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- 2021-04-13 发布
万州二中高 2020 级高二上期十月月考
数学试题（文科）
命题人：冉伯春 审题人：张春
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第 I 卷（选择题）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.直线 2x－3y－4=0 与直线 mx+(m+1)y+1=0 互相垂直，则实数 m=（ ）
A. 2 B. C. D. －3
2.已知直线方程为 则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3.直线 mx+y－m+2=0 恒经过定点（ ）
A. (1,－1) B. (1,2) C. (1,－2) D. (1,1)
4.直线 过点 A（-2,4） ，且与点 B（ ）的距离最远，那么 的方程为（ ）
A x-y+6=0 B x-y--6=0 C x+y+6=0 D x+y--6=0
5.已知点 A(2,－3)、B(－3,－2),直线 l 过点 P(1,1)，且与线段 AB 相交，则直线 l 的斜率的取值 k
范围是 （ ）
A、k≥ 或 k≤－4 B、k≥ 或 k≤－ C、－4≤k≤ D、 ≤k≤4
6.若直线 （a＞0，b＞0）过点（1，1），则 a+b 的最小值等于（ ）
A．2 B． 3 C． 4 D． 5
,3300sin300cos =+ yx
60 30060 或 30 33030 或
5
2−
5
3−
l 1,3− l
4
3
4
3
4
1
4
3
4
3
1x y
a b
+ =
7.某锥体的正视图和侧视图如下图,其体积为 ,则该锥体的俯视图可以是
A. B. C. D.
8.平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 ，则此球的体积为（ ）
A． B． C． D．
9.底面是边长为 1 的正方形，侧面是等边三角形的四棱锥的外接球的体积为
A. B. C. D.
10.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称
为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底
面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵
中， ，则阳马 的外接球的表面积是
（ ）
A． B． C. D．
11.过点 M（2，1）的直线 与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点，O 为原点，且 S△OPQ=4，则符合条
件的直线 有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
12.已知点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M（x0，y0），且
y0＜x0+2，则 的取值范围是（ ）
A．[﹣ ，0） B．（﹣ ，0） C．（﹣ ，+∞） D．（﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）
2 3
3
2
4 3π 6 3π 6π 4 6π
π
3
22 π
3
3 π
3
32 π
3
2
1 1 1ABC A B C− 1 5, 3, 4AA AC AB BC= = = = 1 1 1C ABB A−
25π 50π 100π 200π
l
l
0
0
y
x
第 II 卷（非选择题）
二、填空题：（共 4 个小题，每小题 5 分， 共 20 分）
13.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为 1，则该几何体的体积是_______
14.一只虫子从点(0,0)出发，先爬行到直线 : x－y+1=0 上的 P 点，再从 P 点出发
爬行到点 A(1,1)，则虫子爬行的最短路程是__________．
15.已知点 A（1，0），B（3，0），若直线 y=kx+1 上存在点 P，满足 PA⊥PB，则 k 的取值范围
是 ．
16.已知在平面直角坐标系中，点 ，B（0，1）到直线 的距离分别为 1 和 2，则这样
的直线 l 共有 条．
三、解答题：（共 70 分）
17.已知四棱锥 P-ABCD 的三视图如下图所示：
（I）求四棱锥 P-ABCD 的表面积；
（II）求四棱锥 P-ABCD 的体积.
l
(2 2,0)A l
18.已知直线 ：x+y﹣1=0，
（1）若直线过点（3，2）且∥ ，求直线的方程；
（2）若直线 过 与直线 2x﹣y+7=0 的交点，且 ⊥ ，求直线 的方程．
19.已知直线 ：3x－y＋3＝0，求：
(1)点 P(4,5)关于 的对称点；
(2)直线 x－y－2＝0 关于直线 对称的直线方程．
20.已知直线 经过点 .
（1）若直线 的方向向量为 ，求直线 的方程；
（2）若直线 在两坐标轴上的截距相等，求此时直线 的方程.
21.已知直线 ：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．
（1）若直线不经过第二象限，求 k 的取值范围；
（2）若直线 交 x 轴正半轴于 A，交 y 轴负半轴于 B，△AOB 的面积为 S，求 S 的最小值并求此
时直线 的方程．
22.在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长 AB 为 2，宽 AD 为 1，AB,AD 边分
别为 x 轴正半轴， y 轴正半轴，以 A 为坐标原点，将矩形折叠，使 A 点落在线段
DC 上（包括端点）。
（1） 若折痕所在直线的斜率为 k,求折痕所在直线方程；
（2） 当 时，求折痕长的最大值；
（3） 当 时，折痕为线段 PQ，设 t 的最大值
l
l
2l l 2l l 2l
l
l
l
l ( 2,1)P −
l ( 2, 3)− − l
l l
l
l
l
2 3 0k− + ≤ ≤
2 1k− ≤ ≤ − 2(2 | | 1),t k PQ= − 试求
试卷答案
1.D2.
3.C4.A5.A6.C
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】将（1，1）代入直线得： + =1，从而 a+b=（ + ）（a+b），利用基本不等式求
出即可．
【解答】解：∵直线 =1（a＞0，b＞0）过点（1，1），
∴ + =1（a＞0，b＞0），
所以 a+b=（ + ）（a+b）=2+ + ≥2+2 =4，
当且仅当 = 即 a=b=2 时取等号，
∴a+b 最小值是 4，
故选：C．
7.C8.A
因为平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 ，，
所以球的半径为： ．
所以球的体积为：
故选 A．
9.D10.B11.C
【考点】直线的截距式方程．
C
【分析】设直线 l 的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则 P（2﹣ ，0），Q（0，1﹣2k）．可得 S△
OPQ=4= ，化为： ﹣4=±8，解出即可得出．
【解答】解：设直线 l 的方程为：y﹣1=k（x﹣2），则 P（2﹣ ，0），Q（0，1﹣2k）．
∴S△OPQ=4= ，化为： ﹣4=±8，
化为：4k2﹣12k+1=0，4k2+4k+1=0，
解得 k= ，或 k=﹣ ．
因此符合条件的直线 l 有 3 条．
故选：C．
12.D
【考点】直线的斜率．
【专题】作图题；对应思想；数形结合法；直线与圆．
【分析】由题意可得，线段 PQ 的中点为 M（x0，y0）到两直线的距离相等，利用
，可得 x0+3y0+2=0．
又 y0＜x0+2，设 =kOM，分类讨论：当点位于线段 AB（不包括端点）时，当点位于射线 BM（不
包括端点 B）时，即可得出．
【解答】解：∵点 P 在直线 x+3y﹣2=0 上，点 Q 在直线 x+3y+6=0 上，线段 PQ 的中点为 M（x0，
y0），
∴ ，化为 x0+3y0+2=0．
又 y0＜x0+2，
设 =kOM，
当点位于线段 AB（不包括端点）时，则 kOM＞0，当点位于射线 BM（不包括端点 B）时，kOM＜﹣
．
∴ 的取值范围是（﹣∞，﹣ ）∪（0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线的性质、点到直线的距离公式、线性规划的知识、斜率的意义及其
应用，考查了数形结合的思想方法、计算能力，属于中档题．
13.A14.
如图所示：
设 关于直线 的对称点是 ，
连接 和直线 交于 点，
则 最短，
由 ，
解得 ，
故直线 和 的交点是 ，
故 ．
2
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
12345 1 2 3 4 5 x
y
O
A
B
C
(1,1)A 1y x= + ( , )B a b
OB 1y x= + C
OC CA+
1 11
1 1 12 2
b
a
b a
− = − − + + = +
(0,2)B
OB 1y x= + (0,1)
1 1 2OC CA+ = + =
故答案为： ．
15.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【分析】以 AB 为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，把 y=kx+1 代入上述方程可得：
（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，根据直线 y=kx+1 上存在点 P，满足 PA⊥PB，可得△≥0，解出即
可得出．
【解答】解：以 AB 为直径圆的方程为：（x﹣1）（x﹣3）+y2=0，
把 y=kx+1 代入上述方程可得：（1+k2）x2+（2k﹣4）x+4=0，
∵直线 y=kx+1 上存在点 P，满足 PA⊥PB，
∴△=（2k﹣4）2﹣16（1+k2）≥0，化为：3k2+4k≤0．
解得 0，
则 k 的取值范围是 ．
故答案为： ．
16.3
【考点】直线的截距式方程．
【专题】数形结合；综合法；直线与圆．
【分析】由于 AB=2+1，故满足条件的且和线段 AB 有交点的直线存在，故满足条件的直线有三条，
另外两条直线位于线段 AB 的两侧．
【解答】解：∵AB= =3=2+1，故存在和线段 AB 有交点的直线．
故满足条件的直线有三条，如图：
故答案为：3．
2
【点评】本题考查点到直线的距离，两直线的位置关系，体现了数形结合的数学思想．
17.(1) （2） 18.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；直线的一般式方程与直线的平行关系．
【分析】（1）由题意和平行关系设直线 l1 的方程为 x+y+m=0，代点可得 m 的方程，解得 m 值可
得直线 l1 的方程；
（2）解方程组 可得交点坐标，由垂直关系可得直线斜率，可得直线方程．
【解答】解：（1）由题意和平行关系设直线 l1 的方程为 x+y+m=0，
∵直线 l1 过点（3，2），∴3+2+m=0，
解得 m=﹣5，直线 l1 的方程为 x+y﹣5=0；
（2）解方程组 可得 ，
∴直线 l 与直线 2x﹣y+7=0 的交点为（﹣2，3）
∵l2⊥l，∴直线 l2 的斜率 k=1，
∴直线方程为 x﹣y+5=0
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行垂直关系，属基础题．
19.设 P(x，y)关于直线 l：3x－y＋3＝0 的对称点为 P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即 ×3＝－1.①
又 PP′的中点在直线 3x－y＋3＝0 上，
∴3× － ＋3＝0.②
由①②得
(1)把 x＝4，y＝5 代入③④得 x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(－2,7)．………………………6 分
(2)用③④分别代换 x－y－2＝0 中的 x，y，
得关于 l 的对称直线方程为 － －2＝0，
化简得 7x＋y＋22＝0. ……………………12 分
20.（1） ;（2）
3 5+ 2
3
3 2 8 0x y− + = 1 0x y+ + =
（1）由 的方向向量为 ，得斜率为 ，
所以直线 的方程为： （6 分）
（2）当直线 在两坐标轴上的截距为 0 时，直线 的方程为 ；（9 分）
当直线 在两坐标轴上的截距不为 0 时，设为 代入点 得直线 的方程为
.
21.
考点： 直线的一般式方程；恒过定点的直线．
专题： 直线与圆．
分析： （1）直线 l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为 k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令 ，解得
即可得出；
（2）由方程可知：k≠0 时，直线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为： ，﹣2﹣k．由于直线不经
过第二象限，可得 ，解得 k．当 k=0 时，直线变为 y=﹣2 满足题意．
（3）由直线 l 的方程可得 A ，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得 ，解得
k＞0．S= = •|﹣2﹣k|= = ，利用基本不等式
的性质即可得出．
解答： （1）证明：直线 l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为 k（x﹣1）﹣y﹣2=0，
令 ，解得 x=1，y=﹣2，
∴直线 l 过定点 P（1，﹣2）．
（2）解：由方程可知：k≠0 时，直线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为： ，﹣2﹣k．
∵直线不经过第二象限，
∴ ，解得 k＞0．当 k=0 时，直线变为 y=﹣2 满足题意．
综上可得：k 的取值范围是[0，+∞）；
l ( 2, 3)− − 3
2
l 3 2 8 0x y− + =
l l 1
2y x= −
l ,x y a+ = ( 2,1)P − l
1 0x y+ + =
（3）解：由直线 l 的方程可得 A ，B（0，﹣2﹣k）．
由题意可得 ，解得 k＞0．
∴S= = •|﹣2﹣k|= =
=4．当且仅当 k=2 时取等号．
∴S 的最小值为 4，此时直线 l 的方程为 2x﹣y﹣4=0．
点评： 本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、
直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．