数学卷·2019届宁夏石嘴山市第三中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）x 12页

高二第一学期期中考试数学（文科）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1. 有关命题的说法错误的是 （ ）‎ A. 命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2-3x+2≠0”‎ B. “x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件 C. 若pq为假命题，则p、q均为假命题 D. 对于命题p: x∈R，使得x2+x+1＜0，则∈R，均有x2+x+1≥0‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A中命题的逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B中方程x2-3x+2=0的根为x=1,x=2，因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件；C中pq为假命题，则p、q至少有一个是假命题；D中特称命题的否定是全称命题 考点：命题与充分条件必要条件 ‎2. 等差数列的值为（ ）‎ A. 66 B. 99 C. 144 D. 297‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由已知及等差数列的性质得，‎ 所以，选B.‎ 考点：1.等差数列及其性质；2.等差数列的求和公式.‎ ‎3. 已知命题使得命题，下列命题为真的是 A. （ B. pq C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于命题 ，使得 当时，命题成立，命题为真 命题 ‎ 显然 ，命题为真 ∴根据复合命题的真假判定，为真， 为假， 为假，（ 为假 故选B ‎4. 已知点在椭圆上，则(　　)‎ A. 点不在椭圆上 B. 点不在椭圆上 C. 点在椭圆上 D. 无法判断点，，是否在椭圆上 ‎【答案】C ‎【解析】根据椭圆对称性知点，，皆在椭圆上,所以选C.‎ ‎5. 已知实数满足，则下列关系式恒成立的是（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由知，所以，，选A.‎ 考点：指数函数的性质，不等式的性质.‎ ‎6. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题，是方程的两根， ， 又∵数列 为等比数列， ‎ 又 ， 同号， ‎ 故选B．‎ ‎7. 抛物线上到直线距离最近的点的坐标是（ ）‎ A. B. C. D. （2,4）‎ ‎【答案】A ‎【解析】抛物线上点到直线距离为 (当且仅当时取等号),所以到直线距离最近的点的坐标是 ,选A.‎ ‎8. 变量x，y 满足约束条件，则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. -4 D. -7‎ ‎【答案】D ‎9. 已知函数的导函数为,且满足,则 A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】B ‎【解析】求导得： ‎ 把代入得 ， 解得 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查求导法则．在求的导函数时注意 是一个常数，这是本题解题的关键．‎ ‎10. 已知双曲线（，）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意， ， ∵抛物线的准线方程为 ‎ 双曲线的一个焦点在抛物线的准线上， ‎ ‎ ∴双曲线的方程为 故选B．‎ ‎11. 下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎（1）已知、，，则动点的轨迹是双曲线左边一支；‎ ‎（2）在平面直角坐标系内，到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是抛物线；‎ ‎（3）设定点，，动点满足条件，则点的轨迹是椭圆。‎ A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】A ‎【解析】 ,所以动点的轨迹是双曲线左边一支；到点(1,1)和直线x＋2y＝3的距离相等的点的轨迹是过点(1,1)且与直线x＋2y＝3垂直的直线；当时， ，此时轨迹为线段，因此选A.‎ 点睛：(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF1|＋|PF2|＞|F1F2|，双曲线的定义中要求||PF1|－|PF2||＜|F1F2|，抛物线定义中定点不在定直线上..(2)注意数形结合，画出合理草图.‎ ‎12. 已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令 在双曲线的右支上 由双曲线的定义   ① ‎ 由椭圆的定义   ② 又 故  ③‎ ‎ 得 ④ 将④代入③得 即 ‎ 即 ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程来．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 已知方程表示的曲线是焦点在轴上且离心率为的椭圆，则_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】焦点在轴上的椭圆方程的离心率为 ‎ 则 ‎ ‎ ，解得 ‎ 故答案为．‎ ‎14. 曲线在点处的切线方程为_________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ，故切线方程的斜率 ‎ 又 ，故曲线在点处的切线方程为 ‎ 整理得 即答案为 ‎15. 设经过点的等轴双曲线的焦点为，此双曲线上一点满足，则的面积___________‎ ‎【答案】15‎ ‎【解析】设双曲线的方程为 ，代入点，可得 ， ∴双曲线的方程为 ，即 ‎ 设，则 ‎ ‎ ，‎ 的面积为 ‎ 即答案为3‎ ‎16. 下列命题中:‎ ‎①中，‎ ‎②数列的前项和，则数列是等差数列．‎ ‎③锐角三角形的三边长分别为3，4，，则的取值范围是．‎ ‎④若，则是等比数列 真命题的序号是______________．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】由正弦定理知 反之， ， 即 ，故①正确；‎ ‎ 当时，．由时， ．故数列不是等差数列，故②错误； 分两种情况来考虑： 当为最大边时，设所对的角为，由为锐角，根据余弦定理可得： ，解得 ； 当不是最大边时，则4为最大边，同理只要保证4所对的角为锐角就可以了，则有 ，可解得 ‎ 所以综上可知的取值范围为 ．故③正确；‎ 若 可得 ，可知首项与公比都为，因此{an}是等比数列，④正确．‎ 故答案为：①③④‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 设锐角三角形的内角的对边分别为 ‎ ‎（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求的取值范围。‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）解三角形，一般利用正余弦定理进行边角转化，本题求角，所以将边化为角，由正弦定理得，所以，由为锐角三角形得. （Ⅱ）先根据三角形三角关系将两角化为一角： ‎ ‎ .由为锐角三角形知，，‎ ‎，即，所以.‎ 由此有， 所以，的取值范围为.‎ 试题解析：解:（Ⅰ）由，根据正弦定理得，‎ 所以，由为锐角三角形得. 6分 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ . 10分 由为锐角三角形知，‎ ‎，.， 12分 所以. 由此有，‎ 所以，的取值范围为. 14分 考点：正弦定理，三角函数性质 ‎18. 设命题：方程表示双曲线；命题：斜率为的直线过定点且与抛物线有两个不同的公共点．若是真命题，求的取值范围．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：（1）命题p中式子要表示双曲线，只需，对于命题q：直线与抛线有两上不同的公共点，即设直线 与抛物线方程组方程组，只需，解出两个不等式（组）中k的范围，再求出交集。‎ 试题解析：命题真，则，解得或，‎ 命题为真，由题意，设直线的方程为，即， ‎ 联立方程组，整理得， ‎ 要使得直线与抛物线有两个公共点，需满足， ‎ 解得且 ‎ 若是真命题，则 所以的取值范围为 ‎19. 已知双曲线方程为.‎ ‎（1）求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率；‎ ‎（2）若抛物线的顶点是该双曲线的中心，而焦点是其左顶点，求抛物线的方程.‎ ‎【答案】（1） 实轴长 ，虚轴长 ，离心率 ；（2） .‎ ‎【解析】试题分析：（1）将双曲线方程化为标准方程，求出，即可得到所求实轴长、虚轴长、离心率； （2）求出双曲线的中心坐标和左顶点坐标，设抛物线C的方程为y2=-2px（p>0），由焦点坐标，可得p的方程，解方程即可得到所求．‎ 试题解析：‎ ‎（1）双曲线方程为16x2-9y2=144， 即为-=1， 可得a=3，b=4，c==5， ‎ 则双曲线的实轴长为2a=6、虚轴长2b=8、离心率e==； ‎ ‎（2）抛物线C的顶点是该双曲线的中心（0，0）， 而焦点是其左顶点（-3，0）， ‎ 设抛物线C的方程为y2=-2px（p＞0）， 由-=-3，解得p=6．‎ ‎ 则抛物线C的方程为y2=-12x．‎ ‎20. 已知是等差数列，是各项均为正数的等比数列，且，，.‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设数列的公差为d,的公比为q,由题意 ，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出． （II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设数列的公差为d,的公比为q,由题意 ,‎ 由已知，有 消去d得 ‎ 解得 ,所以， ‎ ‎（Ⅱ）由（I）有 , ‎ 设的前n项和为 ,则 ‎ ‎ 两式相减得 ‎ 所以 .‎ ‎21. 已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ．‎ ‎（1）求 和 的值；‎ ‎（2）求函数 的解析式．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用切线方程得到斜率，代入点的坐标即可． ‎ ‎（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可 试题解析：‎ ‎（1）∵在点处的切线方程为，故点在切线上，且切线斜率为，得且． ‎ ‎（2）∵过点，∴，∵，∴，由得，又由，得，联立方程得，故．‎ ‎22. 已知直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ‎ ．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）若直线 交C于A，B两点，且PA⊥PB，求b的值．‎ ‎【答案】（1） ；（2） ‎ ‎ ‎ 试题解析：‎ ‎（I）联立直线l：y=﹣x+3与椭圆C：mx2+ny2=1（n＞m＞0），‎ 可得（m+n）x2﹣6nx+9n﹣1=0，‎ 由题意可得△=36n2﹣4（m+n）（9n﹣1）=0，即为9mn=m+n，‎ 又P在椭圆上，可得4m+n=1，‎ 解方程可得m=，n=， ‎ 即有椭圆方程为+=1；‎ ‎（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立直线y=b﹣x和椭圆方程，可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0，‎ 判别式△=16b2﹣12（2b2﹣6）＞0， ‎ x1+x2=，x1x2=，‎ y1+y2=2b﹣（x1+x2）=，y1y2=（b﹣x1）（b﹣x2）=b2﹣b（x1+x2）+x1x2=，‎ 由PA⊥PB，即为？=（x1﹣2）（x2﹣2）+（y1﹣1）（y2﹣1）‎ ‎=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2﹣（y1+y2）+1‎ ‎=﹣2？+﹣+5=0，‎ 解得b=3或，代入判别式，b=3不成立． ‎ 则b=．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查两直线垂直的条件，解题时注意待定系数法和方程思想的灵活应用，．‎ ‎ ‎ ‎ ‎