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- 2021-04-13 发布
夏津县双语中学2019--2020学年度第一学期第二次月考试题
高二数学 2019.12
考试时间：120分钟 总分：150分
一、 选择题(1-10为单选，11-13为多选，每题4分，共52分）
1.已知点，，则线段的中点为（ ）
A. B. C. D.
2.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作 ( )
A. 1个或2个 B. 0个或1个 C. 1个 D. 0个
3．若P(2，－1)为圆C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0
4．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点( )
A．(3,8) B．(3,-8) C．(－3,8) D．(－3,-8)
5．圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线y＝－x的最小距离为( )
A．2－1 B．2 C． D．1
6.两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是（ ）
A. B． C． D．
7．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为( )
A. B. C. D.
8．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则这个三棱柱的体积是( )
A．96 B．16 C．24 D．48
9.已知圆O：x2＋y2－4＝0，圆C：x2＋y2＋2x－15＝0，若圆O的切
线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是( )
A． [2，2] B．[ 2，8]
C．[2，2] D．[2，8]
10．已知定点P(－2,0)和直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为( )
A．2 B． C． D．2
11.已知直线平面，直线平面，下列四个命题中正确的是（ ）．
A. B. C. D.
12.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系可能是（ ）
A. 外离 B. 外切 C. 内含 D. 内切
13．如图，在棱长均相等的四棱锥PABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，其中正确的结论是（ ）．
A.PC∥平面OMN； B.平面PCD∥平面OMN；
C.OM⊥PA； D.直线PD与MN所成角的大小为90°.
一、 填空题（每题4分，共16分，第15题答对一空得2分）
14． 如图，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，A∈l，B∈l，AC⊂α，
BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝4，AC＝3，BD＝12，则CD＝________．
15．两点A(a＋2，b＋2)和B(b－a，－b)关于直线4x＋3y＝11对称，则a的值为 ，b的值为
16.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是 ．
17．一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，
过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，若木
块的棱长为a，则截面面积为________．
一、 解答题（要有必要的文字说明）
18．（13分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线L经过点（2，﹣2），且L与圆C相交所得弦长为，求直线L的方程．
19. （13分）在四棱锥中，平面平面，底面是菱形，.
（1）若，求证:；
（2）若是的中点，，求四棱锥的体积.
20． （13分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，
直线L：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）
（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，L与圆恒交于两点；
（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程．
21.（13分）如图，直三棱柱中，，点是棱上不同于的动点.
（1）证明:；
（2）若，判断点的位置并求出此时平面把此棱
拄分成的两部分几何体的体积之比.
22．（15分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；
(2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．
23．（15分）已知直线l：y＝kx＋b(0＜b＜1)和圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点．
(1)当k＝0时，过点A，B分别作圆O的两条切线，两切线的交点坐标．
(2)对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点N，满足∠ONA＝∠ONB？若存在，请求出此点坐标；若不存在，说明理由．
高二数学答案
一、 选择题（本大题共13题，每小题4分，共计52分。1-10是单选，11-13是多选）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
B
B
D
C
A
A
D
C
A
B
AC
ABD
ABC
二、填空题（本大题共5题，每小题4分，共计20分）
14. 13 15. 4 2 16.
17.
三、解答题（本大题共6题，每小题13分，共计78分。）
18.解：（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），
依题意，有，
即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，
所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，
所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．
（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，
所以直线x=2符合题意．
设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，
则，解得，
所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．
综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．
20.解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即 x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，
恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），
而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，
故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．
（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，
故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即 2x﹣y﹣5=0．
21.证明：（1）在中，∵，
∴，∴，
又∵，∴平面，
又平面，∴.
（2）当时，设，∴，
则在中， ，
同理：，
据，∴，
整理得，，∴，故为的中点.
此时平面把此棱柱分成两个几何体为:四棱锥和四棱锥.
由（1）知四棱的高为，，
∴，又，∴，
故两部分几何体的体积之比为.
22.[解] (1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.
又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.
而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.
证明如下：如图，连接AC交BD于O.
因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.
23.[解] (1)联立直线l：y＝b与圆O：x2＋y2＝1的方程，得A，B两点坐标为A(－，b)，B(，b)．
设过圆O上点A的切线l1的方程是y－b＝kl1(x＋)，
由于kAO·kl1＝－1，即－·kl1＝－1，也就是kl1＝.
所以l1的方程是y－b＝(x＋)．
化简得l1的方程－x＋by＝1.
同理得，过圆O上点B的切线l2的方程x＋by＝1.
联立ll与l2的方程得交点的坐标为.
因此，当k＝0时，两切线的交点坐标为.
(2)假设在y轴上存在一点N(0，t)，满足∠ONA＝∠ONB，
则直线NA，NB的斜率kNA，kNB互为相反数，即kNA＋kNB＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1x2≠0)，则＋＝0，
即x2(kx1＋b－t)＋x1(kx2＋b－t)＝0.
化简得2kx1x2＋(b－t)(x1＋x2)＝0.①
联立直线l：y＝kx＋b与圆O：x2＋y2＝1的方程，
得(k2＋1)x2＋2kbx＋b2－1＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.②
将②代入①整理得－2k＋2kbt＝0.③
因为③式对于任意的实数k都成立，因此，t＝.
故在y轴上存在一点N，满足∠ONA＝∠ONB.