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- 2021-04-13 发布
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2019-2020学年度秋四川省泸县一中高一期中考试数学试题
时间：120分钟 满分：150分
第I卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1.己知集合，，，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可解出集合B，然后进行交集的运算即可．
【详解】；根据集合交集的概念得到．
故选C．
【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．
2.若集合M={-1，0，1},则下面结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】根据元素与集合之间是属于、不属于的关系，集合与集合之间为包含和包含于的关系可得：，故选A.
3.下列集合中为空集的是
A. {x∈N|x2≤0} B. {x∈R|x2–1=0}
C. {x∈R|x2+x+1=0} D. {0}
【答案】C
【解析】
A，{x∈N|x2≤0}={0}，不是空集；B，{x∈R|x2–1=0}={–1，1}，不是空集；C，{x∈R|x2+x+1=0}，因为方程x2+x+1=0无实数解，所以集合是空集；D，{0}显然不是空集．故选C．
4.函数的定义域是
A. {x|x≥4} B. {x|x≤4} C. {x| x≥4且x≠±1} D. {x| x≤4且x≠±1}
【答案】D
【解析】
【分析】
根据分母不为零以及偶次根式下被开方数非负列式解不等式组得结果.
【详解】因，所以选D.
【点睛】求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等.
5.下列各式正确的是()
A. =a B. a0=1 C. =-4 D. =-5
【答案】D
【解析】
由于 ，则选项A、C排除，D正确，B需要加条件，本题选D.
6.集合,则M的子集个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
本题考查的是集合的子集个数问题．由条件可知，，所以M的子集个数为．应选D．
7.已知，则（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接代入x=0求解函数值即可．
【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，
∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．
∴f（1）=2．
故选A．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．
8.已知,,,则的大小关系( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【详解】∵0＜a＝0.71.3＜1，b＝30.2＞1，c＝log0.25＜0，
∴c＜a＜b．
故选D．
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.设二次函数满足，又在上是减函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
二次函数满足，说明对称轴为， 又在上是减函数，说明抛物线开口向下，若，则，选B.
10.已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则
（ ）
A. -2 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数的周期性与奇偶性可得且，可得的值，进而分析可得，从而可得结果.
【详解】因为函数是定义在的周期为的奇函数，
所以则有且，
即，则，
，
则，故选A.
【点睛】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
11.定义在上的奇函数满足，且在[0，1]上是减函数，则有( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用得到，再依据奇函数性质得到
时，，最后利用单调性即可得出大小关系．
【详解】因为，令，所以，
定义在上的奇函数有， ，又在[0，1]上是减函数，所以
时，，,
由此可知，
【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性以及单调性的应用．
12.奇函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得在区间（-∞，-1）上，f（x）＞0，在（-1，0）上，f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在区间（0，1）上，f（x）＞0，在（1，+∞）上，f（x）＜0，又由（x-1）f（x-1）＜0⇔或，可解得的取值范围，即可得出答案．
【详解】根据题意，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=0，
则在区间（-∞，-1）上，f（x）＞0，在（-1，0）上，f（x）＜0，
又由函数f（x）为奇函数，则在区间（0，1）上，f（x）＞0，在（1，+∞）上，f（x）＜0，
所以（x-1）f（x-1）＜0⇔或，
即时，或者；时，或者
解得：x＜0或x＞2，
即x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）；
故选：A．
【点睛】本题考查抽象函数的单调性以及奇偶性的应用，注意分析f（x）的取值情况，属于综合题．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13.函数的定义域为_________________
【答案】
【解析】
【分析】
分母不为零，对数的真数大于零,列不等式组即可得解.
【详解】由得，
所以函数的定义域为.
【点睛】本题考查函数定义域.常用方法：1、分母不为零；2、对数的真数大于零；3、偶次方根的被开方数大于或等于零；4、零次幂的底数不等于零；5、中.
14.已知集合，，若，则______．
【答案】或0
【解析】
【分析】
首先由集合元素的互异性，得，因为，即集合是集合的真子集，所以，所以或，解出的值即可.
【详解】由集合元素的互异性，得，
因为，所以，所以或，
所以（舍），，或，（舍），
所以或.
【点睛】本题考查了集合元素性质和集合之间的关系，属于基础题，同时考查学生的推理和计算能力.
集合中的元素有确定性、互异性、无序性的特点，解题时要注意用此性质取舍答案.
若，则时必有.
15.已知函数是定义在上的减函数，且,则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】
由函数f（x）是定义在上的减函数，可将不等式化为：，解得答案．
【详解】：∵函数f（x）是定义在上的减函数，
∴不等式可化为：解得：，
故答案为
【点睛】本题考查知识点是函数单调性的应用，其中根据函数的单调性，将不等式化为：，是解答的关键．
16.设函数是定义在实数上不恒为的偶函数，且，则__________．
【答案】
【解析】
由可得
，，
，
又∵，
∴，，，
又∵，
∴，
即，
∴．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知集合，．
（1）当m=4时，求，；
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；（2）.
【解析】
试题分析：首先把代入求出集合B，然后按照集合的交、并、补运算法则求出结果，根据题意要求，在数轴上画出满足条件的集合A、B，根据集合A是集合B的子集，列出符合要求的不等式，注意端点能否取等号，解不等式，求出参数m的取值范围.
试题解析：
（1）时，，
（2）
当时，即.
当时，则即 .
综上
【点精】根据集合的运算的定义，集合A与B的交集定义为集合A与B的公共元素组成的集合，集合A与B定义为属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，而集合A在集合U下的补集定义为属于集合U但不属于集合A的元素组成的集合；集合A与集合B的交集为集合A，说明集合A是集合B的子集，这种二级结论还有集合A与集合B的并集为A，说明集合B是集合A的子集 ，利用集合包含关系求参数问题，一般在数轴上画出满足条件的集合A、B，根据集合A是集合B的子集，列出符合要求的不等式，注意端点能否取等号，解不等式，求出参数的取值范围.
18.已知函数，，.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在的值域.
【答案】（1）；（2）的值域为
【解析】
【分析】
(1)根据,建立方程,计算参数,即可.(2)化简,判定单调性,计算值域,即可.
【详解】（1）由，，得，，
所以，，所以；
（2）因为 在上是增函数，
，，
所以的值域为.
【点睛】本题考查了函数解析式求法以及值域计算问题,将题目已知条件代入解析式,计算参数,同时判定单调性,计算值域,即可,属于较容易题.
19.已知函数（a∈R）．
（Ⅰ）若f（1）=27，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有最大值9，求a的值．
【答案】（Ⅰ）a=2； （Ⅱ）a=1.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，将x=1代入函数的解析式可得f（1）=3a+1=27，解可得a的值，即可得答案；
（Ⅱ）根据题意，由f（x）有最大值9，分析可得函数y=-x2+2x+a有最大值2，结合二次函数的性质分析可得=2，解可得a的值，即可得答案．
【详解】（Ⅰ）根据题意，函数，
又由f（1）=27，则f（1）=3a+1=27，
解可得a=2；
（Ⅱ）若f（x）有最大值9，即≤9，
则有-x2+2x+a≤2，
即函数y=-x2+2x+a有最大值2，则有=2，
解可得a=1．
【点睛】本题考查指数型复合函数的性质以及应用，注意结合二次函数的性质分析，属于基础题．
20.已知函数.
(1)判断在区间上的单调性并证明；
(2)求的最大值和最小值.
【答案】（1）函数在上为增函数，证明见解析；
（2）的最大值为，最小值为．
【解析】
【分析】
（1）利用函数的单调性的定义, 设，判断的正负，证明出函数在上的单调性为增函数;
（2）由（1）得出函数的单调性为单调递增,从而得出函数在区间上的最大值为与最小值为，求出其函数值得最值.
【详解】（1）函数在上为增函数，证明如下：
设是上的任意两个实数，且，则
．
∵ ，
∴ ，
∴ ，即，
∴ 函数在上为增函数．
(2)由（1）知函数在单调递增，所以
函数的最小值为，
函数的最大值为．
故得解.
【点睛】本题考查函数的单调性的定义,单调性的证明以及运用函数单调性求函数的最值，属于基础题..
21.
21.已知函数是奇函数．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若函数在区间 上单调递增，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）(0，4]．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设，则，利用可求时的解析式，故可得．
（Ⅱ）画出函数的图像可得的取值范围．
详解】(1)设，则，所以.
又因为为奇函数，所以，
于是时，，所以.
(2) 函数的图像如图所示：
要使在上单调递增，
结合的图像知，
所以，故实数的取值范围是．
【点睛】对于奇函数或偶函数，如果我们知道其一侧的函数的解析式，则可通过函数解析式满足的关系求出该函数另一侧的函数的解析式．求解析式时应设所求那一侧的自变量为．
22.已知函数的定义域是，当时， ，且
(1)求；
(2)证明在定义域上是增函数；
(3)如果，求满足不等式的的取值范围．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】
(1)直接赋值：
(2)利用定义证明函数的单调性，需要将其中
(3)利用单调性就能得出不等式.
【详解】(1)令，得
(2)证明：任取且即
则，从而
∴在上是增函数．
(3)由于而，故
在中，令，得
故所给不等式可化为，
即
∴的取值范围是
【点睛】抽象函数求值常采用赋值法，单调性则需要对其中一个量进行转化比如本题中，再来做相应计算，抽象函数不等式相关问题则一般化成形.