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- 2021-04-13 发布
2020年春四川省宜宾市叙州区第二中学高二第四学月考试
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知复数,则的共轭复数
A. B. C. D.
3.《高中数学课程标准》(2017 版)规定了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图(如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则下面叙述正确的是
(注:雷达图(Radar Chart)，又可称为戴布拉图、蜘蛛网图(Spider Chart)，可用于对研究对象的多维分析)
A.甲的数据分析素养高于乙 B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养
C.乙的六大素养中逻辑推理最差 D.乙的六大素养整体水平优于甲
4.若，则“”是 “”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数y=2|x|sin2x的图象可能是
A. B. C. D.
6.已知随机变量服从正态分布,,则
A. B. C. D.
7.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有
A. 10种 B. 20种 C. 25种 D. 32种
8.甲、乙、丙三人每人准备在3个旅游景点中各选一处去游玩，则在“至少有1个景点未被选择”的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是
A. B. C. D.
9.若函数fx=kx−lnx在区间1,+∞单调递增，则k的取值范围是
A. −∞,−2 B. −∞,−1 C. 2,+∞ D. 1,+∞
10.已知函数，x∈R，若a=flog123，b=flog132，c=f2−2则a,b,c的大小为
A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c
11.已知是定义在上的函数，若且，则的解集为
A. B. C. D.
12.已知函数，且对任意的，都有恒成立，则的最大值为
A. B. C. D.
第II卷 非选择题（90分）
二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在的展开式中常数项是__________．
14.已知函数，则在处的切线方程为_______________.
15.随机变量的分布列如下：
若，则__________.
16.已知，命题：，，命题：，，若命题为真命题，则实数的取值范围是_____．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17.（12分）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）记A表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分”，估计A的概率；
（Ⅲ）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
优秀
非优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
100
参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18（12分）.已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(II)对于任意正实数x,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
19.（12分）如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点.
(I)证明：；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
20.（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，点P23,263在C上.
(I)求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=x+m与椭圆C相交于A，B两点，问y轴上是否存在点M，使得ΔABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由.
21.（12分）已知函数f(x)=xlnx，g(x)=12mx2+x.
(I)若函数f(x)与g(x)的图像上存在关于原点对称的点，求实数m的取值范围；
（II）设F(x)=f(x)−g(x)，已知F(x)在(0,+∞)上存在两个极值点x1,x2，且x1<x2，求证：x1x2>e2（其中e为自然对数的底数）.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.
(I)分别写出，，，的极坐标方程；
（II）曲线由，，，构成，若点，（），在
上，则当时，求点的极坐标.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设
(I)解不等式；
（II）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.
2020年春四川省宜宾市叙州区第二中学高二第四学月考试
理科数学答案
1.C 2.A 3.D 4.A 5.D 6.D 7.D 8.A 9.D 10.C 11.D 12.B
13.14 14. 15. 16.或
17.（Ⅰ）由题可得(0.005+0.010+0.020+0.030+a+0.010)×10=1，
解得a=0.025．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=0.025，
则比赛成绩不低于80分的频率为(0.025+0.010)×10=0.35，
故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于80分的概率约为0.35．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有100×0.35=35人，
由此可得完整的2×2列联表：
优秀
非优秀
合计
男生
10
40
50
女生
25
25
50
合计
35
65
100
所以K2的观测值k=100×(10×25-25×40)235×65×50×50=90091≈9.890<10.828，
所以没有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”．
18.(1)因为.所以,令,得,
当时,;当时,
所以函数在上单调递减,在上单调递增.
(2)由于,恒成立,所以.
构造函数,所以.
令,解得,当时,,当时,.
所以函数在点处取得最小值,即.
因此所求k的取值范围是.
19.(1)如图所示，连结，
等边中，，则，
平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，
由面面垂直的性质定理可得：平面，故，
由三棱柱的性质可知，而，故，且，
由线面垂直的判定定理可得：平面，
结合⊆平面，故.
(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系.
设，则，,，
据此可得：，
由可得点的坐标为，
利用中点坐标公式可得：，由于，
故直线EF的方向向量为：
设平面的法向量为，则：
，
据此可得平面的一个法向量为，
此时，
设直线EF与平面所成角为，则.
20.(1)由题意可得c=1，点P(23,263)在C上，∴49a2+83b2=1，
又a2=b2+c2=b2+1，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为x24+y23=1，
(2)假设y轴上存在点M(0,t)，△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点为N(x0,y0)，
由x24+y23=1y=x+m，消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0，
△=64m2-28(4m2-12)=16(21-3m2)>0，解得m2<7，
∴x1+x2=-8m7，x1x2=4m2-127，
∴x0=-x1+x22=-4m7，y0=x0+m=3m7，
∴N(-4m7,3m7)，依题意有AM⊥BM，MN⊥l，
由MN⊥l，可得t-3m70-(-4m7)×1=-1，可得t=-m7，
由AM⊥BM可得y1-tx1⋅y2-tx2=-1，∵y1=x1+m，y2=x2+m，
代入上式化简可得2x1x2+2(m-t)(x1+x2)+(m-t)2=0，
则2(4m2-12)7-(8m7)2+(8m7)2=0，解得m=±3，
当m=3时，点M(0,-37)满足题意，当m=-3时，点M(0,37)满足题意
21.（1）函数fx与gx的图像上存在关于原点对称的点
即gx=12mx2+x的图像与函数y=−f−x=xln−x的图像有交点
即12mx2+x=xln−x在−∞,0有解，即12m=ln−x−1x在−∞,0上有解
设φx=ln−x−1x，x<0，则φ′x=2−ln−xx2
当x∈−∞,−e2时，φx为减函数；当x∈−e2,0时，φx为增函数
φxmin=φ−e2=−1e2，即m≥−2e2
（2）Fx=fx−gx=xlnx−12mx2−x，F′x=lnx−mx
Fx在0,+∞上存在两个极值点x1,x2，且x1<x2 ∴lnx1−mx1=0lnx2−mx2=0
∴m=lnx1+lnx2x1+x2且m=lnx1−lnx2x1−x2
∴lnx1+lnx2x1+x2=lnx1−lnx2x1−x2，即lnx1+lnx2=x1+x2x1−x2lnx1x2=x1x2+1lnx1x2x1x2−1
设t=x1x2∈0,1，则lnx1+lnx2=t+1lntt−1
要证x1x2>e2，即证lnx1+lnx2>2
只需证明t+1lntt−1>2，即证明lnt−2t−1t+1<0
设ht=lnt−2t−1t+1，则h′t=1t−4t+12=t−12tt+12>0
则ht=lnt−2t−1t+1在0,1上单调递增，ht2 ∴x1x2>e2
22.（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，
则在直角三角形中，，，，得：.
所以曲线的极坐标方程为：
又在曲线上任取一点，则在中，，，，
，，由正弦定理得：，
即：，化简得的极坐标方程为：
同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，
解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）
由题意可知，，，的直角坐标方程为：
，，
，，
所以，，，的极坐标方程为：，
，，
（2）当时，，，
当时，，，
所以点的极坐标为，
23.（1）
令
当时
当时
当时
综上所述
（2）恒成立等价于
（当且仅当时取等）
恒成立