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- 2021-04-13 发布
第 8 讲 函数与方程
1．函数的零点
(1)函数零点的定义：对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零
点．
(2)三个等价关系：方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝
f(x)有零点．
2．函数零点的判定
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)＜0，那
么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是 f(x)＝
0 的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理．
3．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋
bx＋c(a＞0)
的图象
与 x 轴
的交点
(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点
零点个数 两个 一个 零个
[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与 x 轴的交点．( )
(2)函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则 f(a)·f(b)<0.( )
(3)二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在 b2－4ac<0 时没有零点．( )
(4)若函数 f(x)在(a，b)上连续单调且 f(a)·f(b)<0，则函数 f(x)在[a，b]上有且只有一个零
点．( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
[教材衍化]
1．(必修 1P92A 组 T5 改编)函数 f(x)＝ln x－
2
x的零点所在的大致范围是( )
A．(1，2) B．(2，3)
C.(1
e，1 )和(3，4) D．(4，＋∞)
解析：选 B.易知 f(x)为增函数，由 f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－2
3＞0，得 f(2)·f(3)＜0.
故选 B.
2．(必修 1P88 例 1 改编)函数 f(x)＝ex＋3x 的零点个数是______．
解析：由已知得 f′(x)＝ex＋3>0，所以 f(x)在 R 上单调递增，又 f(－1)＝
1
e－3<0，f(0)＝
1>0，因此函数 f(x)有且只有一个零点．
答案：1
[易错纠偏]
(1)错用零点存在性定理；
(2)误解函数零点的定义；
(3)忽略限制条件；
(4)错用二次函数在 R 上无零点的条件．
1．函数 f(x)＝x＋
1
x的零点个数是______．
解析：函数的定义域为{x|x≠0}，当 x>0 时，f(x)>0，当 x<0 时，f(x)<0，所以函数没有
零点．
答案：0
2．函数 f(x)＝x2－3x 的零点是______．
解析：由 f(x)＝0，得 x2－3x＝0，
即 x＝0 和 x＝3.
答案：0 和 3
3．若二次函数 f(x)＝x2－2x＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数 m 的取值范围是______．
解析：二次函数 f(x)图象的对称轴方程为 x＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需 f(1)≤0
且 f(4)>0 即可，即－1＋m≤0 且 8＋m>0，解得－80，所以 f(1
4 )·f(1
2 )<0，故函数 f(x)＝πx＋log2x 的零点所在
区间为[1
4，
1
2 ].
2．(2020·杭州市严州中学高三模拟)若 a0，f(b)<0，f(c)>0，
所以 f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
函数零点个数的问题
(1)函数 f(x)＝{x2＋x－2，x ≤ 0，
－1＋ln x，x > 0 的零点个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知函数 f(x)满足 f(x)＝f(3x)，且当 x∈[1，3)时，f(x)＝ln x，若在区间[1，9)内，函
数 g(x)＝f(x)－ax 有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( )
A.(ln 3
3 ，
1
e) B.(ln 3
9 ，
1
3e)
C.(ln 3
9 ，
1
2e) D.(ln 3
9 ，
ln 3
3 )
【解析】 (1)法一：由 f(x)＝0 得{x ≤ 0，
x2＋x－2＝0
或{x > 0，
－1＋ln x＝0，解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
法二：函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
(2)因为 f(x)＝f(3x)⇒f(x)＝f (x
3 )，当 x∈[3，9)时，f(x)＝f (x
3 )＝ln
x
3，所以 f(x)＝
{ln x，1 ≤ x < 3，
ln
x
3，3 ≤ x < 9， 而 g(x)＝f(x)－ax 有三个不同零点⇔y＝f(x)与 y＝ax 的图象有三个不
同交点，如图所示，可得直线 y＝ax 应在图中两条虚线之间，所以可解得
ln 3
9 0)，y2＝ln x(x>0)的图象，如图所示．
由图可知函数 f(x)在定义域内的零点个数为 2.
2．已知函数 f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，当 x>0 时，f(x)＝
{2|x－1|－1，0 < x ≤ 2，
1
2f（x－2），x > 2， 则函数 g(x)＝4f(x)－1 的零点个数为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
解析：选 D.由 f(x)为偶函数可得，只需作出 x∈(0，＋∞)上的
图象，再利用对称性作另一半图象即可．当 x∈(0，2]时，可以通过
y＝2x 的图象进行变换作出 f(x)的图象，当 x>2 时，f(x)＝
1
2f(x－2)，
即自变量差 2 个单位，函数值折半，进而可作出 f(x)在(2，4]，(4，
6]，…的图象，如图所示．g(x)的零点个数即 f(x)＝
1
4的根的个数，也即 f(x)的图象与 y＝
1
4的
图象的交点个数，观察图象可知，当 x>0 时，有 5 个交点，根据对称性可得当 x<0 时，也有 5
个交点，共计 10 个交点，故选 D.
函数零点的应用(高频考点)
高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)利用函数零点比较大小；
(2)已知函数的零点(或方程的根)的情况求参数的值或范围；
(3)利用函数零点的性质求参数的范围．
角度一 利用函数零点比较大小
(2020·台州模拟)已知 e 是自然对数的底数，函数 f(x)＝ex＋x－2 的零点为 a，函数
g(x)＝ln x＋x－2 的零点为 b，则下列不等式中成立的是( )
A．f(a)0 恒成立，所以函数 f(x)在 R 上是单调递增的，而 f(0)
＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数 f(x)的零点 a∈(0，1)；
由题意，知 g′(x)＝
1
x＋1>0，所以函数 g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又 g(1)＝ln 1＋
1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数 g(x)的零点 b∈(1，2)．
综上，可得 04.
【答案】 (1)[log2
1
3，log2
3
5] (2)(1，4) (1，3]∪(4，＋∞)
角度三 利用函数零点的性质求参数的范围
已知函数 f(x)＝|ln x|，若 00)，由
00，从而{ln a＝－t，
ln b＝t， 即{a＝e－t，
b＝et， 所以 a＋
2b＝
1
et＋2et，而 et>1，又 y＝2x＋
1
x在(1，＋∞)上为增函数，所以 2et＋
1
et∈(3，＋∞)．故选 C.
【答案】 C
已知函数的零点(或方程根)的情况求
参数问题常用的三种方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范
围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数
形结合求解．
1．(2019·高考浙江卷)设 a，b∈R，函数 f(x)＝{x，x < 0，
1
3x3－1
2（a＋1）x2＋ax，x ≥ 0.若函数
y＝f(x)－ax－b 恰有 3 个零点，则( )
A．a<－1，b<0 B．a<－1，b>0
C．a>－1，b<0 D．a>－1，b>0
解析：选 C.由题意可得，当 x≥0 时，f(x)－ax－b＝
1
3x3－
1
2(a＋1)x2－b，令 f(x)－ax－b＝
0，则 b＝
1
3x3－
1
2(a＋1)x2＝
1
6x2[2x－3(a＋1)]．因为对任意的 x∈R，f(x)－ax－b＝0 有 3 个不
同的实数根，所以要使满足条件，则当 x≥0 时，b＝
1
6x2[2x－3(a＋1)]必须有 2 个零点，所以
3（a＋1）
2 >0，解得 a>－1.所以 b<0.故选 C.
2．已知函数 f(x)＝{log2（x＋1），x＞0，
－x2－2x，x ≤ 0， 若函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，则实数 m
的取值范围是________．
解析：函数 g(x)＝f(x)－m 有 3 个零点，转化为 f(x)－m＝0 的根有 3 个，进而转化为 y＝
f(x)，y＝m 的交点有 3 个．画出函数 y＝f(x)的图象，则直线 y＝m 与其有 3 个公共点．又抛
物线顶点为(－1，1)，由图可知实数 m 的取值范围是(0，1)．
答案：(0，1)
3．(2020·杭州学军中学高三质检)若函数 f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a 是常数，且 a∈R)恰有
两个不同的零点，则 a 的取值范围为________．
解析：由 f(x)＝0，得|2x－1|＝－ax＋5.
作出 y＝|2x－1|和 y＝－ax＋5 的图象，观察可以知道，当－20，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在
区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至
少有 3 个．
2．(2020·温州十校联考(一))设函数 f(x)＝ln x＋x－2，则函数 f(x)的零点所在的区间为
( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：选 B.法一：因为 f(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln 2>0，所以 f(1)·f(2)<0，因为
函数 f(x)＝ln x＋x－2 的图象是连续的，所以函数 f(x)的零点所在的区间是(1，2)．
法二：函数 f(x)的零点所在的区间为函数 g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2 图象
交点的横坐标所在的区间，作出两函数的图象如图所示，由图可知，函数
f(x)的零点所在的区间为(1，2)．
3．已知函数 f(x)＝(1
2 ) x
－cos x，则 f(x)在[0，2π]上的零点个数为
( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选 C.作出 g(x)＝(1
2 ) x
与 h(x)＝cos x 的图象如图所
示，可以看到其在[0，2π]上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0，
2π]上的零点个数为 3，故选 C.
4．已知函数 f(x)＝(1
e ) x
－tan x(－π
2 < x <
π
2 )，若实数 x0 是函数 y＝f(x)的零点，
且 0f(x0)＝0.故选 B.
5．(2020·兰州模拟)已知奇函数 f(x)是 R 上的单调函数，若函数 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只
有一个零点，则实数 λ 的值是( )
A.
1
4 B.
1
8
C．－
7
8 D．－
3
8
解析：选 C.因为函数 y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程 f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝
0 只有一个实数根，又函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，所以 f(2x 2＋1)＋
f(λ－x)＝0⇔f(2x2＋1)＝－f(λ－x)⇔f(2x2＋1)＝f(x－λ)⇔2x2＋1＝x－λ，所以方程 2x2－x＋1＋λ
＝0 只有一个实数根，所以 Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得 λ＝－
7
8.故选 C.
6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数 f(x)＝
|x|
x＋2－kx2(k∈R)有四个不同的零点，
则实数 k 的取值范围是( )
A．k<0 B．k<1
C．01
解析：选 D.分别画出 y＝
|x|
x＋2与 y＝kx2 的图象如图所示，
当 k<0 时，y＝kx2 的开口向下，此时与 y＝
|x|
x＋2只有一个交点，显然不符合题意；
当 k＝0 时，此时与 y＝
|x|
x＋2只有一个交点，显然不符合题意，
当 k>0，x≥0 时，
令 f(x)＝
|x|
x＋2－kx2＝0，
即 kx3＋2kx2－x＝0，
即 x(kx2＋2kx－1)＝0，
即 x＝0 或 kx2＋2kx－1＝0，
因为 Δ＝4k2＋4k>0，且－
1
k<0，所以方程有一正根，一负根，所以当 x>0 时，方程有唯
一解．即当 x≥0 时，方程有两个解．
当 k>0，x<0 时，f(x)＝
|x|
x＋2－kx2＝0，
即 kx3＋2kx2＋x＝0，kx2＋2kx＋1＝0，
此时必须有两个解才满足题意，所以Δ＝4k2－4k>0，解得 k>1，
综上所述 k>1.
7．(2020·金丽衢十二校高三联考)设函数 f(x)＝{tan[
π
2 （x－1）]，0 < x ≤ 1
ln x，x > 1
，则 f(f(e))＝
________，函数 y＝f(x)－1 的零点为________．
解析：因为 f(x)＝{tan[
π
2 （x－1）]，0 < x ≤ 1
ln x，x > 1
，
所以 f(e)＝ln e＝1，
f(f(e))＝f(1)＝tan 0＝0，
若 01，f(x)＝1⇒ln x＝1⇒x＝e.
答案：0 e
8．已知函数 f(x)＝
2
3x＋1＋a 的零点为 1，则实数 a 的值为________．
解析：由已知得 f(1)＝0，即 2
31＋1＋a＝0，解得 a＝－
1
2.
答案：－
1
2
9．已知函数 f(x)＝ {2x，x ≤ 0，
|log2x|，x > 0，则函数 g(x)＝f(x)－
1
2的零点所构成的集合为
________．
解析：令 g(x)＝0，得 f(x)＝
1
2，所以{x ≤ 0，
2x＝1
2
或{x > 0，
|log2x|＝1
2，解得 x＝－1 或 x＝
2
2 或
x＝ 2，故函数 g(x)＝f(x)－
1
2的零点所构成的集合为{－1，
2
2 ， 2}.
答案：{－1，
2
2 ， 2}
10．(2020·杭州学军中学模拟)已知函数 f(x)＝|x 3－4x|＋ax－2 恰有 2 个零点，则实数 a
的取值范围为________．
解析：函数 f(x)＝|x3－4x|＋ax－2 恰有 2 个零点即函数 y＝|x3－
4x|与 y＝2－ax 的图象有 2 个不同的交点．作出函数 y＝|x3－4x|的图
象如图，当直线 y＝2－ax 与曲线 y＝－x3＋4x，x∈[0，2]相切时，
设切点坐标为(x0，－x30＋4x0)，则切线方程为 y－(－x30＋4x0)＝(－3x
20＋4)(x－x0)，且经过点(0，2)，代入解得 x0＝1，此时 a＝－1，由
函数图象的对称性可得实数 a 的取值范围为 a<－1 或 a>1.
答案：a<－1 或 a>1
11．设函数 f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的零点；
(2)若对任意 b∈R，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取值范围．
解：(1)当 a＝1，b＝－2 时，f(x)＝x2－2x－3，令 f(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1.
所以函数 f(x)的零点为 3 和－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0 有两个不同实根，所以 b2－4a(b－1)>0 恒成立，即
对于任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0，解得 0 0） ，则下列关于函数
y＝f[f(kx)＋1]＋1(k≠0)的零点个数的判断正确的是( )
A．当 k>0 时，有 3 个零点；当 k<0 时，有 4 个零点
B．当 k>0 时，有 4 个零点；当 k<0 时，有 3 个零点
C．无论 k 为何值，均有 3 个零点
D．无论 k 为何值，均有 4 个零点
解析：选 C.令 f[f(kx)＋1]＋1＝0 得，
{f（kx）＋1 ≤ 0，
ef（kx）＋1－2＋1＝0或{f（kx）＋1 > 0
ln[f（kx）＋1]＋1＝0，
解得 f(kx)＋1＝0 或 f(kx)＋1＝
1
e；
由 f(kx)＋1＝0 得，
{kx ≤ 0，
ekx－2＋1＝0或{kx > 0
ln（kx）＝－1；
即 x＝0 或 kx＝
1
e；
由 f(kx)＋1＝
1
e得，
{kx ≤ 0，
ekx－2＋1＝1
e
或{kx > 0
ln（kx）＋1＝1
e
；
即 ekx＝1＋
1
e(无解)或 kx＝e
1
e－1；
综上所述，x＝0 或 kx＝
1
e或 kx＝e
1
e－1；
故无论 k 为何值，均有 3 个解，故选 C.
2．(2020·宁波市高三教学评估)设函数 f(x)＝ax 2＋bx＋c(a，b，c∈R 且 a>0)，则“f
(f(－ b
2a ))<0”是“f(x)与 f(f(x))都恰有两个零点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选 C.由已知 a>0，函数 f(x)开口向上，f(x)有两个零点，最小值必然小于 0，当取
得最小值时，x＝－
b
2a，即 f(－ b
2a )<0，令 f(x)＝－
b
2a，则 f(f(x))＝f(－ b
2a )，因为 f(－ b
2a )<0，
所以 f(f(x))<0，所以 f(f(x))必有两个零点．同理 f(f( b
2a ))<0⇒f(－ b
2a )<0⇒x＝－
b
2a，因为 x＝
－
b
2a是对称轴，a>0，开口向上，f(－ b
2a )<0，必有两个零点所以 C 选项正确．
3．(2020·瑞安市龙翔高中高三月考)若关于 x 的不等式 x2＋|x－a|<2 至少有一个正数解，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：不等式为 2－x2>|x－a|，则 0<2－x2.
在同一坐标系画出 y＝2－x2(y≥0，x≥0)和 y＝|x|两个函数图
象，将绝对值函数 y＝|x|向左移动，当右支经过(0，2)点时，a＝－
2；将绝对值函数 y＝|x|向右移动让左支与抛物线 y＝2－x2(y≥0，x
≥0)相切时，
由{y－0＝－（x－a）
y＝2－x2 ，可得 x2－x＋a－2＝0，
再由 Δ＝0 解得 a＝
9
4.
数形结合可得，实数 a 的取值范围是(－2，
9
4).
答案：(－2，
9
4)
4．已知函数 f(x)＝(1
2 ) x
，g(x)＝log
1
2
x，记函数 h(x)＝{g（x），f（x） ≤ g（x），
f（x），f（x） > g（x），
则函数 F(x)＝h(x)＋x－5 的所有零点的和为________．
解析：由题意知函数 h(x)的图象如图所示，易知函数 h(x)的
图象关于直线 y＝x 对称，函数 F(x)所有零点的和就是函数 y＝h(x)
与函数 y＝5－x 图象交点横坐标的和，设图象交点的横坐标分别
为 x1，x2，因为两函数图象的交点关于直线 y＝x 对称，所以
x1＋x2
2 ＝
5－x1＋x2
2 ，所以 x1＋x2＝5.
答案：5