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- 2021-04-13 发布
专题15 二项式定理及数学归纳法（高考押题）
2017年高考数学（理）考纲解读与热点难点突破
1． (x－y)8的展开式中，x6y2项的系数是( )
A．56 B．－56 C．28 D．－28
【答案】A
【解析】二项式的通项为Tr＋1＝Cx8－r·(－y)r，令8－r＝6，即r＝2，得x6y2项的系数为C(－)2＝56.
2．已知a＝2cosdx，则二项式的展开式中x的系数为( )
A．10 B．－10 C．80 D．－80
【答案】D
3．在的二项展开式中，常数项为( )
A．1 024 B．1 324 C．1 792 D．－1 080
【答案】C
【解析】的二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cx8－r(－2)rx－＝
(－2)rCx8－，令8－r＝0，解得r＝6，故展开式中的常数项为1 792.故选C.
4．若二项式(3－x)n(n∈N*)中所有项的系数之和为a，所有项的系数的绝对值之和为b，则＋的最小值为( )
A．2 B. C. D.
【答案】B 【解析】令x＝1，可求得a＝2n；
令x＝－1，可求得b＝4n；
所以＋＝2n＋，令t＝2n，t≥2，
所以＋＝t＋≥2＋＝，故选B.
5．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋…＋a2nx2n，则a2＋a4＋…＋a2n的值为( )
A. B.
C．3n－2 D．3n
【答案】B
6．已知(ax＋1)5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a＝________.
【解析】 由二项式定理知，(ax＋1)5的展开式中x2的系数为Ca2，
的展开式中x3的系数为C×，于是有Ca2＝C×，解得a2＝，
所以a＝±.
【答案】 ±
7．的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为________．
【解析】 依题意，得3n＝729，即n＝6.二项式的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·＝C·26－r·x6－.令6－＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x2的系数是C×26－3＝160.
【答案】 160
8．在的展开式中，x2项的系数为________． (结果用数字表示)．
【答案】 45
9．设(2x－1)6＝a6x6＋a5x5＋…＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.
解析 ∵Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r＝(－1)r26－rCx6－r，
∴ar＋1＝(－1)r26－rC.
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝2×(－1)－1]6＝36.
答案 729
10．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________(用数字作答)．
解析 设二项式(x＋y)5的展开式的通项公式为Tr＋1，则Tr＋1＝Cx5－r·yr，令r＝3，则含x2y3的项的系数是C＝10.
答案 10
11．若将函数f(x)＝x5表示为f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3＝________.
解析 由等式两边对应项系数相等，即
⇒a3＝10.
答案 10
12．设二项式的展开式中常数项为A，则A＝________.
13．若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．
解析 Tr＋1＝C(ax2) 6－r＝Ca6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，则r＝3.
∴Ca3b3＝20，即ab＝1.
∴a2＋b2≥2ab＝2，
即a2＋b2的最小值为2.
答案 2
14． 的展开式中x2y2的系数为________(用数字作答)．
解析 Tr＋1＝C··
＝(－1)r·C·x·y，
令得r＝4.
所以展开式中x2y2的系数为(－1)4·C＝70.
答案 70
15．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值；
(1)a0；
(2)a1＋a3＋a5＋…＋a99；
(3)(a0＋a2＋a4＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
解 (1)由(2－x)100展开式中的常数项为C·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.
(2)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a99＋a100＝(2－)100①
令x＝－1.可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100②
联立①②得：a1＋a3＋…＋a99
＝.
(3)原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝(2－)100(2＋)100＝1.
16．设a＞0，f(x)＝，令a1＝1，an＋1＝f(an)，n∈N*.
(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的结论．
解：(1)因为a1＝1，所以a2＝f(a1)＝f(1)＝，a3＝f(a2)＝，a4＝f(a3)＝，
猜想an＝(n∈N*)．
17．各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－a＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：＋＋…＋≤对一切n∈N*恒成立．
解：(1)因为a－a＝2，
所以数列{a}是首项为1，公差为2的等差数列，
所以a＝1＋(n－1)·2＝2n－1，
又an＞0，则an＝.
(2)证明：由(1)知，即证1＋＋…＋≤.
①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以不等式成立；
当n＝2时，左边＜右边，所以不等式成立．
②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时不等式成立，
即1＋＋…＋≤，
当n＝k＋1时，
左边＝1＋＋…＋＋≤＋＜＋＝＋
＝＝.
所以当n＝k＋1时不等式成立．
由①②知对一切n∈N*不等式恒成立．
18．已知函数f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值点；
(2)若函数f(x)在区间(0，1)上恒有f′(x)＞x，求实数a的取值范围；
(3)已知a＜1，c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1，2，…)，证明数列{cn}是单调递增数列．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝x2－2x＋ln(x＋1)，
f′(x)＝2x－2＋＝.
令f′(x)＝0，得x＝±.
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减．
当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以函数f(x)的极大值点为x＝－，极小值点为x＝.
(2)因为f′(x)＝2x－a＋，
由f′(x)＞x，得2x－a＋＞x，
所以由题意知，a＜x＋(0＜x＜1)恒成立．
又x＋＝x＋1＋－1≥1，当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．
所以a≤1.
故所求实数a的取值范围为(－∞，1]．
19．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1， b，r均为常数)的图象上．
(1)求r的值；
(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，证明：对任意的n∈N*，不等式··…·＞成立．
解：(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r.
所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1(b－1)．
由于b＞0且b≠1，
所以n≥2时，{an}是以b为公比的等比数列．
又a1＝b＋r，a2＝b(b－1)，
所以＝b，即＝b，解得r＝－1.
(2)由(1)及b＝2知an＝2n－1，因此bn＝2(log2an＋1)＝2n(n∈N*)，
所证不等式为··…·＞.
①当n＝1时，左式＝，右式＝，
左式＞右式，所以结论成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即··…·＞，
则当n＝k＋1时，··…··＞·＝.
要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥，
即证≥.
由基本不等式得＝≥成立，
故≥成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．
由①②可知，n∈N*时，不等式··…·＞成立．
20．已知数列{an}满足a1＝a，an＋1＝2an＋(a，λ∈R)．
(1)若λ＝－2，数列{an}单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝2，试写出an≥2对任意的n∈N*成立的充要条件，并证明你的结论．
解：(1)当λ＝－2时，an＋1＝2an－，由题意知an＋1>an，所以an＋1－an＝an－>0，解得an>或－或－0，知f(x)在区间2，＋∞)上单调递增，所以ak＋1＝2ak＋≥4＋≥2.
②当λ>0时，对x∈2，＋∞)总有f(x)＝2x＋>4>2，所以ak＋1＝2ak＋>2.
所以当n＝k＋1时，ak＋1≥2成立．
综上可知，当λ≥－4时，对任意的n∈N*，an≥2成立．
故an≥2对任意的n∈N*成立的充要条件是λ≥－4.
21．已知函数f(x)＝aln x＋(a∈R)．
(1)当a＝1时，求f(x)在x∈1，＋∞)内的最小值；
(2)若f(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；
(3)求证ln(n＋1)>＋＋＋…＋(n∈N*)．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝ln x＋，定义域为(0，＋∞)．
因为f′(x)＝－＝>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以f(x)在x∈1，＋∞)内的最小值为f(1)＝1.
(3)证明：当n＝1时，ln(n＋1)＝ln 2，
∵3ln 2＝ln 8>1，∴ln 2>，即当n＝1时，不等式成立．
设当n＝k时，ln(k＋1)>＋＋…＋成立．
当n＝k＋1时，ln(n＋1)＝ln(k＋2)＝ln(k＋1)＋ln>＋＋…＋＋ln.
根据(1)的结论可知，当x>1时，ln x＋>1，即ln x>.
令x＝，所以ln>，则有ln(k＋2)>＋＋…＋＋，即当n＝k＋1时，不等式也成立．
综上可知不等式成立．