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- 2021-04-13 发布
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题
高二数学（文科）
命题人： 审题人：
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C． D．
2．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则 ( )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题
3．已知条件，条件，则¬p是¬q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．曲线与的关系是( )
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
5．为虚数单位，则= ( )
A． B． C． D．1
6．复数 z 满足条件，则复数z 所对应的点Z的轨迹是（ ）
A.双曲线 B．双曲线的右支 C．线段 D．一条射线
7．下列说法错误的是 ( )
A.回归直线过样本点的中心.
B.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
D.在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
8．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)
(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断( )
A.变量x与y正相关，u与v负相关
B.变量x与y正相关，u与v正相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关
9．过抛物线y2＝8x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必要
是（ ）
A. B． C． D．
11．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ ）
A. B.3 C. D.
12．已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是 .
14．若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________.
15．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则
的最大值是__________．
16．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：①必为直角三角形；②直线必与抛物线相切；
③的面积为．其中正确的结论是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知，若是的必要不充分条件，求实
数的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知直线和椭圆相交于A，B两点，且a＝2b，若，
求椭圆的方程.
19. (本小题满分12分)
某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高二
年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.
(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
女生
合计
参考公式：，其中.
P(K2≥k0)
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
20． (本小题满分12分)
已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，试求的值.
21． (本小题满分12分)
设抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知抛物线过焦点的动直线l交抛物线于、两点,为坐标原点，求证：为
定值.
22．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的
直线交于，两点，.
(1)求抛物线方程；
(2)点在准线上的投影为，是抛物线上一点，且，
求面积的最小值及此时直线的方程.
兰州一中2019-2020-1学期期末考试试题
高二数学（文科）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．抛物线的焦点坐标是( D )
A. B. C． D．
2．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则 ( B )
A．p∨q为假命题 B．q为假命题 C．q为真命题 D．(¬p)∧(¬q)为真命题
3．已知条件，条件，则¬p是¬q的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C． 充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．曲线与的关系是( B )
A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对
5．为虚数单位，则= ( A )
A． B． C． D．1
6．复数 z 满足条件，则复数z 所对应的点 Z 的轨迹是（ D）
A.双曲线 B．双曲线的右支 C．线段 D．一条射线
7．下列说法错误的是( B )
A.回归直线过样本点的中心.
B.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
C.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
D.在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
8．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1，2，…，10)，得散点图(2).由这两个散点图可以判断( C )
A.变量x与y正相关，u与v负相关
B.变量x与y正相关，u与v正相关
C.变量x与y负相关，u与v正相关
D.变量x与y负相关，u与v负相关
9．过抛物线y2＝8x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( C)
A.6 B.8 C.10 D.12
10．对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，那么不等式成立的充分不必要
是（ B ）
A. B． C． D．
11．已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为（ A ）
A. B.3 C. D.
12．已知椭圆，的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ C ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．在复平面内，复数对应的点分别为A、B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数
是 .
答案：
14．若命题“∃x0∈R，使得x＋(a－1)x0＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________.
答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)
15．已知是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，则 的最大值是__________．
答案：15
16．已知抛物线的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，给出下列三个结论：①必为直角三角形；②直线必与抛物线相切；③的面积为．其中正确的结论是 ．
答案：①②③
解析：对于①：由题意得抛物线的焦点为∴
过F作轴的垂线交抛物线于M，N两点，则，
∴F为MN的中点，且∴为等腰直角三角形，故①正确；
对于②：直线PM的方程为，由消去整理得
∴∴直线PM与抛物线相切，故②正确；
对于③：由题意得，故③正确．
综上可得正确结论的序号为①②③． 故答案为：①②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
已知，若是的必要不充分条件，求实数
的取值范围．
解法一：即，
∴,
∵是的必要不充分条件，
∴BA 即m的取值范围是{m|m≥9}.
解法二:∵p是q的必要不充分条件，∴q是p的必要不充分条件. ∴p是q的充分不必要条件.
而，
∴PQ,即 ∴的取值范围是
18．已知直线和椭圆相交于A，B两点，且a＝2b，若，求椭圆的方程.
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由,消去y并整理得x2－4x＋8－2b2＝0.
则由根与系数的关系得x1＋x2＝4，x1x2＝8－2b2.
∵，∴，
即，解得b2＝4，故a2＝4b2＝16. ∴所求椭圆的方程为.
19. (本小题满分12分)
某校在高二年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高二
年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名.
(1)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
女生
合计
参考公式：，其中.
P(K2≥k0)
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解析：(1)根据统计数据，可得2×2列联表如下：
选择自然科学类
选择社会科学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
(2)则K2的观测值为，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.
20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，试求的值.
解析：(1) ∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0).
∵双曲线过点，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)由(1)可知，a＝b＝，得c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，
，
从而
由于点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0， 故.
21． (本小题满分12分)
设抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，开口向上，焦点到准线的距离为
（1）求抛物线的标准方程；
（2）已知抛物线过焦点的动直线交抛物线于、两点,为坐标原点，求证：为定值.
解析：（1）由题意知p=，2p=，抛物线的标准方程为.
（2）设直线的方程为:,,.
由 得：，∴
故为定值.
22．(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线交于，两点，.
(1)求抛物线方程；
(2)点在准线上的投影为，是抛物线上一点，且，求面积的最小值及此时直线的方程.
解析：（1）依题意，
当直线的斜率不存在时，
当直线的斜率存在时，设，由，化简得
由得，，所以抛物线方程.
（2）设，，则，又由，可得
因为，，所以，故直线
由，化简得，所以.
所以
设点到直线的距离为，
所以，当且仅当，即
,.