
万年.
故选C.
【点睛】本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力.
11.已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
当时，解方程可求得两个零点；当时，利用导数可求得单调性，结合零点存在定理可确定在和上零点个数，从而得到结果.
【详解】当时，令得：，解得：或
当时，则，
当时，；当时，
在上单调递增，在上单调递减
当时， 在上无零点
又 在上有唯一零点
在上单调递减 在上有唯一零点
当时，有唯一解
综上所述：的零点个数为个
本题正确选项：
【点睛】本题考查函数零点个数的求解问题，关键是能够利用导数求得函数的单调性，进而结合零点存在定理确定是否存在零点.
12.设函数的定义域为，满足，且当时，.若存在，使得，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数满足，求得函数在上的值域，结合方程，即可求解.
【详解】由题意，因函数满足，所以
所以当时，；
当时，；
当时，.
由，解得或，
结合题意，可得，
故选C.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中熟练掌握函数的性质，求得函数的值域，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13.已知，则用表示________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换底公式将转化为以为底数的对数，然后根据对数运算法则以及所给的对数式，即可得到关于的表示.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用换底公式进行化简，难度一般.运用换底公式化简时同时也要注意对数运算法则的使用.
换底公式：.
14.已知集合，且，求实数的值______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由题意结合集合元素的互异性分类讨论求解实数m的值即可.
【详解】由题意分类讨论：
若，则，不满足集合元素的互异性，舍去；
若，解得：或，
其中不满足集合元素的互异性，舍去，
综上可得，.
【点睛】本题主要考查集合与元素的关系，集合元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.当∈{－1，，1,3}时，幂函数的图象不可能经过第 象限．
【答案】二、四
【解析】
【详解】解：的图象不可能经过第二、四象限
的图象不可能经过第二、三、四象限
y=x的图象不可能经过第二、四象限
的图象不可能经过第二、四象限
综上所述，当a∈{-1，1 2 ，1，3}时，幂函数y=xa的图象不可能经过第二、四象限
故答案为二、四
16.关于函数有以下四个结论：①定义域为；②递增区间为；③最小值为；④图象恒在轴的上方．其中正确结论的序号是______．
【答案】②④
【解析】
【分析】
①由即可得到定义域；②利用定义域和对称轴即可得到递增区间；
③根据定义域以及函数的单调性即可求得最小值；④考虑是否恒成立.
【详解】记，
①因为，所以，所以定义域为，故①错误；
②因为的对称轴为且定义域为，所以递增区间为，故②正确；
③由②可知在上递减，在上递增，所以，
所以的最小值为，故③错误；
④由③知，所以图象恒在轴的上方，故④正确.
故答案：②④.
【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域、值域、单调性的判断，难度一般.
求解对数型复合函数的单调区间，除了要注意到内层函数的单调性，同时要注意对数式的真数部分恒大于零.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）110；（2）.
【解析】
【分析】
(1)将根式化为分式指数幂的形式后再进行计算；
(2)利用对数的运算法则进行计算.
【详解】(1)
；
(2)
.
【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化运算以及对数运算法则的简单应用，难度较易.
(1)正分数指数幂的运算：(，，)，
负分数指数幂的运算：(，，)；
(2)对数常见的两个运算法则：
(且，)，
(且，).
18.已知集合，，全集．
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）当时，根据补集和并集的概念和运算，求得.
（2）由于，故将集合分为，和两种情况列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】（1）当时，集合，，
．
（2）若，则①时，，∴；
②，则且，，∴，
综上所述，或．
【点睛】本小题主要考查集合补集和并集的概念及运算，考查根据集合的包含关系求参数，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
19.某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1．6元计费，超过8公里以后按每公里2．4元计费．
（1）写出乘出租车所走公里数与乘车费的函数关系.
（2）若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？
【答案】（1）；（2）19.4元
【解析】
【分析】
（1）分和三种情况求得函数的解析式;（2），所以代入时的解析式求车费.
【详解】（1）设乘出租车走公里，车费为元，
由题意得，即.
（2）因为甲、乙两地相距10公里，即，所以车费（元）．
所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．
【点睛】本题考查分段函数的实际应用，意在考查抽象，概括和计算求解能力，属于基础题型.
20.已知函数．
(1)求函数的定义域；
(2)若函数的最小值为－4，求实数的值．
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】
(1)根据函数有意义，得到，即可求得函数的定义域；
(2)化简函数的解析式为，集合二次函数的性质和对数函数的单调性，求得函数的最小值，进而求得实数的值．
【详解】(1)要使函数有意义：则有，解之得，
所以函数的定义域为．
(2)函数可化为
，
因为，所以
因为，所以，即函数的最小值为，
又由，得，所以，
即实数的值为.
【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域的求解，以及对数函数的图象与性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
21.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（3）解关于的不等式，.
【答案】（1）；（2）在上是增函数，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
(1)根据函数奇偶性和题干得到，进而求得参数；（2）根据奇偶性和单调性得到求解即可.
【详解】（1），；
（2）任取，
所以函数在上是增函数；
（3）
.
【点睛】这个题目考查了函数的奇偶性和单调性的应用，属于中档题；对于解不等式问题，一种方法是可以直接代入函数表达式，进行求解，一种方法是通过研究函数的单调性和奇偶性将函数值的不等关系转化为自变量的大小关系.
22.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；
（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解；
（3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，
又由最小值为1，可设，
又，即，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）函数的对称轴为，
要使在区间上不单调，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，
可得在区间上恒成立，
化简得在区间上恒成立，
设函数，
则在区间上单调递减
∴在区间上的最小值为，
∴.
【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.