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- 2021-04-13 发布
2019衡水名师原创文科数学专题卷
专题九 数列
考点23：数列的概念与简单表示法（1,2题，13题,17题）
考点24：等差数列及其前n项和（3-6题，18-21题）
考点25：等比数列及其前n项和（7,8题，14题,18-21题）
考点26：数列求和（9,10题，18-21题）
考点27：数列的综合问题及其应用（11,12题，15，16题，22题）
考试时间：120分钟 满分：150分
说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上
第I卷（选择题）
一、选择题
1.已知数列的前项和,则等于( )
A.19 B.20 C.21 D.22
2.已知数列的前项和为,,,则 ( )
A.
B.
C.
D.
3.等差数列的前项和为,且,则公差等于( )
A.
B.
C.
D.
4.等差数列的首项为,公差不为,若、、成等比数列,则的前项和等于( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8
5.已知等差数列 的前项和为, ,则当取得最小值时, 的值为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6.设等差数列的前项和为,且满足,,则,,…, 中最大的项为( )
A.
B.
C.
D.
7.我国古代数学专著《九章算术》中有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里,驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,则需( )日两马相逢
A.16 B.12 C.9 D.8
8.等比数列中,已知对任意正整数,,则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.设数列的前项和为,且则 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
10几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列,,,,,,,,,,,,,,,…,其中第一项是,接下来的两项是, ,再接下来的三项是, ,,依此类推,求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为的整数幂.那么该款软件的激活码是(
)
A.440
B.330
C.220
D.110
11.已知数列满足: ,.若,,且数列是单调递增数列,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
12.已知数列的前项和为,且,,则满足的的最小值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
二、填空题
13.已知数列中,,,则等于__________
14.在各项均为正数的等比数列中,若则__________
15.已知,删除数列中所有能被整除的数,剩下的数从小到大排成数列,则__________.
16.在数列及中, ,,,.设,则数列的前项和为__________.
三、解答题
17.已知点是函数图象上一点,等比数列的前项和为.数列的首项为,前项和满足
1.求数列的通项公式
2.若数列的前项和为,问使的最小正整数是多少?
18.设正项等比数列的前项和为,且满足,.
1.求数列的通项公式;
2.设数列,求的前项和.
19.已知数列的前项和为,且,在数列中, ,点在直线上.
1.求数列的通项公式;
2. 记,求.
20.已知等比数列满足:
1.求数列的通项公式
2.记数列,求该数列的前项和
21.已知各项都是正数的数列的前项和为,,.
1.求数列的通项公式;
2.设数列满足: ,,数列的前项和,求证: ;
3.若对任意恒成立,求的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.答案：C
解析：,,
∴.
2.答案：B
解析：
3.答案：C
解析：∵
, 故选C
4.答案 A
解析 设等差数列的公差为,由、、成等比数列可得: ,
即,整理可得: ,
公差不为,则,数列的前项和为
.
故选A.
5.答案：C
解析：
6.答案：C
解析：,
,
因此,,…,,,
而,,
,选C.
7.答案：C
解析：
8.答案：A
解析：∵等比数列中,对任意正整数,,
∴,,,
∴,,,∴,,
∴,,,∴是首项为,公比为的等比数列,
∴,
故选A.
9.答案：A
解析：
,显然每连续四项的和为,,答案:A
答案： A
解析： 设首项为第组,接下来两项为第组,在接下来三项为第组,以此类推,
设第组的项数为,则组的项数和为,
由题,,
令,且,
即出现在第组之后,
第组的和为,
组总共的和为,
若要使前项和为的整数幂,
则项的和应与互为相反数,
即,
,
则,
故选A.
11.答案：D
解析：因为,
所以,
因为数列是单调递增数列,
所以当时,
,
当时,
,
因此,选D.
考点:数列的综合运用.
12.答案：A
解析：由得,即,
又,所以,即,
所以,即,
,令,则,
函数的对称轴为,有的可能值为,,,,...,,
所以,
,,
,,
这时,所以从第四项起以后各项均满足,故选A.
二、填空题
13.答案：
解析：
14.答案：
解析：由等比数列的性质得,∴,∴
15.答案：5151
解析：由题意得,∵,∴,,,,…,
∵,删除数列中所有能被整除的数,剩下的数从小到大排成数列,
∴.
16.答案：
解析：由,,
两式相加可得: ,
故数列是以为首项, 为公比的等比数列,得;
两式相乘可得: ,
故数列是以为首项, 为公比的等比数列,得,
故,
故其前项和为.
三、解答题
17.答案：1. .
,
∵,则等比数列的前项和为,
,
由为等比数列,得公比
则,
2.由,得,
时, 则是首项为,公差为的等差数列.
,则.
当时, 满足上式
∵
由,得,则最小正整数为.
解析：
18.答案：1.
2.
解析：1.设正项等比数列的公比为,则,
由已知,有,
即,
∴,故,或 (舍),
∴.
2.由1问知, ,故当时, ,
∴当时, ,
当时,
.
∴.
19.答案：1.由,得,两式相减得,即,
又,∴是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴.∵点在直线上,
∴,即,∴是以2为公差的等差数列,∵,∴.
2.∵
①∴ ②
①-②得:
=
∴.
解析：
20.答案：1.设等比数列的公比为,由得, ,解得,则
2.由得, ,
则
解析：
21.答案：1. 时, ,∴,
当时.
,
∵,∴,
∴是以为首项, 为公差的等差数列,
∴.
2. ,
,
,
∴
,
即.
3.由,得,
当且仅当时, 有最大值,∴.
解析：