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- 2021-04-13 发布
江苏省启东中学2019-2020第二学期期初考试
高一数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 某企业一种商品的产量与单位成本数据如表：
产量(万件)
2
3
4
单位成本(元件)
3
a
7
现根据表中所提供的数据，求得关于的线性回归方程为，则值等于( )
A． B． C． D．
2. 直线xcos α＋y＋2＝0的倾斜角的范围是( )
A.∪ B.∪ C. D.
3. 掷一枚质地均匀的硬币两次，事件M＝{一次正面向上，一次反面向上}，事件N＝{至少一次正面向上}．则下列结果正确的是( )
A．P(M)＝，P(N)＝ B．P(M)＝，P(N)＝
C．P(M)＝，P(N)＝ D．P(M)＝，P(N)＝
4. 已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4)
5. 在中，，则BC边上的中线AD的长为
A．1 B． C．2 D．
6. 已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2，则直线l的方程为( )
A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0
C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0
7. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
8. 已知直线l的方程为f(x，y)＝0，P1(x1，y1)和P2(x2，y2)分别为直线l上和l外的点，
则方程 f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示( )
A．过点P1且与l垂直的直线 B．与l重合的直线
C．过点P2且与l平行的直线 D．不过点P2，但与l平行的直线
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，
9. 为了了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽取了名运动员的年龄进行统计分析.就这个问题，下列说法中正确的有（ ）
A．名运动员是总体； B．所抽取的名运动员是一个样本；
C．样本容量为； D．每个运动员被抽到的机会相等.
10. 已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等边三角形
B．若，则一定是等腰三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，则一定是锐角三角形
11. 下列说法正确的是（ ）
A．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B．点关于直线的对称点为
C．过，两点的直线方程为
D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
12. 设有一组圆.下列四个命题正确的是（ ）
A．存在，使圆与轴相切 B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交 D．所有的圆均不经过原点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。
13.直线3x－4y＋5＝0关于点M(2，－3)对称的直线的方程为 ．
14.已知圆 C1 ：，圆 C2 ：,定点,动点
分别在圆 C2 和圆 C1 上，满足 ,则线段 的取值范围 ．
15. (本题第一空2分，第二空3分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2cos A(bcos C＋ccos B)＝a＝，△ABC的面积为3，则A＝________，b＋c＝________.
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(1，－1)，点P为圆(x－4)2＋y2＝4上任意一点，记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2，则的最小值是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17. (本小题满分10分)
为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.
(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？
(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．
18.(本小题满分12分)
的内角，，的对边分别为，，，已知，，.
（1）求角；
（2）若点满足，求的长.
19. (本小题满分12分)
已知直线l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及点P(3,4)．
(1)证明直线l过某定点，并求该定点的坐标．
(2)当点P到直线l的距离最大时，求直线l的方程．
20.(本小题满分12分)
树林的边界是直线l（如图CD所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A点和B点处，AB=BC=a（a为正常数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段BM（M∈AD）方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．
（1）求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S（a）；
（2）若兔子要想不被狼吃掉，求θ（θ=∠DAC）的取值范围．
21.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝64，以O1(9,0)为圆心的圆记为圆O1，已知圆O1上的点与圆O上的点之间距离的最大值为21.
(1)求圆O1的标准方程；
(2)求过点M(5,5)且与圆O1相切的直线的方程；
(3)已知直线l与x轴不垂直，且与圆O，圆O1都相交，记直线l被圆O，圆O1截得的弦长分别为d，d1. 若＝2，求证：直线l过定点．
22.(本小题满分12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，圆O：x2＋y2＝4与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B.
(1)若直线l与y轴交于D，且·＝16，求直线l的方程；
(2)设直线QA，QB的斜率分别是k1，k2，求k1＋k2的值；
(3)设AB的中点为M，点N（，0），若MN＝OM，求△QAB的面积．
江苏省启东中学高一数学试卷（2020.4.8）
一：单项选择题：
1.B； 2.B； 3.C； 4.C； 5：D； 6.B； 7.A； 8.C.
二：多项选择题：
9: CD. 10: AC. 11: AB 12: ABD
三：填空题：
13: 3x－4y－41＝0. 14: [] 15: （1） (2) 7 16: 2－
四：解答题：本题共6小题，共70分。
17.解：(1)由已知可设每组的频率为2x,4x,17x,15x,9x,3x.
则2x＋4x＋17x＋15x＋9x＋3x＝1，解得x＝0.02.
则第二小组的频率为0.02×4＝0.08，样本容量为12÷0.08＝150.
(2)次数在110次以上(含110次)的频率和为17×0.02＋15×0.02＋9×0.02＋3×0.02＝0.88.
则高一学生的达标率约为0.88×100%＝88%.
(3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第四组．因为中位数为平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
18【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由题设及正弦定理得，
又，
所以.由于，则.又因为，所以.
（2）由正弦定理易知，解得.
又因为，所以，即.
在中，因为，，所以，
所以在中，，，
由余弦定理得，所以.
19: 解：(1)证明：直线l的方程可化为a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，
由得所以直线l恒过定点(－2,3)．
(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，
当直线l垂直于直线PA时，点P到直线l的距离最大．
又直线PA的斜率kPA＝＝，所以直线l的斜率kl＝－5.
故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.
20: 答案 , (2)
21: 答案(1)(x－9)2＋y2＝16；(2)y＝－x＋或x＝5；(3)直线l过定点(18,0)或直线l过定点(6,0)．
解析 (1)由题设得圆O1的半径为4，所以圆O1的标准方程为(x－9)2＋y2＝16.
(2)①当切线的斜率不存在时，直线方程为x＝5符合题意；②当切线的斜率存在时，设直线方程为y－5＝k(x－5)，即kx－y＋(5－5k)＝0，因为直线和圆相切，所以d＝＝4，解得k＝－，从而切线方程为y＝－x＋.故切线方程为y＝－x＋或x＝5
(3)证明：设直线l的方程为y＝kx＋m，则圆心O，圆心O1到直线l的距离分别为h＝，h1＝，从而d＝2，d1＝2. 由＝2，得＝＝4，
整理得m2＝4(9k＋m)2，故m＝±2(9k＋m)，即18k＋m＝0或6k＋m＝0，所以直线l为y＝kx－18k或y＝kx－6k，因此直线l过点定点(18,0)或直线l过定点(6,0)．
22: 答案(1)y＝3x－2；(2)－1；(3)4.
解析(1)若直线l垂直于x轴，则方程为x＝2，与圆只有一个交点，不合题意.(考虑特殊情形)
故l存在斜率，设直线l的方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y－2k＋4＝0，
圆心到直线l的距离d＝，因为直线l与圆O交于不同的两点A，B，
所以d＝<2，解得k>.(求出k的范围)
又D(0，－2k＋4)，Q(2,0)，所以＝(2,2k－4)，＝(2,2k)，
所以·＝4＋2k(2k－4)＝16，解得k＝3或k＝－1(舍去)，(利用条件·＝16，求出k)
所以直线l的方程为y＝3x－2.(写出直线方程)
(2)联立，得(1＋k2)x2－4k(k－2)x＋(2k－4)2－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(应用韦达定理)
所以k1＋k2＝＋＝＋＝2k＋＋
＝2k＋9分(将k1＋k2等价变形，用x1＋x2，x1x2表示)
＝2k＋＝2k－＝2k－2k－1＝－1.即k1＋k2的值是－1.
(3)设中点M(x0，y0)，则由(2)知(*)
又由MN＝OM，得2＋y＝(x＋y)，
化简得x＋y＋6x0－4＝0，将(*)代入解得k＝3.13分(利用条件MN＝OM，求出k)
因为圆心到直线l的距离d＝＝，
所以AB＝2＝，(求出AB) Q到直线l的距离h＝，
所以S△ABQ＝AB·h＝，即△QAB的面积为.