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- 2021-04-13 发布
2018届高三数学30个黄金考点精析精训
考点19 线性规划
【考点剖析】
1.最新考试说明：
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
2.命题方向预测：
预计2018年高考对本节内容的考查仍将以求区域面积和目标函数最值（或取值范围）为主，考查约束条件、目标函数中的参变量取值范围，题型延续选择题或填空题的形式，分值为4到5分.
3.课本结论总结：
画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化，确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法，直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线，特殊点定域，即在直线的某一侧取一个特殊点作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当时，常把原点作为测试点；当时，常选点或者作为测试点；线性规划的综合运用问题，通常会考查一些非线性目标函数的最值，解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义.
4.名师二级结论：
（1）平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
（2）求最值：求二元一次函数的最值，将函数转化为直线的斜截式：，通过求直线的截距的最值间接求出的最值．最优解在顶点或边界取得．
（3）解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．
5.课本经典习题：
(1)新课标A版必修5第86页，练习1 不等式表示的区域在直线的（ ）
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
【解析】如图所示，在平面直角坐标系中坐出直线，原点满足不等式，因此可知不等式表示的区域为直线的右下方.
【经典理由】通过具体的例题，给出了利用特殊点定二元一次不等式所所表示的平面区域的一般方法.
（2）新课标A版必修5 第91页，练习1（1） 求的最大值，使，满足约束条件
【解析】如图，坐出约束条件所表示的平面区域，即可行域，作直线：，则可知，当时，.
【经典理由】结合具体实例，给出了利用线性规划求线性目标函数最值的一般方法.
6.考点交汇展示：
(1)线性规划与基本不等式相结合
设为坐标原点，第一象限内的点的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，则的最小值为（ ）
A. B. C.1 D.4
【答案】B
(2)线性规划与平面向量相结合
在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足 ，则点集 ，，，所表示的区域的面积是________．
【答案】
【解析】由 ，知，∴，又，
是两定点，可设，，，由 ，可得 .
因为，所以＋，当
由可行域可得，所以由对称性可知点所表示的区域面积.
【考点分类】
热点1 求目标函数的最值
1.【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是
A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，
【答案】D
【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．
2.【2016高考山东文理】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（ ）
（A）4（B）9（C）10（D）12
【答案】C
【解析】
试题分析：画出可行域如图所示，点到原点距离最大，所以
，选C.
3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件，则的最小值为__________
【答案】
4.若满足约束条件，则的最大值为 .
【答案】3
【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
【解题技巧】
求约束条件下的二元函数的最值是典型的线性规划问题，求解这类问题时，目标函数所对应的直线的截距十分关键，即把目标函数中的看作直线在轴上的截距，其中的符号要特别小心：当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴上的截距最小时，值最小；
当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上的截距最小时，值最大，例如第1题，利用平移的方法，考查直线在可行域内在轴上的截距，即可求得最值.
【方法规律】
把每一个二元一次不等式所表示的平面区域在平面中准确地表示出来，然后求交集，就是不等式组所表示的平面区域，但要注意是否包括边界，求目标函数的最大值或最小值，必须先画出准确的可行域，作出目标函数的等值线，根据题意，确定取得最优解的点，从而求出最值.
热点2 与其它知识点交汇
1.已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）
（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3
【答案】B
【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，
若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B.
2.满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A, B. C.2或1 D.
【答案】D
2.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )
（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A.
3.【2018陕西西安西北工业大学附属中学模拟】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这条平行直线间的距离的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出平面区域如图所示：
∴当直线y=x+b分别经过A，B时，平行线间的距离相等.
联立方程组,解得A(2,1)，
联立方程组,解得B(1,2).
两条平行线分别为y=x−1，y=x+1，即x−y−1=0，x−y+1=0.
∴平行线间的距离为，
本题选择D选项.
4.【2018浙江嘉兴第一中学模拟】若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
表示直线的右上方，若构成三角形，点A在的右上方即可。
又，所以，即.
故选C.
5.抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是 .
【答案】
【方法规律】
与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的范围、最值、距离等问题的求解一般是结合给定代数式的几何意义来完成的，常见代数式的几何意义：（1）表示点到原点的距离；（2）表示点与点的距离；（3）表示点与原点
连线的斜率值；（4）表示点与点连线的斜率值.
【解题技巧】
几类常见问题的处理方法：最优解问题：如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时()，其最优解可能有无数个，例如第9题，就要用到前述的知识点来求解参数的值.整数解问题：若实际问题要求的最优解是整数解，而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解)，这时应作适当的调整，其方法是在线性目标函数的直线的附近寻求与此直线距离最近的整点，也可以在用图解法所得到的近似解附近寻找.
热点3 实际应用
1. 【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么
①
目标函数.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
【方法规律】
解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：
(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？
(2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;
(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；
(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．
【解题技巧】
解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成形表格，然后用字母表示变量，可以方便我们列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题.
【热点预测】
1.【2017北京，文4】若满足则的最大值为（ ）
（A）1 （B）3
（C）5 （D）9
【答案】D
【解析】如图，画出可行域，
2.【2017课标3，文5】设x，y满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A．[–3,0] B．[–3,2] C．[0,2] D．[0,3]
【答案】B
3.设变量x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
4.已知，，满足约束条件，且的最小值为1，则（ ）
A.1 B.2 C. D.
【答案】D
【解析】画出可行域，由于与均正相关，因此直线在轴上截距最小时，取得最
小值为，此时，直线应经过与的公共点A，该点坐标为，故，
选D.
x＝1
y＝a(x－3)
2x＋y＝z
x＋y＝3
y
0
x
3
1
A
5.【2017届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知实数满足则的最大值是( )
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】作出可行域，如图内部（含两边），作直线，向上平移直线， 增加，当过点时， 是最大值．故选C．
6.【【百强校】2017届河北衡水中学高三摸底联考】若为不等式组，表示的平面区域，则当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直角坐标系中作出区域A，当从连续变化到时，动直线扫过中的那部分区域为下图中的四边形，所以其面积为，故选D.
7.变量满足约束条件，若使取得最大值的最优解有无数个，则实数的取值集合是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
8.当变量满足约束条件的最大值为8，则实数的值是（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】A
【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当直线经过可行域且尽可能地向下平移时，故当直线过点C时，取到最大值，又，所以，解得．
9.【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图中阴影部分），令，当直线经过点时， 取得最大值，即，所以，故选D．
10.【2018湖北浠水实验高级中模拟】设，满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】由得,直线是斜率为−a,y轴上的截距为z的直线,
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A(1,1),B(2,4)，
∵的最大值为，最小值为，
∴直线过点B时，取得最大值为，
经过点时取得最小值为，
若，则，此时满足条件，
若，则目标函数斜率，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足，
即，
若，则目标函数斜率，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足，
即，
综上，
故答案为：[−2,1].
11.【2018河南洛阳联考】已知，满足条件则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出可行域：
∵设z==1+，令s=
S表示动点与定点连线的斜率
当点在B时，s最小，即z的最小值为；
当点在A时，s最大，即z的最大值为.
故答案为：[3，9]．
12.【2018重庆第一中学模拟】某玩具生产厂计划每天生产卡车模型、赛车模型、小汽车模型这三种玩具共个，生产一个卡车模型需分钟，生产一个赛车需分钟，生产一个小汽车需分钟，已知总生产时间不超过小时，若生产一个卡车模型可获利元，生产一个赛车模型可获利润元，生产一个小汽车模型可获利润元，该公司合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大利润是__________元．
【答案】850
【解析】约束条件为
整理得
目标函数为W=2x+3y+600，作出可行域．
初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．
最优解为A（50，50），
所以Wmax=850（元）．
13.已知为坐标原点，，，，满足，则的最大值等于 .
【答案】
【解析】，设,如图：做出可行域
当目标函数平移到C点取得最大值，解得,,代入目标函数，的最大值为.
14.某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一种甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？
【答案】每天生产甲产品件，乙产品件时，工厂可获得最大利润万元.
【解析】设甲、乙两种产品分别生产，件，工厂获得的利润为，由题意可得
， 目标函数为，作出线性约束条件表示的可行域如下图所示：