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- 2021-04-13 发布
学业分层测评(一)
(建议用时：45 分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设 a，b，c，d∈R，且 a>b，c>d，则下列结论正确的是( )
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D.a
d>b
c
【解析】 ∵a>b，c>d，∴a＋c>b＋d.
【答案】 A
2．设 a，b∈R，若 a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )
A．b－a>0 B．a3＋b3<0
C．b＋a>0 D.a2－b2<0
【解析】 a－|b|>0⇒|b|0.故选 C.
【答案】 C
3．若 a1
b B．2a>2b
C．|a|>|b|>0 D.
1
2
a
>
1
2
b
【解析】 考查不等式的基本性质及其应用．取 a＝－2，b＝－1 验证即可
求解．
【答案】 B
4．已知 a＜0，－1＜b＜0，那么( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D.ab＞ab2＞a
【解析】 ab2－ab＝ab(b－1)，
∵a＜0，－1＜b＜0，
∴b－1＜0，ab＞0，∴ab2－ab＜0，即 ab2＜ab；
又 ab2－a＝a(b2－1)，
∵－1＜b＜0，∴b2＜1，
即 b2－1＜0.又 a＜0，
∴ab2－a＞0，即 ab2＞a.
故 ab＞ab2＞a.
【答案】 D
5．设 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜1
a
”的( )
【导学号：32750004】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 ∵0＜ab＜1，
当 a＜0 且 b＜0 时可推得 b＞1
a
，
所以“0＜ab＜1”不是“b＜1
a
”的充分条件， ①
反过来，若 b＜1
a
，
当 b＜0 且 a＞0 时，有 ab＜0，推不出“0＜ab＜1”，
所以“0＜ab＜1”也不是“b＜1
a
”的必要条件， ②
由①②知，应选 D.
【答案】 D
二、填空题
6．若 f(x)＝3x2 －x＋1，g(x)＝2x2 ＋x－1，则 f(x)与 g(x)的大小关系是
f(x)________g(x)．
【解析】 f(x)－g(x)＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥1
＞0，
∴f(x)＞g(x)．
【答案】 ＞
7．给出四个条件：
①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.
能得出1
a<1
b
成立的有________．(填序号)
【解析】 1
a<1
b
⇔1
a
－1
b<0⇔b－a
ab <0，
∴①②④可推出1
a<1
b
成立．
【答案】 ①②④
8．已知α，β满足－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围是
________．
【解析】 设α＋3β＝λ(α＋β)＋μ(α＋2β)，
可解得λ＝－1，μ＝2，∴α＋3β＝－(α＋β)＋2(α＋2β)．
又－1≤α＋β≤1,1≤α＋2β≤3，∴1≤α＋3β≤7.
【答案】 [1,7]
三、解答题
9．(1)已知 a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3 a
d
＜3 b
c
；
(2)若 a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，
求证： e
a－c2
＞ e
b－d2.
【证明】 (1)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∴0＜－1
c
＜－1
d.又 a＞b＞0，
∴－a
d
＞－b
c
＞0，
∴ 3 －a
d
＞3 －b
c
，即－3 a
d
＞－3 b
c.
两边同乘以－1，得3 a
d
＜3 b
c.
(2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0，∴ 1
a－c2
＜ 1
b－d2.
又∵e＜0，
∴ e
a－c2
＞ e
b－d2.
10．设 x，y 为实数，且 3≤xy2≤8,4≤x2
y
≤9，求x3
y4
的取值范围．
【解】 由 4≤x2
y
≤9，得 16≤x4
y2
≤81. ①
又 3≤xy2≤8，∴1
8
≤ 1
xy2
≤1
3. ②
由①×②得1
8
×16≤x4
y2· 1
xy2
≤81×1
3
，
即 2≤x3
y4
≤27，因此x3
y4
的取值范围是[2,27]．
[能力提升]
1．若 a，b 为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜1
b
或 b＞1
a
”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 对于 0＜ab＜1，如果 a＞0，则 b＞0，a＜1
b
成立，如果 a＜0，则
b＜0，b＞1
a
成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜1
b
或 b＞1
a
”的充分条件；反之，若 a
＝－1，b＝2，结论“a＜1
b
或 b＞1
a
”成立，但条件 0＜ab＜1 不成立，因此“0＜
ab＜1”不是“a＜1
b
或 b＞1
a
”的必要条件，即“0＜ab＜1”是“a＜1
b
或 b＞1
a
”的
充分而不必要条件．
【答案】 A
2．设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①c
a
＞c
b
；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D.①②③
【解析】 由 a＞b＞1，c＜0，得1
a
＜1
b
，c
a
＞c
b
；幂函数 y＝xc(c＜0)是减函数，
所以 ac＜bc；因为 a－c＞b－c，所以 logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，①②③
均正确．
【答案】 D
3．给出下列条件：①1＜a＜b；②0＜a＜b＜1；③0＜a＜1＜b.其中能推出
logb
1
b
＜loga
1
b
＜logab 成立的条件的序号是________．(填所有可能的条件的序号)
【解析】 ∵logb
1
b
＝－1，
若 1＜a＜b，则1
b
＜1
a
＜1＜b，
∴loga
1
b
＜loga
1
a
＝－1，故条件①不可以；
若 0＜a＜b＜1，则 b＜1＜1
b
＜1
a
，
∴logab＞loga
1
b
＞loga
1
a
＝－1＝logb
1
b
，
故条件②可以；
若 0＜a＜1＜b，则 0＜1
b
＜1，
∴loga
1
b
＞0，
logab＜0，条件③不可以．故应填②.
【答案】 ②
4．已知 f(x)＝ax2＋c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求 f(3)的取值范围.
【导学号：32750005】
【解】 由－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，得
－4≤a＋c≤－1，
－1≤4a＋c≤5.
设 u＝a＋c，v＝4a＋c，则有 a＝v－u
3
，c＝4u－v
3
，
∴f(3)＝9a＋c＝－5
3u＋8
3v.
又
－4≤u≤－1，
－1≤v≤5，
∴
5
3
≤－5
3u≤20
3
，
－8
3
≤8
3v≤40
3
，
∴－1≤－5
3u＋8
3v≤20，
即－1≤f(3)≤20.
∴f(3)的取值范围为[－1,20].
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