【数学】2020届一轮复习人教B版圆、椭圆的参数方程的应用作业 6页

‎2020届一轮复习人教B版 圆、椭圆的参数方程的应用 作业 ‎1．已知圆的方程为x2＋y2＝4x，则它的参数方程是________．‎ ‎【解析】　x2＋y2＝4x可化为(x－2)2＋y2＝4，‎ ‎∴圆心为(2,0)，半径r＝2.‎ ‎∴参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π)．‎ ‎【答案】　(θ为参数，0≤θ＜2π)‎ ‎2．椭圆(φ为参数)的焦距是________．‎ ‎【解析】　根据参数方程，可知a＝3，b＝2.‎ ‎∴c＝ ‎＝＝，‎ ‎∴焦距为2c＝2.‎ ‎【答案】　2 ‎3．椭圆＋y2＝1上的点到直线x－y＋6＝0的距离的最小值为________．‎ ‎【导学号：98990036】‎ ‎【解析】　设P(cos θ，sin θ)是椭圆上的点，则点P到直线x－y＋6＝0的距离 d＝＝，‎ 当cos(θ＋)＝－1时，d取到最小值，最小值为2.‎ ‎【答案】　2 ‎4．点P(x，y)在圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上运动，则3x＋4y的最大值为________，的最小值为________．‎ ‎【解析】　设x＝1＋cos θ，y＝1＋sin θ，‎ 所以3x＋4y＝7＋3cos θ＋4sin θ＝7＋5sin(θ＋α)(其中sin α＝，cos α＝)，‎ 所以当sin(θ＋α)＝1时，3x＋4y取到最大值12.‎ 设t＝＝，则sin θ－tcos θ＝t－1，‎ 从而sin(θ－α)＝t－1(其中sin α＝，‎ cos α＝)，＝sin(θ－α)，‎ 所以≤1，解得t≥0，即的最小值为0.‎ ‎【答案】　12　0‎ ‎5．当x2＋y2＝4时，求u＝x2＋2xy－y2的最值．‎ ‎【解】　设(0≤θ<2π)，于是 u＝x2＋2xy－y2‎ ‎＝4cos2θ＋8cos θsin θ－4sin2θ ‎＝4cos 2θ＋4sin 2θ ‎＝8sin(2θ＋)．‎ 所以，当θ＝，x＝，y＝1时，或θ＝，x＝－，y＝－1时，umax＝8；‎ 当θ＝，x＝－1，y＝时，或θ＝，x＝1，‎ y＝－时，umin＝－8.‎ ‎6．若x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求2x＋y的最值．‎ ‎【解】　令x－1＝2cos θ，y＋2＝2sin θ，则有 x＝2cos θ＋1，y＝2sin θ－2，‎ 故2x＋y＝4cos θ＋2＋2sin θ－2‎ ‎＝4cos θ＋2sin θ＝2sin(θ＋φ)(tan φ＝2)．‎ ‎∴－2≤2x＋y≤2.‎ 即2x＋y的最大值为2，最小值为－2.‎ ‎7．过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t为参数)相交于A、B两点．求线段AB的长．‎ ‎【导学号：98990037】‎ ‎【解】　直线的参数方程为(s为参数)，‎ 曲线(t为参数)可以化为 x2－y2＝4.‎ 将直线的参数方程代入上式，得 s2－6s＋10＝0.‎ 设A、B对应的参数分别为s1，s2，‎ ‎∴s1＋s2＝6，s1s2＝10.‎ AB＝|s1－s2|＝＝2.‎ ‎8．已知A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使∠OPA＝90°，求椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【解】　设椭圆的方程为＋＝1，A(a,0)，设P(acos θ，bsin θ)是椭圆上一点，则＝(acos θ－a，bsin θ)，＝(acos θ，bsin θ)，由于∠OPA＝90°，所以·＝0，即(acos θ－a)acos θ＋b2sin2θ＝0，‎ a2(cos2θ－cos θ)＋b2sin2θ＝0，‎ a2cos θ(cos θ－1)＋b2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0.‎ 因为P与A不重合，‎ 所以cos θ－1≠0，‎ 则a2cos θ＝b2(1＋cos θ)，‎ ＝，‎ ＝1－＝1－＝.‎ 因为θ∈(0，)∪(π，2π)，‎ 所以∈(，1)，e∈(，1)．‎ ‎9．已知椭圆＋y2＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1、B2‎ 的连线分别交x轴于P、Q两点，求证：OP·OQ为定值．‎ ‎【证明】　设M(2cos φ，sin φ)，φ为参数，B1(0，－1)，‎ B2(0,1)．‎ 则MB1的方程：y＋1＝·x，‎ 令y＝0，‎ 则x＝，‎ 即OP＝||.‎ MB2的方程：y－1＝x，‎ 令y＝0，则x＝.‎ ‎∴OQ＝||.‎ ‎∴OP·OQ＝||×||＝4.‎ 即OP·OQ＝4为定值．‎ ‎10．已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)，‎ ‎(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．‎ ‎【解】　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1.‎ 联立方程组解得C1与C2的交点为(1,0)，(，－)．‎ ‎(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.‎ A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)，‎ P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝，‎ 故P点的轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆．‎ ‎11．求椭圆C：＋＝1上的点P到直线l：3x＋4y＋18＝0的距离的最小值．‎ ‎【解】　设点P的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈[0,2π)，‎ 则点P到直线l的距离 d＝ ‎＝ ‎＝≥，‎ 当sin(θ＋)＝－1时，等号成立．因为θ∈[0,2π)，所以θ＝.‎ 所以当θ＝时，d取得最小值.‎ ‎[能力提升]‎ ‎12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为，其中θ为参数．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos(θ＋)＝3.求椭圆C上的点到直线l距离的最大值和最小值．‎ ‎【解】　直线l的普通方程为：x－y－3＝0，设椭圆C上的点到直线l距离为d.‎ d＝ ‎＝ ‎∴当sin(θ－)＝1时，dmax＝2，‎ 当sin(θ－)＝－1时，dmin＝.‎