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- 2021-04-13 发布
专题六 第1讲 排列与组合、二项式定理
课时训练提能
[限时45分钟，满分75分]
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．(2012·武汉模拟)3位老师和3位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为
A．720 B．144
C．36 D．12
解析 利用插空法得AA＝144.
答案 B
2．(2012·山东实验中学高三模拟)将A，B，C，D，E五种不同的文件放入编号依次为1,2,3,4,5,6,7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件，若文件A、B必须放入相邻的抽屉内，文件C、D也必须放在相邻的抽屉内，则所有不同的放法有
A．192 B．144
C．288 D．240
解析 利用捆绑法，把A、B看作一个整体，把C、D看作一个整体，则不同的放法有CAAA＝240.
答案 D
3．(2012·临沂一模)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为
A．300 B．216
C．180 D．162
解析 若不选0，则有CCA＝72；
若选0，则有CCCA＝108，
所以共有180种，选C.
答案 C
4．(2012·兰州模拟)将4名志愿者分配到3个不同的体育场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A．144 B．72 C．48 D．36
解析 先把4名志愿者分三组，有C种方法，再把这三组志愿者分配到3个场馆，有A种分法，故共有CA＝36种分法．
答案 D
5．(2012·丰台一模)6的二项展开式中，常数项是
A．10 B．15
C．20 D．30
解析 6＝6，
其通项为Tr＋1＝C·22r－6x3－r，
∴令r＝3，得T4＝C＝20.
答案 C
6．(2012·九江模拟)若n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为
A．－84 B．84
C．－36 D．36
解析 据题意知2n＝512，∴n＝9.
9的展开式中的通项为
Tr＋1＝(－1)rCx18－3r，
令18－3r＝0，则r＝6，
∴常数项为T7＝(－1)6C＝84.
答案 B
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．(2012·丰台二模)从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有________种．
解析 若甲不参加竞赛，共有方案A＝24种，
若甲参加竞赛，则有方案AA＝72种，
故有方案24＋72＝96种．
答案 96
8．若(x－a)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，且a5＝56，则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝________.
解析 由题知a5＝(－a)3C＝56，∴a＝－1，令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28.
答案 28
9．(2012·潍坊二模)某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间．每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．
解析 若其中1个车间有3名员工(包含甲乙)，另2个车间各有1名员工，则有CA种分法；若其中2个车间各分2名员工，另一个车间分1名员工，则有CA种分法，故共有CA＋CA＝36种分法．
答案 36
三、解答题(每小题12分，共36分)
10．男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)至少有1名女运动员；
(2)既要有队长，又要有女运动员．
解析 (1)解法一 (直接法)
“至少1名女运动员”包括以下几种情况：
1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有
C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246种选法．
解法二 (间接法)
“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种．
所以“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246种选法．
(2)当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法．不选女队长时，必选男队长，共有C种选法．其中不含女运动员的选法有C种，所以不选女队长时共有C－C种选法．
所以既有队长又有女运动员的选法共有
C＋C－C＝191种选法．
11．有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？
解析 解法一 (直接法)
从0与1两个特殊值着眼，可分三类：
①取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种方法；
0可在后两位，有C种方法；最后从剩下的三张中任取一张，有C种方法；
又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22(个)．
②取1不取0，同上分析可得不同的三位数C·22·A(个)．
③0和1都不取，有不同三位数C·23·A(个)．
综上所述，共有不同的三位数：
C·C·C·22＋C·22·A＋C·23·A＝432(个)．
解法二 (间接法)
任取三张卡片可以组成不同三位数C·23·A(个)，其中0在百位的有C·22·A(个)，这是不合题意的，故共有不同三位数：C·23·A－C·22·A＝432(个)．
12．已知n(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
解析 由题意知，第五项系数为C·(－2)4，
第三项的系数为C·(－2)2，
则有＝，
化简得n2－5n－24＝0，解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式Tk＋1＝C·()8－k·k＝C·(－2)k·x－2k，
令－2k＝，则k＝1，
故展开式中含x的项为T2＝－16x.
(3)设展开式中的第k项，第k＋1项，第k＋2项的系数绝对值分别为
C·2k－1，C·2k，C·2k＋1，
若第k＋1项的系数绝对值最大，则
，解得5≤k≤6.
又T6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x－11.
由n＝8知第5项二项式系数最大，此时T5＝1 120x－6.