- 305.00 KB
- 2021-04-13 发布
第4讲 直接证明与间接证明
, [学生用书P212])
1．直接证明
直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和分析法．
(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
综合法又称为：由因导果法(顺推证法)．
(2)分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
分析法又称为：执果索因法(逆推证法)．
2．间接证明
反证法：假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．
1．辨明两个易误点
(1)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论．
(2)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．
2．证题的三种思路
(1)综合法证题的一般思路
用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论．
(2)分析法证题的一般思路
分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充分条件．应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件．
(3)反证法证题的一般思路
反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立．反证法的主要依据是逻辑中的排中律，排中律的一般形式是：或者是A，或者是非A，即在同一讨论过程中，A和非A有且仅有一个是正确的，不能有第三种情况出现．
1. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A．三角形三个内角都不大于60°
B．三角形三个内角都大于60°
C．三角形三个内角至多有一个大于60°
D．三角形三个内角至多有两个大于60°
[答案] B
2．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．
[解析] 由余弦定理cos A＝<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
[答案] a2>b2＋c2
3. 若，，成等比数列，则logx＝________．
[解析] 由题意得()2＝·，所以＝，所以x＝.设logx＝y，即＝＝，
所以y＝2，即logx＝2.
[答案] 2
综合法的应用[学生用书P212]
[典例引领]
(2017·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.
(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：＞0.
【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．
当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.
则f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0＜x＜1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(0，1)上是增函数；
当x＞1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数．
故f(x)在x＝1处取得最大值f(1)＝0.
(2)证明：由题可得，f′(x)＝λln x＋－1.
由题设条件，得f′(1)＝1，即λ＝1.
所以f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.
由(1)知，ln x－x＋1＜0(x＞0，且x≠1)．
当0＜x＜1时，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋(ln x－x＋1)＜0，所以＞0.
当x＞1时，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x＞0，
所以＞0.
综上可知，＞0.
综合法的证题思路
(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．
(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．
在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycos A＋cos B＝0与ax＋ycos B＋cos A＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．
[证明] 法一：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，由正弦定理可知sin Bcos B－sin Acos A＝0，即sin 2B－sin 2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cos A＝cos B，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．
法二：由两直线平行可知bcos B－acos A＝0，
由余弦定理，得a·＝b·，
所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，
所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，
所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2.
若a＝b，则两直线重合，不符合题意，
故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．
分析法[学生用书P213]
[典例引领]
已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【证明】 要证明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需证2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，
从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
所以2a3－b3≥2ab2－a2b.
分析法的证题思路
先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．
[注意] 要注意书写格式的规范性．
已知m>0，a，b∈R，求证：≤.
[证明] 因为m>0，所以1＋m>0.所以要证原不等式成立，
只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，
即证m(a2－2ab＋b2)≥0，
即证(a－b)2≥0，
而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．
反证法[学生用书P213]
[典例引领]
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．
【解】 (1)当n＝1时，a1＋S1＝2a1＝2，则a1＝1.
又an＋Sn＝2，
所以an＋1＋Sn＋1＝2，
两式相减得an＋1＝an，
所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，
所以an＝.
(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p＜q＜r，且p，q，r∈N*)，
则2·＝＋，
所以2·2r－q＝2r－p＋1.(*)
又因为p＜q＜r，
所以r－q，r－p∈N*.
所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不等立．
所以假设不成立，原命题得证．
用反证法证明数学命题需把握的三点
(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；
(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；
(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的．
已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4
中至少有一个数大于25.
[证明] 假设a1，a2，a3，a4均不大于25，
即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，
这与已知a1＋a2＋a3＋a4>100矛盾，故假设错误．
所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25.
, [学生用书P293(独立成册)])
1．用反证法证明命题：“若a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数”的假设为( )
A．a，b，c，d中至少有一个正数
B．a，b，c，d全都为正数
C．a，b，c，d全都为非负数
D．a，b，c，d中至多有一个负数
C [解析] 用反证法证明命题时，应先假设结论的否定成立，而“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定是“a，b，c，d全都为非负数”．
2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
C [解析] 0
⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.故选C.
3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是( )
A．a＞b＞c B．b＞c＞a
C．c＞a＞b D．a＞c＞b
A [解析] 因为a＝－＝，b＝－＝，c＝－＝，
且＋＞＋＞＋＞0，
所以a＞b＞c.
4．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [解析] 因为≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，所以f≤f()≤f.
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值( )
A．恒为负值 B．恒等于零
C．恒为正值 D．无法确定正负
A [解析] 由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)b，则f(f(b))>f(b)>b，与题意不符，
若f(b)0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．
[解析] 要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．
[答案] ①③④
10．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1，在区间[－1，1]内至少存在一点c，使f(c)＞0，则实数p的取值范围是________．
[解析] 法一：(补集法)
令解得p≤－3或p≥，
故满足条件的p的范围为.
法二：(直接法)
依题意有f(－1)＞0或f(1)＞0，
即2p2－p－1＜0或2p2＋3p－9＜0，
得－＜p＜1或－3＜p＜，
故满足条件的p的取值范围是.
[答案]
11．△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.
求证：＋＝.
[证明] 要证＋＝，
即证＋＝3，也就是证＋＝1，
只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需证c2＋a2＝ac＋b2.
又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accos 60°，即b2＝c2＋a2－ac，
故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
12．(2017·陕西商洛期中)对于任意的两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“⊗”为：(a，b)⊗(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“⊕”为：(a，b)⊕(c，d)＝(a＋c，b＋d)，设p，q∈R，若(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)，则(1，2)⊕(p，q)＝( )
A．(4，0) B．(2，0)
C．(0，2) D．(0，－4)
B [解析] 由(1，2)⊗(p，q)＝(5，0)得
⇒
所以(1，2)⊕(p，q)＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．
13．若f(x)的定义域为[a，b]，值域为[a，b](a＜b)，则称函数f(x)是[a，b]上的“四维光军”函数．
(1)设g(x)＝x2－x＋是[1，b]上的“四维光军”函数，求常数b的值；
(2)是否存在常数a，b(a＞－2)，使函数h(x)＝是区间[a，b]上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)由已知得g(x)＝(x－1)2＋1，其图象的对称轴为x＝1，区间[1，b]在对称轴的右边，
所以函数在区间[1，b]上单调递增．由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b)＝b，
即b2－b＋＝b，解得b＝1或b＝3.
因为b＞1，所以b＝3.
(2)假设函数h(x)＝在区间[a，b](a＞－2)上是“四维光军”函数，
因为h(x)＝在区间(－2，＋∞)上单调递减，
所以有
即解得a＝b，这与已知矛盾．故不存在．
14．(2017·安庆模拟)设f(x)是定义在D上的函数，若对任何实数α∈(0，1)以及D中的任意两数x1，x2，恒有f(αx1＋(1－α)x2)≤αf(x1)＋(1－α)f(x2)，则称f(x)为定义在D上的C函数．
(1)证明函数f1(x)＝x2是定义域上的C函数；
(2)判断函数f2(x)＝(x<0)是否为定义域上的C函数，请说明理由．
[解] (1)证明：对任意实数x1，x2及α∈(0，1)，有
f(αx1＋(1－α)x2)－αf(x1)－(1－α)f(x2)
＝[αx1＋(1－α)x2]2－αx－(1－α)x
＝－α(1－α)x－α(1－α)x＋2α(1－α)x1x2
＝－α(1－α)(x1－x2)2≤0，
即f(αx1＋(1－α)x2)≤αf(x1)＋(1－α)f(x2)，
所以f1(x)＝x2是定义域上的C函数．
(2)f2(x)＝(x<0)不是定义域上的C函数，
证明如下(举反例)：
取x1＝－3，x2＝－1，α＝，
则f(αx1＋(1－α)x2)－αf(x1)－(1－α)f(x2)
＝f(－2)－f(－3)－f(－1)
＝－＋＋>0，
即f(αx1＋(1－α)x2)>αf(x1)＋(1－α)f(x2)，
所以f2(x)＝(x<0)不是定义域上的C函数．