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- 2021-04-13 发布
2017-2018学年湖北省沙市中学高二下学期期中考试理数试卷
命题人：叶世安 审题人：冷劲松
考试时间：2018年4月19日
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则等于（ ）．
A．０ B．１ C．３ D．
2.已知的导函数的图象如右图所示，那么函数的图象最有可能的是( )
y
x
O
1
2
-1
y
x
O
1
2
-2
A
y
x
O
1
2
-2
B
y
x
O
1
2
-2
C
y
x
O
1
2
-2
D
3．“a=﹣2”是“直线（a+2）x+3ay+1=0与直线（a﹣2）x+（a+2）y﹣3=0相互垂直”的（ ）条件．
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分也非必要
4. 随机变量的取值为0，1，2，若，，则方差
A. B. C. D.
5、函数在上最大值和最小值分别是（ ）
（A）5 , －15 (B)5,－4 (C)－4,－15 (D)5,－16
6．若的展开式中各项系数和为64，则其展开式中的常数项为（ ）
A．540 B．﹣540 C．135 D．﹣135
7. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立.则甲队以3：2获得比赛胜利的概率为 ( )
A. B. C. D.
8. 某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表，根据此表可得回归方程中的=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元.
A. 650 B. 655 C. 677 D. 720
9、在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）
A、24种 B、48种 C、96种 D、144种
10、已知双曲线 的一条渐近线与函数y=1+lnx+ln2的图象相切，则双曲线C的离心率是（ ）
A、2 B、 C、 D、
11．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1为奇函数，则不等式f（x）＜ex的解集为（ ）
A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）
12、若函数f（x）=（x+1）2﹣alnx在区间（0，+∞）内任取有两个不相等的实数x1 ， x2 ， 不等式＞1恒成立，则a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，3） B、（﹣∞，﹣3） C、（﹣∞，3] D、（﹣∞，﹣3]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知随机变量服从正态分布，若，则______________．
14．函数的单调增区间为___________________________________。
15． 函数，,若对, ,
,则实数 的最小值是
16．已知点P（2，1）是抛物线上x2=4y上的一点，点M，N是抛物线上的动点（M，N，P三点不共线），直线PM，PN分别交y轴于A，B两点，且|PA|=|PB|，则直线MN的斜率为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（10分）已知函数f（x）=ax3+bx2+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为﹣3．
(1) 求f（x）的解析式；
(2) 求过点A（2，2）的切线方程．
18.（12分）心理学家发现视觉和空间能力与性别有关，某高中数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中抽取50名同学（男30女20
），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）
（1）能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）以上列联表中女生选做几何题的频率作为概率，从该校1500名女生中随机选6名女生，记6名女生选做几何题的人数为，求的数学期望和方差.
附表：
参考公式：，其中.
19、(12分）已知椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过焦点垂直长轴的弦长为3．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的右顶点作直线交抛物线y2=2x于A、B两点，求证：OA⊥OB．
20.(12分)某市对高二学生的期末理科数学测试的数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布N(100,15),现从甲校100分以上(含100分)的200份试卷中用系统抽样中等距抽样的方法抽取了20份试卷来分析(试卷编号为001,002,,.,200),统计如下：
试卷编号
试卷得分
109
118
112
114
126
128
127
124
126
120
试卷编号
试卷得分
135
138
135
137
135
139
142
144
148
150
注：
(1)写出表中试卷得分为144分的试卷编号(写出具体数据即可）______；
(2)该市又从乙校中也用与甲校同样的抽样方法抽取了20份试卷,将甲乙两校这40份试卷的得分制作了茎叶图(如图)在甲、乙两校这40份学生的试卷中,从成绩在140分以上(含140分)的学生中任意抽取3人，该3人在全市排名前15名的人数记为X,求随机变量X的分布列和期望。
附:若随机变量X服从正态分布N则
21.如图，四棱锥中，平面平面，且，底面为矩形，点、、 分别为线段、、的中点，是上的一点，.直线与平面所成的角为.
(1)证明：平面；
(2)设，求二面角的余弦值.
22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值．
高二下期中考试理科数学参考答案
一、D A B B A C B B C B B C
二、13、 0.2 14、,
15、 14 16、 —1
三、
17、【答案】（1）解：函数f（x）=ax3+bx2+cx的导数为f'（x）=3ax2+2bx+c， 依题意 ，
又f'（0）=﹣3即c=﹣3 ∴a=1，b=0， ∴f（x）=x3﹣3x
（2）解：设切点为（x0 ， x03﹣3x0）， ∵f'（x）=3x2﹣3∴切线的斜率为f'（x0）=3x02﹣3，
∴切线方程为y﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（x﹣x0），
又切线过点A（2，2），
∴2﹣（x03﹣3x0）=（3x02﹣3）（2﹣x0），
∴2x03﹣6x02+8=0，即为2（x0+1）（x0﹣2）2=0， 解得x0=﹣1或2，
可得过点A（2，2）的切线斜率为0或9，
即有过点A（2，2）的切线方程为y﹣2=0或y﹣2=9（x﹣2），
即为y﹣2=0或9x﹣y﹣16=0
18、（1）, 能判断
（2）X服从二项分布 E(X)=2.4 D(x)=1.44
19、（1）解：椭圆 =1（a＞b＞0）的离心率为 ，过焦点垂直长轴的弦长为3， 则有 解可得a=2，c=1，则b2=a2﹣c2=3．
所以，所求椭圆的标准方程为
（2）解：证明：设过椭圆的右顶点（2，0）的直线AB的方程为x=my+2． 代入抛物线方程y2=2x，
得y2﹣2my﹣4=0．
设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2），则 ，
∴x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（1+m2）y1y2+2m（y1+y2）+4=0．
∴OA⊥OB
20、 （1）180
（2） 全市前15名为145分以上，X服从超几何分布
X=0，1，2，3
P(X=0)=5/28，P(X=1)=15/28，P(X=2)=15/56，P(X=3)=1/56
E(X)=9/8
21．解：（Ⅰ）取中点，连接，交于点，连接，则.
因为平面平面，所以平面，，.
方法一：因为，，所以，所以.
又，，所以，所以∽，
所以，所以.且，所以平面.
方法二：取中点，连接，交于点,连接，则.
因为平面平面，所以平面，，.
又因为，，所以，所以.
以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
设，，则，，，，
于是,.
所以，所以，且，所以平面 ……6分.
（Ⅱ）取中点，连接，交于点，连接，则.
因为平面平面，所以平面，
，.
以点为原点，射线、、方向为轴、轴、轴的正方向，
建立空间直角坐标系. 设，则，，
，，，
于是，，. ……8分.
设平面的一个法向量为，则，
从而，令,得.
而平面的一个法向量为. ……10分.
所以 ……12分.
22、【解答】解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1；
（2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1，
∴g′（x）=．
当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数．
又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立；
当a＞0时，g′（x）=．
令g′（x）=0，得x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0．
因此，g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数．
故函数g（x）的最大值为g（）=≤0．
令h（a）=． 则h（a）在（0，+∞）上是减函数，
∵h（1）=﹣2＜0， ∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1．