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- 2021-04-13 发布
2017届襄阳五中高三年级第一次适应性考试
数学（理科） 试 题
命题人：涂圣义 审题人：肖计雄 张华齐
一、选择题（每题5分，满分60分，将答案填在答题纸上）
A、 设全集U＝R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. 或 B. 或
C. D.
B、 已知是虚数单位，，，、在复平面上对应的点分别为、，则（ ）
A．31 B．33 C． D．
C、 “” 是“方程表示双曲线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D、 下列命题中的假命题是（ ）
A. . B.
C. D.
E、 李冶（1192--1279 ），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）（ ）
A．10步，50步 B．20步，60步 C．30步，70步 D．40步，80步
F、 已知， 均为锐角，且，则（ ）
A． B．
C． D．
G、 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．4
A、 已知向量， ， ，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
B、 六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A，B，C三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C学校，男生甲不能到A学校，则不同的安排方法为( )
A．24 B．36 C．16 D．18
C、 如图，在中，，，点为的中点，将沿折起到的位置，使，连接，得到三棱锥.若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
D、 已知圆O的半径为定长，点A是平面内一定点（不与O重合），P是圆O上任意一点，线段AP的垂直平分线和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹可能是下列几种：①椭圆，②双曲线，③抛物线，④直线，⑤点
A. ①②⑤ B.①②③ C.①④⑤ D.②③④
E、 设函数= x·ex， ， ，若对任意的，都有成立，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
F、 已知实数满足，函数的最小值为
G、 若，则在的展开式中，的幂指数不是整数的项共有
项。
H、 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”．当已知蓝色骰子的点数为3或6时，则两颗骰子的点数之和大于8的概率为______．
I、 对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
D
C
B
A
J、 (本题满分12分)
在中，是中点，已知.
（1）判断的形状；
（2）若的三边长是连续三个正整数，求的余弦值。
A、 (本题满分12分)随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象。交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0，10]，分别有5个级别：T∈[0，2)畅通；T∈[2，4)基本畅通；T∈[4，6)轻度拥堵；T∈[6，8)中度拥堵；T∈[8，10]严重拥堵．早高峰时段(T≥3 )，从襄阳市交通指挥中心随机选取了一至四马路之间50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：
（I）据此直方图估算交通指数的中位数和平均数；
（II）据此直方图求出早高峰一至四马路之间的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？
（III）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人用时间的数学期望．
B、 (本题满分12分)如图，在中， 为直角， ．沿的中位线，将平面折起，使得，得到四棱锥．
（Ⅰ）求证： 平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积；
（Ⅲ）是棱的中点，过做平面与平面平行，设平面截四棱锥所得截面面积为，试求的值．
C、 (本题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△的周长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线
交于P、Q两点，若A、P在x轴上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程.
A、 (本题满分12分)设函数.
（1）若函数的图象与直线相切，求的值；
（2）当时，求证：.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
B、 选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线的参数方程是（为参数），曲线的极坐标方程是．
（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线相交于，两点，点为的中点，点的极坐标为，求的值．
C、 选修：不等式选讲.
设函数（，实数）.
（1）若，求实数的取值范围； （2）求证： .
数学（理科）参考答案
DACAAB ABBDD AC
13． 14．15 15． 16．2017
17.解：（I）设
则由
中，由正弦定理得
同理得 …………2分
…………4分
即因为
………………6分
是等腰三角形或直角三角形。 ………………7分
（II）当时，
与的三边长是连续三个正整数矛盾，
， 是等腰三角形。 ………………8分
在直角三角形ADC中，设两直角边分别为
由得n=4， …………10分
由余弦定理或二倍角公式得
或 …………12分
18解析：
(1)由直方图知：T∈[4，8)时交通指数的中位数在T∈[5，6)，且为 5＋1×＝
T∈[4，8)时交通指数的平均数为：………2分
4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72. ………4分
(2)设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1，
则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：
P＝C32×()2×(1－)＋C33×()3＝，
所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为. …………8分
(3)由题意，所用时间X的分布列如下表：
X
30
35
45
60
P
0.1
0.44
0.36
0.1
则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，
所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．…………12分
19．（Ⅰ）证明：因为，且，
所以，同时，
又，所以面．
又因为，所以平面．………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 平面，又平面，
所以，
又因为，所以．
又因为，所以平面．
所以， ．
依题意， ．
所以， ．…………8分
（Ⅲ）分别取的中点，并连接，
因为平面平面，所以平面与平面的交线平行于，因为是中点，所以平面与平面的交线是的中位线．同理可证，四边形是平面截四棱锥的截面．
即： ．
由（Ⅰ）可知： 平面，所以，
又∵， ∴．
∴四边形是直角梯形．
在中， ∴．
， ， ．
∴．…………12分
20．解析：（1）依题意，，
所以，
故椭圆C的方程为…………………………4分
（2）设
直线l的方程为：，直线m的方程为
依题意得
则，可得，令，………………6分
由消去x，得，
则，把代入，整理，得①
由消去x，得，
则，把代入，整理，得②…………10分
由①②消去，得，解得或或
故直线l的方程为：或或…………12分
21．解析：（1），设切点为，
则切线为，即，…………2分
又切线为，所以，
消，得，设，
易得为减函数，且，所以………………4分
（2）令，所以，
当时，，函数在为单调递增；
当时，，函数在为单调递减；
所以，…………………………6分
当时，即时，，
即，故时，在上单调递增，
所以时，，即，所以， ①…………8分
因为，所以，
所以，即， ②………………10分
①+②得：，
故当时，. ……………………12分
22．解析：（1）因为直线的参数方程是（为参数），消去参数得直线的普通方程为．……………………2分
由曲线的极坐标方程，得．
所以曲线的直角坐标方程为．……………………5分
（2）由得，
设，，则的中点，
因为，所以，
又点的直角坐标为，
所以．………………10分
23．解析:
（Ⅰ）∵，∴，即，
解得或. ……………………5分
（Ⅱ）,
当时， ；当时， ；
当时， .
∴，当且仅当即时取等号，∴. ……………………………………12分