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- 2021-04-13 发布
泰安三中、新泰二中、宁阳二中高二期中考试
数学（理科）试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．复数所对应的的点在( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
3．用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，n≥2)，由“k到k＋1”时，不等式左端的变化是( )
A．增加一项
B．增加和两项
C．增加和两项，同时减少一项
D．以上都不对
4．设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A． B． C． D．
5.若在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设( )
A．三角形的三个内角都不大于60°
B．三角形的三个内角都大于60°
C．三角形的三个内角至多有一个大于60°
D．三角形的三个内角至少有两个大于60°
7．有一段“三段论”，其推理是这样的“对于可导函数，若，则是函数的极值点，因为函数满足，所以是函数的极值点”，以上推理（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误
8．设＜b,函数的图像可能是( )
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10
＋b10＝( )
A．28 B．76 C．99 D．123
10．设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数函数在上为“凸函数”．已知当时,在上是“凸函数”．则在上( )
A．既有极大值，也有极小值 B．有极大值，没有极小值
C．没有极大值，有极小值 D．没有极大值，也没有极小值
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11．计算： _________
12.设复数z满足，其中i为虚数单位，则z的共轭复数_________
13．.设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于_________ .
14． 1
如图，它满足： 2 2
①第n行首尾两数均为n， 3 4 3
②表中的递推关系类似杨辉三角， 4 7 7 4
则第n行第2个数是_________ 5 11 14 11 5
6 16 25 25 16 6
15．．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：
①函数的极大值点为，；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点；
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是_________ ．
三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知是复数，与均为实数.
（1）求复数；
（2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
17.(本小题满分12分)
（1）求证：
（2）求由曲线，直线及轴所围成的图形的面积.
18.(本小题满分12分)
若，，．
(1)求证：；
(2)令写出的值，观察并归纳出这个数列的通项公式，
并用数学归纳法证明．
19.(本小题满分12分)
已知x＝3是函数f(x)＝aln(1＋x)＋x2－10x的一个极值点．
(1) 求a；
(2) 求函数f(x)的单调区间；
(3) 若直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.
20.(本小题满分13分)
时下，网上教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式为，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.
（1）求的值；
（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数点）
21.(本小题满分14分)
已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2．
（1）若曲线f（x）=xlnx在x=1处的切线与函数g（x）=﹣x2+ax﹣2也相切，求实数a的值；
（2）求函数f（x）在上的最小值；
（3）证明：对任意的x∈（0，+∞），都有成立
参考答案
DDCAD BACDB
11.e2-e-ln2 12 13 14 15 ①②⑤
三、
16. 解：(Ⅰ)设，
为实数，
． ………………………………3分
为实数，
，则．………………………………6分
（Ⅱ）在第一象限，
………………………………9分
解得．…………………………12分
17. (Ⅰ)证明：∵，
∴
∴
∴ 6分
（Ⅱ）解：联立方程得到两曲线的交点，因此曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 12分
18解：(1)证明：假设，即，
解得 ………2分
从而，
这与题设相矛盾， ………………4分
所以不成立．故成立． ………………5分
(2)由题意得，………………6分
由此猜想：. ………………8分
………………9分
19(1) 因为f′(x)＝＋2x－10 所以f′(3)＝＋6－10＝0 因此a＝16
(2) 由(1)知，f(x)＝16ln(1＋x)＋x2－10x， x∈(－1，＋∞) f′(x)＝
当x∈(－1,1)∪(3，＋∞)时，f′(x)＞0 当x∈(1,3)时，f′(x)＜0
所以f(x)的单调增区间是(－1,1)，(3，＋∞) f(x)的单凋减区间是(1,3)
(3) 由(2)知，f(x)在(－1,1)内单调增，在(1,3)内单调减，在(3，＋∞)上单调增，
所以f(x)的极大值为f(1)＝16ln2－9，极小值为f(3)＝32ln2－21
又x→-1时，f（x）→-∞； x→+∞时，f（x）→+∞；
可据此画出函数y=f（x）的草图，由图可知
要使直线y＝b与y＝f(x)的图象各有3个交点，则f(3)＜b＜f(1)
所以b的取值范围为(32 ln2－21,16ln2－9)．
20解：(Ⅰ)因为时，，
代入关系式，得， 解得. 4分
（Ⅱ）由(Ⅰ)可知，套题每日的销售量，
所以每日销售套题所获得的利润
从而. 8分
令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减，
所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， 12分
所以当时，函数取得最大值.
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. 13分
21【解答】解：（1）f′（x）=lnx+x•=lnx+1，
x=1时，f′（1）=1，f（1）=0，
故f（x）在x=1处的切线方程是：y=x﹣1，
联立，
消去y得：x2+（1﹣a）x+1=0，
由题意得：△=（1﹣a）2﹣4=0，
解得：a=3或﹣1；
（2）由（1）得：f′（x）=lnx+1，
x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增，
①0＜t＜t+≤，即0＜t≤﹣时，
f（x）min=f（t+）=（t+）ln（t+），
②0＜t＜＜t+，即﹣＜t＜时，
f（x）min=f（）=﹣；
③≤t＜t+，即t≥时，f（x）在递增，
f（x）min=f（t）=tlnt；
综上，f（x）min=；
（3）证明：设m（x）=﹣，（x∈（0，+∞）），则m′（x）=，
x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）递减，
可得m（x）max=m（1）=﹣，当且仅当x=1时取到，
由（2）得f（x）=xlnx，（x∈（0，+∞））的最小值是﹣，
当且仅当x=时取到，
因此x∈（0，+∞）时，f（x）min≥﹣≥m（x）max恒成立，
又两次最值不能同时取到，
故对任意x∈（0，+∞），都有成立．