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- 2021-04-13 发布
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试
文科数学 2016.12
本试卷共4页，23小题， 满分150分。考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设全集，集合，集合，则
(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)
（2）设，其中是实数，则
（A）1 （B） （C） （D）
（3）已知双曲线（）的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为
(A) (B) (C) (D)
（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是
(A) (B) (C) (D)
（5）已知角的顶点与原点重合, 始边与轴正半轴重合, 终边过点, 则
（A） （B） （C） （D）
（6）已知菱形的边长为，, 则
(A) (B) (C) (D)
（7）已知函数 ，则函数的图象是
（8）曲线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为
(A) (B) (C) (D)
（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为
(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11
（10）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是( )．
(Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)
（11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥
的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是
(A) (B)
(C) (D)
(12) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本小题共4题，每小题5分。
（13）等比数列的前项和为，若，则公比________．
（14）已知函数，若，则 ．
（15）设分别是圆和椭圆上的点，则两点间的最大
距离是 .
（16）已知锐角△的内角,,的对边分别为，，，若，
，则△的周长的取值范围是 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
等差数列中，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记表示不超过的最大整数，如，. 令，
求数列的前2000项和.
（18）（本小题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲, 乙两座城市年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．
（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，
从PM2.5日均值在范围内随机取2天
数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率；
（Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年
的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按365天计算）
中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．
(19) （本小题满分12分）
在三棱锥中, △是等边三角形, ∠∠.
（Ⅰ）求证: ⊥;
（Ⅱ）若，，求三棱锥的体积.
(20) （本小题满分12分）
已知点是抛物线上相异两点，且满足．
（Ⅰ）若直线经过点，求的值；
（Ⅱ）是否存在直线，使得线段的中垂线交轴于点, 且? 若存
在，求直线的方程；若不存在，说明理由.
(21) （本小题满分12分）
设函数. 若曲线在点处的切线方程为
（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，试比较与的大小，并予以证明.
请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线的参数方程为为参数, 曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（II）设直线与曲线C相交于两点, 当变化时, 求的最小值.
(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知，不等式的解集是.
（Ⅰ）求的值；
（II）若存在实数解，求实数的取值范围.
2017届广州市普通高中毕业班模拟考试
文科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D
（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A
二、填空题
（13） （14） （15） （16）
三、解答题
(17) 解：
（Ⅰ）由，，得 ……………………2分
解得，， …………………………………………4分
所以. ………………………………………………………………5分
（Ⅱ）， …………………………………………6分
当时, ; …………………………………………7分
当时, ; …………………………………………8分
当时, ; …………………………………………9分
当时, . ………………………………………10分
所以数列的前2000项和为. ……12分
(18) 解:
（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在内的共有6天，而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天．记PM2.5日均值超标的3天为，不超标的3天为，则从这6天中随机取2天，共有如下15种结果（不记顺序）:
，， ……………………2分
其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：．…4分
由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率． ……………………6分
（Ⅱ）各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级；……………………7分
乙城市有16天达到一级或二级． …………………………………………8分
由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:
， ．……………………12分
(19) 解:
（Ⅰ）因为是等边三角形, ∠∠,
所以≌, 可得. …………1分
如图, 取中点, 连结,,
则,, ……………………3分
因为
所以平面, ………………………………………………………………4分
因为平面,
所以. ……………………………………………………………5分
（Ⅱ）因为 ≌,
所以, . ………………………………………………………6分
由已知，在Rt中, ,
………………………………………………8分
因为, , ,
所以. ……………………………………………………………9分
因为, ，
所以的面积. ……………………10分
因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积,
所以三棱锥的体积. ………………12分
(20) 解：
（I）法1：①若直线的斜率不存在，则直线方程为．
联立方程组 解得 或
即，． ………………………………………………………………1分
所以． ………………………………………………………………2分
②若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组 消去得，
故，方程无解． …………………………………………3分
所以．
法2：因为直线过抛物线的焦点，根据抛物线的定义得，
，， …………………………………………………………2分
所以. …………………………………………3分
（II）假设存在直线符合题意，设直线的方程为，
联立方程组 消去得，(*)
故，……………………………………………………………4分
所以．
所以． …………………………………………………………5分
所以．
…………………………………………………………6分
因为．
所以的中点为．
所以的中垂线方程为=，即． …………………7分
令, 得.
所以点的坐标为. ……………………………………………………………8分
所以点到直线的距离.
因为，………………………………………………………9分
所以 .
解得． ………………………………………………………………10分
当时，；当时，．
把和分别代入(*)式检验, 得,不符合题意. …………………11分
所以直线不存在. ……………………………………………………………12分
(21) 解:
（Ⅰ）函数的定义域为.
. ………………………………………………………………1分
依题意得，即 ……………………3分
所以. ………………………………………………………………4分
所以，.
当时, ; 当时, .
所以函数的单调递减区间是, 单调递增区间是.………………6分
（Ⅱ）当时，.
等价于，
也等价于. ………………………………………7分
不妨设，
设（）,
则. …………………………………………………………8分
当时，，所以函数在上为增函数，
即， ……………………9分
故当时，（当且仅当时取等
号）.
令，则， …………………………………………10分
即（当且仅当时取等号），……………11分
综上所述，当时，（当且仅当时取等号）.
………………………………………………………………12分
(22) 解:
(Ⅰ) 由消去得, ……………………1分
所以直线的普通方程为. ……………………2分
由, 得, ……………………3分
把代入上式, 得,
所以曲线C的直角坐标方程为. …………………………………………5分
(II) 将直线l的参数方程代入, 得, ………………6分
设A、B两点对应的参数分别为,
则, , …………………………………………7分
所以 . ……9分
当时, 的最小值为4. …………………………………………10分
(23) 解：
（Ⅰ）由|, 得，即. ……………………1分
当时，. …………………………………………………………2分
因为不等式的解集是
所以 解得…………………………………………………………3分
当时，. …………………………………………………………4分
因为不等式的解集是
所以 无解. …………………………………………………………5分
所以
（II）因为………………7分
所以要使存在实数解，只需. ………………8分
解得或. ………………………………………………………9分
所以实数的取值范围是. …………………………10分