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- 2021-04-13 发布
黑龙江省20192018届高三数学第四次模拟考试试题 理（无答案）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．为虚数单位，复数，则复数的虚部是
A．1 B．-1 C． D．
2. 设集合，M=｛0,1,2｝，N=，则
A. ｛0｝ B. ｛0，1｝ C. ｛0，1，2｝ D.
3．命题：“，”的否定为
A．, B．,
C．, D．,
4．在等差数列中，，前7项和，则其公差是
A．-1 B.1 C． D.
5．据统计，一般鹦鹉被连续逗弄30分钟出现不耐烦情绪的概率为0.04，被连续逗弄45分钟出现不耐烦情绪的概率为0.16，已知某人连续逗弄他的宠物鹦鹉30分钟未出现不耐烦情绪，则他继续逗弄15分钟而不引发鹦鹉不耐烦情绪的概率为
A． B．
C． D．
6．已知的展开式中的系数为25，则=
- 6 -
A．3 B．2 C．-2 D．-3
7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入，的值分别为4,1，则输出的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
8．设函数的最小正周期为，且，则
A．在单调递减 B．在单调递增
C．在单调递增 D．在单调递
9．如果实数满足关系 则的取值范围是
A． B． C． D．
10．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的外接球体积为
A. B.
C. D.
11．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A． 0 B．2 C．3 D．4
12．过双曲线 的右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，且 ，过点作的垂线交轴于点（其中O为坐标原点），若的面积是的面积的4倍，则该双曲线离心率为
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
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二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知等边的边长为2，分别为的中点，则 =_______.
14．的三个内角的对边分别为，若的面积，且
，则
15．已知直四棱柱中，四边形为菱形，， ，则异面直线与所成角的余弦值为
16．是定义在上的函数,其导函数为．若
，则不等式(其中为自然对数的底数)的解集为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分12分）
已知在数列中，.
（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和.
18. （本小题满分12分）
如图,在四棱锥 中,底面为菱形, 为上一点.
（1）若平面,试说明点的位置并证明的结论;
（2）若为的中点, 平面,且,
求二面角的余弦值.
19. （本小题满分12分）
某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从
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年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
450
400
350
300
250
年龄
（岁）
200
70
60
50
40
30
20
10
实际平均续
航里程（km）
注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．
（Ⅰ）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为，，根据图中数据，试比较，的大小（结论不要求证明）；
（Ⅱ）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；
（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望．
20. （本小题满分12分）
已知抛物线，焦点为错误！未找到引用源。，直线交抛物线于错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。两点，错误！未找到引用源。为错误！未找到引用源。的中点，且错误！未找到引用源。。
（1）求抛物线错误！未找到引用源。的方程；
（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最小值．
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21. （本小题满分12分）
已知函数，曲线在点处的切线方程为.
(Ⅰ) 求的值；
(Ⅱ) 证明: .
请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线错误！未找到引用源。的极坐标方程为错误！未找到引用源。，过点错误！未找到引用源。且倾斜角为错误！未找到引用源。的直线与曲线错误！未找到引用源。相交于两点.
（1）写出曲线错误！未找到引用源。的直角坐标方程和直线错误！未找到引用源。的普通方程；
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（2）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
设不等式－2＜|x－1|－|x＋2|＜0的解集为M，a，b∈M.
(1)证明： ；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．
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