安徽省黄山市2020届高三毕业班第一次质量检测（一模）数学（理）（PDF版） 10页

B A C x y Ox y O x y O x y O D 黄山市 2020 届高中毕业班第一次质量检测 数学（理科）试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题 60 分）和第Ⅱ卷（非选择题 90 分）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分 钟. 注意事项： 1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条 形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致. 务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号 后两位. 2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．答第Ⅱ卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰. 作图 题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚. 必须在题号 所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 参考公式：球的表面积公式 24SR 球的体积公式 34 3VR 第Ⅰ卷（选择题 满分 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 1. 已知复数 z 满足 izi  3)1( ,则 |z| A. 5 B. 3 C. 5 D. 3 2. 设 U＝R，A＝ }|{ 042  xxx ，B＝ }|{ 1xx ，则 ()UA C BI ＝ A． 40  xx B． 41  xx C． 40  xx D． 41  xx 3. 已知 0.32a  ， 20.3b  ， 0.3log 2c  ，则 A．b c a B．bac C．c a b D．c b a 4. 函数 cos sin 2 x xy  的大致图象为 5. 裴波那契数列（Fibonacci sequence ）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多·裴波那契以兔子繁殖 为例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列 ｝｛ na 满足： 121  aa ， 12   nnn aaa ，现从该数列的前 40 项中随机抽取一项，则能被 3 整除的概率是 A. 4 1 B. 3 1 C. 2 1 D. 3 2 6．将向量 (1,1)OA  uuur 绕原点 O 顺时针方向旋转 75°得到OB uuur ，则 ＝ - 1 - A．       2 2 2 6 , B．       2 6 2 2 , C．        2 2 2 6 , D．        2 6 2 2 , 7. 已知数列 na 满足 2* 122 2 ... 2 ( )n na a a n n N     ，数列 2 2 1 1 log lognnaa    的前 n 项和为 nS ， 则 2019S = A． 2020 2019 B． 2019 1 C． 2020 1 D． 2019 2018 8. 已知函数 ()fx在 R 上满足     xxxfxf 5224 2  ，则曲线 ()y f x 在点(2, (2))f 处的切线方程是 A． yx B． 4yx C． 38yx D． 5 12yx 9. 函数  06sin       xy 在      22  , 内单调递增，且图象关于直线 x 对称，则 的值为 A. 1 4 B. 3 5 C. 3 2 D. 3 1 10.如图，半径为 6 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆 锥的体积之和为球的体积的 3 8 ，则这两个圆锥高之差的绝对值 为 A．2 B．4 C．6 D．8 11.已知函数 3( ) ln 2f x x a x   有 4 个零点，则实数 a 的取值范围是 A．  20 e, B． 2e, C．         2 1 0 e, D．          ,2 1 e 12.如图， 1( ,0)Fc , 2 ( ,0)Fc 分别为双曲线 22 22: 1( , 0)xy abab    的左、右焦点，过点 1F 作 直线l ，使直线 与圆 2 2 2()x c y r   相切于点 P ,设直线l 交双曲线 的左右两支分别于 A、B 两点 （A、B 位于线段 1FP 上），若 1| |:| |:| | 2 : 2 :1F A AB BP  ,则双曲线 的离心率为 A. 5 B. 265 5 C. 2 6 2 3 D. 2 6 3 第Ⅱ卷（非选择题 满分 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请在答题卷的相应区域答题．．．．．．．．．．．．.） 13. 已知函数             0,ln2 0,12 1 2 xxx xxf x 则    1ff . 14. 已知实数 yx, 满足约束条件       1 04 0 y yx yx ，则 yxz  22 的最大值为 . - 2 - M D C C1 A B A1 B1 D1 15. 函数 11 2  xy 与函数 )2(  xky 的图象有两个不同 的公共点,则实数 k 的取值范围是 . 16. 如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 M 是 AD 的中点，动点 P 在底面正方形 ABCD 内（不包括边界）， 若 1 //BP 平面 1A BM ，则 1CP长度的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题卷的相．．．．．．． 应区域答题．．．．．.） 17.（本小题满分 12 分） 已知在 ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,且 ca b AB AC   sinsin sinsin , （1）求角C 的大小; （2）若 3c ,求 ba  的取值范围. 18.（本小题满分 12 分） 田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国大将军田忌经常与齐国众公子赛马,孙膑发现田忌 的马和其他人的马相差并不远,都分为上、中、下三等。于是孙膑给田忌将军献策:比赛即将开始时,他让田 忌用下等马对战公子们的上等马,用上等马对战公子们的中等马,用中等马对战公子们的下等马,从而使田 忌赢得了许多赌注。假设田忌的各等级马与某公子的各等级马进行一场比赛，田忌获胜的概率如下表所示: 上等马 中等马 下等马 上等马 0.5 0.8 1 中等马 0.2 0.5 0.9 下等马 0 0.05 0.4 比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马参赛,结果只有胜和负两种,并 且毎一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者. （1）如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率; （2）如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注 1000 金,即胜利者赢得对方 1000 金,每月比赛一 次,求田忌一年赛马获利的数学期望. 公 子 的 马 获 胜 的 概 率 田忌的马 - 3 - 19．（本小题满分 12 分） 已知C 是以 AB 为直径的圆周上一点， 3 ABC ， PA 平面 ABC （1）求证：平面 PAC 平面 PBC ； （2）若异面直线 PB 与 AC 所成的为 3  ，求二面角 APBC  的余弦值。 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 :C )0(12 2 2 2  bab y a x 的焦距为 2 ，过点 )2 2,1( 。 （1）求椭圆C 的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为 F ，定点 P )0,2( ，过点 F 且斜率不为零的直线l 与椭圆交于 A ， B 两点，以 线段 AP 为直径的圆与直线 2x 的另一个交点为Q ，证明：直线 BQ 恒过一定点，并求出该定点的坐标。 21．（本小题满分 12 分） 函数 xxaaxxf ln)1(2 1)( 2  ， （1）求 )(xf 的单调区间； （2）在函数 )(xf 的图象上取 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 两个不同的点，令直线 AB 的斜率 为 k ，则在函数的图象上是否存在点 ),( 00 yxP ，且 2 21 0 xxx  ，使得 )( 0 ' xfk  ？若存 在，求 A ， B 两点的坐标，若不存在，说明理由。 - 4 - 考生注意：请在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目后的方框涂黑． 22.（本小题满分 10 分）选修 4―4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，l 是过定点 )1,1(P 且倾斜角为 的直线。以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴 为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为  cos4 。 （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若曲线C 与直线l 相交于 M ， N 两点，求 PNPM  的取值范围. 23.（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 已知函数 212)(  xxxf （1）解不等式 5)( xf ; （2）若 2 33)( 2  aaxf 恒成立,求 a 的取值范围. - 5 - 黄山市 2020 届高中毕业班第一次质量检测 高三数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13. 2 14. 5.0 15. ]1,3 4(  16. )2,5 30[ 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 解: （1）由 ca b AB AC   sinsin sinsin 则 ca b ab ac    abcba  222 …………………………………………………………3 分 所以 2 1 22cos 222  ab ab ab cbaC 而 ),0( C 故 3 C ………………6 分 （2）由 且 3c  ababba  92)( 2  22 )2(339)( baabba   36)( 2  ba 所以 6 ba ……………………………………………10 分 又 3 cba 所以 ba  的取值范围是 ]6,3( …………………………………………………12 分 18. （本小题满分 12 分） 解： （1）记事件 A ：按孙膑的策略比赛一次，田忌获胜， 对于事件 A ，三场比赛中，由于有一场比赛田忌必输，另两场都胜， 故 72.09.08.0)( AP ……………………………………………………………………4 分 （2）设田忌在每次比赛中所得的奖金为随机变量 （金），则 的取值为 1000- 和1000 。 若在某月的比赛中田忌获胜，则三场比赛中，田忌输赢的分布为：胜胜胜，负胜胜，胜负胜，胜胜负 ………………………………………………………………………………6 分 设在该月的比赛中田忌获胜的概率为 P ，则 45.04.05.05.04.05.05.06.05.05.04.05.05.0 P …………8 分 100100011000-  ppE ）（）（ ……………………………………………10 分 因此田忌一年赛马获利的数学期望为 120012100  （金） …………………12 分 19.（本小题满分 12 分） （1）证明：因为 AB 为圆的直径，所以 BCAC  ， 又 PA 平面 ABC ，而 BC 平面 ABC ，所以 BCPA  ， 又 APAAC  ,所以 BC 平面 PAC ， - 6 - A O y x z B P C 而 BC 平面 PBC ，所以 平面 PBC 平面 PAC ……………………5 分 （2）解法 1：建系如图所示，令 tAB 2 ，而 3 ABC ，则 6 BAC , tAC 3 ，则 )0,0,0(A ， ），（ 0,20 tB , ）（ 0,2 3,2 3 ttC ，令 ),0,0( hP )0( h 所以 ),2,0( htBP  ， )0,2 3,2 3( ttAC  ， 因为异面直线 PB 与 AC 所成的角为 3  ， 故 2 1 34 3 3cos 22 2       tht t ACBP ACBP ，解得 th 22 令平面 PBC 的一个法向量为 ),,1( zyn  ， 而 )0,2,2 3( ttBC  ， ）（ ttBP 22,2,0  由 0 BCn , 022 3  ytt ,所以 3y 由 0 BPn ， 02232-  tzt 所以 2 6z ，即 )2 6,3,1(n 而平面 PAB的一个法向量为 )0,0,1(m 所以 11 22 11 2 2 3311 1cos      mn mn 解法 2：过 B 作 AC 的平行线 BM 交圆于 M ，连接 PM ，AM ，所以直线 PB 与 AC 所成的角即为 PB 与 BM 所成的角， 因为 AB 为圆的直径，所以 BMAM  ， 又 PA 平面 ABC ，而 BM 平面 ABC ，所以 BMPA  又 APAAM  ,所以 BM 平面 PAM 而 PM 平面 PAM ，所以 PMBM  ，则 3 PBM 令 tAB 2 ，且 3 ABC 所以 tBMAC 3 ， tBCAM  ttPM 33tan3   ， tttPA 223 22  ）（ ， tttPB 32)2()22( 22  , tttPC 11)3()22( 22  过 A 作 PCAN  交 PC 于 N ，过 A 作 PBAQ  交 PB 于Q ,连接QN ，由三垂线定理知 PBQN  ， 所以 AQN 即为二面角 APBC  的平面角 ……………………………………8 分 3 62 32 222  t tt PB ABPAAQ ， 11 662 11 322  t tt PC ACPAAN 2 66 3 3 11sin 11 1126 ANAQN AQ     ， 11 22cos AQN - 7 - 即为二面角 APBC  的余弦值为 11 22 ……………………………………12 分 20. （本小题满分 12 分） 解： （1）由题知      12 11 1 22 ba c 解得 22 a ， 12 b ， 所以椭圆C 的方程为 12 2 2  yx …………………………………………………………4 分 （2）设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 因为直线l 的斜率不为零，令l 的方程为： 1 myx 由      12 1 2 2 yx myx 得 012)2( 22  myym 则 2 2 221  m myy ， 2 1 221  myy ， …………………………………………6 分 因为以 AP 为直径的圆与直线 2x 的另一个交点为Q ,所以 PQAQ  ，则 ),2( 1yQ 则 22 12   x yykBQ ，故 BQ 的方程为： )2(22 12 1   xx yyyy ……………………8 分 由椭圆的对称性，则定点必在 x 轴上，所以令 0y ，则 22)1(2)2( 12 121 12 21 12 21     yy yymy yy myy yy xyx 而 ， ， 2 21 21 yyymy  所以 2 322 122 12 1 21    yy yyy x 故直线 BQ 恒过定点，且定点为 )0,2 3( ………………………………………12 分 21.（本小题满分 12 分） 解： （1）由题知定义域为 ），（ 0 ， x xax x xaax xaaxxf )1)(1(1)1(11)( 2 '  ………………1 分 ①当 1a 时， 110  a ， 令 0)(' xf ，解得 )1,1( ax  ， 0)(' xf ，解得 ),1()1,0(  ax 即函数 )(xf 在 )1,1( a 上单调递增，在 )1,0( a 及 ),1(  上单调递减； ②当 1a 时， 11  a ，在 ),0(  上 0)1()1)(1()( 2 '  x x x xxxf ， 即函数 在 ),0(  上单调递减； ③当 01  a 时， 11  a 令 ，解得 )1,1( ax  ， ，解得 ),1()1,0(  ax - 8 - 即函数 )(xf 在 )1,1( a 上单调递增，在 )1,0( 及 ),1(  a 上单调递减； ④当 0a 时， 令 0)(' xf ，解得 ),1( x ， 0)(' xf ，解得 )1,0(x 即函数 在 ),1(  上单调递增，在 )1,0( 上单调递减； …………………………5 分 综上所述： 当 1a 时，增区间为 )1,1( a ，减区间为 )1,0( a 及 ),1(  ； 当 1a 时，减区间为 ),0(  ； 当 01  a 时，增区间为 ，减区间为 及 ； 当 时，减区间为 ，增区间为 ； ……………………………………6 分 （2）假设存在，即满足 )( 0 ' xfk AB  因为已知 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB 不妨令 210 xx  则 12 12 12 12 12 1212 12 12 lnln )( ))(1())(( 2 1 xx xx xx xxa xx xxxxaxx yyk AB      12 1212 lnln12 )( xx xxaaxx   而 21 21 0 00 ' 212 )(11)( xxaaxx xaaxxf  由 得 2112 12 2lnln xxxx xx   存在，也就是证 0)(2lnln 21 12 12   xx xxxx 存在 …………9 分 只要证 0 1 )1(2 ln 1 2 1 2 1 2     x x x x x x 存在，令 1 1 2  tx x ，故转化为 )1(01 )1(2ln   tt tt 存在 即需要证明 )1(21 4ln  ttt 令 )1(1 4ln)(  ttttg 则有 0)1( )1( )1( 41)( 2 2 2 '   tt t tttg 故 )(tg 在 1t 上单调递增，所以 2)1()(  gtg ，故不存在。 ………………………………………………………………………………12 分 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（1）l 的参数方程：        sin1 cos1 ty tx （t 为参数） …………………………………2 分 曲线C 的直角坐标方程： 4)2( 22  yx ………………………………………………5 分 （2）将 的参数方程代入曲线 的方程得 02)cos2sin2(2  tt  ① 由于 08)cos2sin2( 2   恒成立，所以方程①有两个不等实根 21 tt、 ， 由于 0221 tt ，所以 21 tt、 异号 则 ]4,22[2sin4124)( 21 2 212121  ttttttttPNPM …10 分 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 - 9 - 解：（1）当 2 1x ，则 5212  xx  2 1 3 4  x 当 22 1  x 时，则 5212  xx 1 22 x   当 2x 时，则 5212  xx ，此时无解 故解集为 }23 4|{  xx ……………………………………………………5 分 （2）由（1）知            )2(13 )22 1(3 )2 1(13 xx xx xx y ，所以当 1 2x  时， y 的最小值为 2 5 ，则 2 5 2 332  aa 0432  aa 所以 [ 1,4]a ……………………………………………10 分 - 10 -