高考文科数学复习：夯基提能作业本 (41) 6页

第一节　坐标系 A组　基础题组 ‎1.(1)化直角坐标方程x2+y2-8x=0为极坐标方程;‎ ‎(2)化极坐标方程ρ=6cosθ-‎π‎3‎为直角坐标方程.‎ ‎2.在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a的值.‎ ‎3.已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ-‎π‎4‎=‎2‎,点A的极坐标为A‎2‎2‎,‎‎7π‎4‎,求点A到直线l的距离.‎ ‎4.已知圆C的极坐标方程为ρ2+2‎2‎ρsinθ-‎π‎4‎-4=0,求圆C的半径.‎ ‎5.在极坐标系中,求曲线ρ=4cosθ-‎π‎3‎上任意两点间的距离的最大值.‎ ‎6.在极坐标系中,直线ρ(sin θ-cos θ)=a与曲线ρ=2cos θ-4sin θ相交于A,B两点,若|AB|=2‎3‎,求实数a的值.‎ B组　提升题组 ‎7.(2016江苏南京模拟)已知直线l:ρsinθ-‎π‎4‎=4和圆C:ρ=2kcosθ+‎π‎4‎(k≠0).若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2,求实数k的值,并求圆心C的直角坐标.‎ ‎8.(2016贵州联考)在一个极坐标系中,已知点C的极坐标为‎2,‎π‎3‎.‎ ‎(1)求出以C为圆心,半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程),并画出图形;‎ ‎(2)在直角坐标系中,以圆C所在极坐标系的极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,点P是圆C上任意一点,Q(5,-‎3‎),M是线段PQ的中点,当点P在圆C上运动时,求点M的轨迹的普通方程.‎ ‎9.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos θ,ρcosθ+‎π‎3‎=1.‎ ‎(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;‎ ‎(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹方程,并指出轨迹是什么图形.‎ 答案全解全析 A组　基础题组 ‎1.解析　(1)将x=ρcosθ,‎y=ρsinθ代入x2+y2-8x=0得 ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-8ρcos θ=0,‎ 即ρ2-8ρcos θ=0,‎ ‎∴极坐标方程为ρ=8cos θ.‎ ‎(2)因为ρ=6cosθ-‎π‎3‎,‎ 所以ρ=6cosθcosπ‎3‎+sinθsinπ‎3‎,‎ 即ρ2=3ρcos θ+3‎3‎ρsin θ,‎ 所以x2+y2=3x+3‎3‎y,‎ 即x2+y2-3x-3‎3‎y=0.‎ ‎∴直角坐标方程为x2+y2-3x-3‎3‎y=0.‎ ‎2.解析　将极坐标方程化为直角坐标方程得,圆的方程为x2+y2=2x,即(x-1)2+y2=1,直线的方程为3x+4y+a=0.‎ 由题意知,圆心(1,0)到直线的距离为1,即‎|3×1+4×0+a|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=1,解得a=-8或a=2.故a的值为-8或2.‎ ‎3.解析　由2ρsinθ-‎π‎4‎=‎2‎,‎ 得2ρ‎2‎‎2‎sinθ-‎2‎‎2‎cosθ=‎2‎,‎ ‎∴y-x=1,即x-y+1=0.‎ 由点A的极坐标为‎2‎2‎,‎‎7π‎4‎得点A的直角坐标为(2,-2),‎ ‎∴点A到直线l的距离d=‎|2+(-2)×(-1)+1|‎‎2‎=‎5‎‎2‎‎2‎.‎ ‎4.解析　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正半轴,建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为ρ2+2‎2‎ρ‎2‎‎2‎sin θ-‎2‎‎2‎cos θ-4=0,‎ 化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,‎ 即(x-1)2+(y+1)2=6,‎ 所以圆C的半径为‎6‎.‎ ‎5.解析　由ρ=4cosθ-‎π‎3‎可得ρ2=4ρ‎1‎‎2‎cosθ+‎3‎‎2‎sinθ=2ρcos θ+2‎3‎ρsin θ,即得直角坐标方程为x2+y2=2x+2‎3‎y,配方可得(x-1)2+(y-‎3‎)2=4,所以该曲线是一个圆,且圆的半径为2,则圆上任意两点间的距离的最大值为4.‎ ‎6.解析　将直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x-y+a=0,‎ 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5,‎ 所以圆心的坐标为(1,-2),半径r=‎5‎,所以圆心到直线的距离为‎|1+2+a|‎‎2‎=r‎2‎‎-‎‎|AB|‎‎2‎‎2‎=‎2‎,‎ 解得a=-5或a=-1.‎ 故实数a的值为-5或-1.‎ B组　提升题组 ‎7.解析　对于圆C,∵ρ=‎2‎kcos θ-‎2‎ksin θ,‎ ‎∴ρ2=‎2‎kρcos θ-‎2‎kρsin θ,‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-‎2‎kx+‎2‎ky=0,‎ 即x-‎2‎‎2‎k‎2‎+y+‎2‎‎2‎k‎2‎=k2,‎ ‎∴圆心的直角坐标为‎2‎‎2‎k,-‎2‎‎2‎k.‎ 对于直线l,∵ρsin θ·‎2‎‎2‎-ρcos θ·‎2‎‎2‎=4,‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x-y+4‎2‎=0,‎ ‎∴‎2‎‎2‎k+‎2‎‎2‎k+4‎‎2‎‎2‎-|k|=2.‎ 即|k+4|=2+|k|,‎ 两边平方,得|k|=2k+3,‎ ‎∴k>0,‎k=2k+3‎或k<0,‎‎-k=2k+3,‎ 解得k=-1,故圆心C的直角坐标为‎-‎2‎‎2‎,‎‎2‎‎2‎.‎ ‎8.解析　(1)如图,延长OC交圆C于D.设圆C上异于O,D的任意一点A(ρ,θ),则∠AOC=θ-π‎3‎或π‎3‎-θ.在△AOC中,由余弦定理,得4+ρ2-4ρcosθ-‎π‎3‎=4,‎ 整理得ρ=4cosθ-‎π‎3‎,经验证O,D两点的极坐标也适合上式,‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ-‎π‎3‎.‎ ‎(2)在直角坐标系中,点C的坐标为(1,‎3‎),可设P(1+2cos α,‎3‎+2sin α)(α为参数),‎ 设M(x,y),∵Q(5,-‎3‎),M是线段PQ的中点,‎ ‎∴M的参数方程为x=‎1+2cosα+5‎‎2‎,‎y=‎‎3‎‎+2sinα-‎‎3‎‎2‎⇒x=3+cosα,‎y=sinα(α为参数).‎ ‎∴点M的轨迹的普通方程为(x-3)2+y2=1.‎ ‎9.解析　(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-‎3‎y-2=0,所以曲线C2为直线,‎ 由于圆心到直线的距离d=‎|-1-2|‎‎2‎=‎3‎‎2‎>1,‎ 所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点,亦即曲线C1和C2的公共点的个数为0.‎ ‎(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则ρρ‎0‎=2,‎θ=θ‎0‎,‎ 即ρ‎0‎‎=‎2‎ρ,‎θ‎0‎‎=θ.‎①‎ 因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,‎ 所以ρ0cosθ‎0‎‎+‎π‎3‎=1,②‎ 将①代入②,得‎2‎ρcosθ+‎π‎3‎=1,‎ 即ρ=2cosθ+‎π‎3‎为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为x-‎‎1‎‎2‎‎2‎+y+‎‎3‎‎2‎‎2‎=1,因此点P的轨迹是以‎1‎‎2‎‎,-‎‎3‎‎2‎为圆心,1为半径的圆.‎