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- 2021-04-13 发布
高二数学（文科）试题
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知命题 : 0, 1xp x e x ，则 p 为（ ）
A． 0, 1xx e x B． 0, 1xx e x
C． 0, 1xx e x D． 0, 1xx e x
2.抛物线 22y x 的焦点坐标是 （ ）
A． 1 ,02
B． 10, 2
C． 1 ,08
D． 10, 8
3. 过点 1,0 且与直线 2 2 0x y 平行的直线方程是（ ）
A． 2 2 0x y B． 2 1 0x y C． 2 1 0x y
D． 2 1 0x y
4.若变量 ,x y 满足约束条件
1
0
2 0
y
x y
x y
，则 2z x y 的最大值为 （ ）
A． 1 B．2 C. 3 D．4
5.函数 xf x xe 在点 0, 0A f 处的切线斜率为（ ）
A． 0 B．-1 C. 1 D． e
6. “ 0 2n ”是“方程
2 2
11 3
x y
n n
表示双曲线”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分
也不必要条件
7.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据（单位： cm ），可知此几何体的体积是
（ ）
A． 324cm B． 364
3 cm C. 36 2 5 2 2 cm
D． 324 8 5 8 2 cm
8. 圆 2 2 4x y 与圆 2 23 4 49x y 的位置关系为（ ）
A．内切 B．相交 C. 外切 D．相离
9. 设 ,m n 是两条不同直线， , 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A． / / , / /m n 且 / / ，则 / /m n B． ,m n 且 ，则 m n
C. , ,m nm n ，则 D． , ,m/ / , / /m n n ，则 / /
10. 过点 ,0P 引直线l 与曲线 22y x 相交于 ,A B 两点，O 为坐标原点，当 AOB
的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（ ）
A． 3
3
B． 3
3
C. 3 D． 3
3
11.设 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2: 1 0,b 0x yC aa b
的左、右焦点．圆 2 2 2 2x y a b
与双曲线 C 的右支交于点 A ，且 1 22 3AF AF ，则双曲线离心率为（ ）
A．12
5
B．13
5
C. 13
2
D． 13
12. 已知 0,2A ，抛物线 2: 0C y mx m 的焦点为 F ，射线 FA 与抛物线C 相交于点
M ，与其准线相交于点 N 中，若 : 1: 3FM MN ，则三角形OFN 面积为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C. 4 D． 2 5
第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.若曲线 1ay x a R 在点 1,2 处的切线经过坐标原点，则 a ．
14.某隧道的拱线设计半个椭圆的形状，最大拱高 h 为 6 米（如图所示），路面设计是双向车
道，车道总宽为8 7 米，如果限制通行车辆的高度不超过 4.5 米，那么隧道设计的拱宽 d 至
少应是 米．
15.若 21 ln2f x x b x 在 1, 上是减函数，则b 的取值范围是 ．
16.已知圆 2 2: 5 12 1C x y 和两点 ,0 , ,0 0A a B a a ．若圆C 上至少存在
一点 P ，使得 090APB ，则 a 的取值范围 ．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17.已知圆 2 2: 8 12 0C x y x ，直线 : 2 0l x ay a ．
（1）当 a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
（2）当直线l 与圆C 相交于 ,A B 两点，且 2 2AB 时，求直线l 的方程．
18. 如图，已知 PA O 所在的平面， AB 是 O 的直径， 4,AB C 是 O 上一点，且
0, 45 ,AC BC PCA E 是 PC 中点， F 为 PB 中点．
（1）求证： / /EF 面 ABC ；
（2）求证： EF 面 PAC ；
（3）求三棱锥 B PAC 的体积．
19. 已知函数 3 2 2f x ax bx x ，且 f x 在 1x 和 2x 处取得极值．
（1）求函数 f x 的解析式；
（2）设函数 g x f x t ，是否存在实数t ，使得曲线 y g x 与 x 轴有两个交点，
若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
20.已知命题 :p 直线 2 0ax y 和直线 3 2 1 1 0ax a y 垂直；命题 :q 三条直线
2 3 1 0,4x 3y 5 0, 1 0x y ax y 将平面划分为六部分．若 p q 为真命题，求
实数 a 的取值集合．
21.已知函数
2 1ln 2 2
xf x x x ．
（1）求函数 f x 的单调递增区间；
（2）证明：当 1x 时， 1f x x ；
（3）确定实数 k 的值，使得存在 0 1x 当 01,x x 时，恒有 1f x k x ．
22.椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率是 2
2
，过点 0,1P 的动直线l 与椭圆相交于
,A B 两点，当直线l 与 x 轴平行时，直线l 被椭圆C 截得的线段长为 2 6 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在 y 轴上是否存在异于点 P 的定点 Q ，使得直线l 变化时，总有 PQA PQB ？
若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷答案
一、选择题
1-5:BDCCC 6-10: ABABB 11、12：DA
二、填空题
13. 2 14. 32 15. ,1 16. 12,14
三、解答题
17.解：将圆C 的方程 2 2 8 12 0x y x 化成标准方程为 2 24 4x y ，
则此圆的圆心为 4,0 ，半径为 2．
（1）若直线l 与圆C 相切，则有
2
4 2 2
1
a
a
，解得 3
4a ；
（2）过圆心C 作CD AB ，则根据题意和圆的性质，
得
2
2 2 2 2
4 2
1
2
1 22
aCD
a
CD DA AC
DA AB
，解得 7a 或 1a ，故所求直线方程为 7 14 0x y
或 2 0x y ．
18.解：（1）证明：在三角形 PBC 中， E 是 PC 中点， F 为 PB 中点，
∴ / /EF BC ， BC 平面 ,ABC EF 平面 ABC ，∴ / /EF 面 ABC ；
（2）证明：∵ PA 面 ABC ， BC 平面 ABC ，∴ BC PA ，
又∵ AB 是 O 的直径，∴ BC AC ，
又 PA AC A ，∴ BC 面 PAC ，
∵ / /EF BC ，∴ EF 面 PAC ；
（3）∵ 045PCA ，∴ PA AC ，
在 Rt ABC 中，∵ , 4AC BC AB ，∴ 2 2AC BC ，
∴ 1 8 2
3 3B PAC P ABC ABCV V S PA ．
19.解：（1） 23 2 2f x ax bx ，
因为 f x 在 1x 和 2x 处取得极值，
所以 1x 和 2x 是 0f x 的两个根，
则
21 2 3
21 2 3
b
a
a
，解得
1
3
3
2
a
b
，
经检验符合已知条件，故 3 21 3 23 2f x x x x ；
（2）由题意知 3 2 21 3 2 , 3 23 2g x x x x t g x x x ，
令 0g x 得， 1x 或 2x ，
g x g x 、 随着 x 变化情况如下表所示：
x ,1 1 1,2 2 2,
g x - 0 + 0 -
g x 递减 极小值 递增 极大值 递减
由上表可知 5 21 , 26 3g x g t g x g t 极小值 极大值 ，
又 x 取足够大的正数时， 0g x ，
x 取足够小的负数时， 0g x ，
因此，为使曲线 y g x 与 x 轴有两个交点，结合 g x 的单调性，
得 5 06g x t 极小值 或 2 03g x t 极大值 ，
∴ 5
6t 或 2
3t ，
即存在t ，且 5
6t 或 2
3t 时，曲线 y g x 与 x 轴有两个交点．
20.解： p 真： 23 2 1 0a a ， 23 2 1 3 1 1 0a a a a ，∴ 1
3a 或 1a ，
q 真：∵ 2 3 1 0x y 与 4 3 5 0x y 不平行，
则 2 3 1 0x y 与 1 0ax y 平行或 4 3 5 0x y 与 1 0ax y 平行或三条直线
交于一点，
若 2 3 1 0x y 与 1 0ax y 平行，由 1 1
2 3 1
a
得 2
3a ，
若 4 3 5 0x y 与 1 0ax y 平行，由 1 1
4 3 5
a 得 4
3a ，
若三条直线交于一点，由 2 3 1 0
4 3 5 0
x y
x y
，得
1
1
3
x
y
，
代入 1 0ax y 得 2
3a ，
∴ q 真， 2
3a 或 4
3a 或 2
3a ，
∵ p q 真，∴ p q、 至少有一个为真，
∴ a 的取值集合为 4 2 1 2, , , ,13 3 3 3
．
21.解：（1）
21 11 , 0,x xf x x xx x
，
由 0f x 得 2
0
1 0
x
x x
解得 1 50 2x ，
故 f x 的单调递增区间是 1 50, 2
；
（2）令 1 , 0,F x f x x x ，则有
21 xF x x
，
当 1,x 时， 0F x ，
所以 F x 在 1, 上单调递减，
故当 1x 时， 1 0F x F ，即当 1x 时， 1f x x ；
（3）由（2）知，当 1k 时，不存在 0 1x 满足题意，
当 1k 时，对于 1x ，有 1 1f x x k x ，则 1f x k x ，从而不存在 0 1x
满足题意，
当 1k 时，令 1 , 0,G x f x k x x ，
则有 2 1 11 1 x k xG x x kx x
，
由 0G x 得， 2 1 1 0x k x ，
解得
2 2
1 2
1 1 4 1 1 4
0, 12 2
k k k k
x x
，
当 21,x x 时， 0G x ，故 G x 在 21, x 内单调递增，
从而当 21,x x 时， 1 0G x G ，即 1f x k x ，
综上， k 的取值范围是 ,1 ．
22.解：（1）∵
2
2
2
2 1,2 2
ce e a
，∴ 2 2 2 2 2 22 , 2a c b c b c a b ，
椭圆方程化为：
2 2
2 2 12
x y
b b
，由题意知，椭圆过点 6,1 ，
∴ 2 2
6 1 12b b
，解得 2 24, 8b a ，
所以椭圆 C 的方程为：
2 2
18 4
x y ；
（2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程： 1y kx ，
由
2 22 8
1
x y
y kx
得 2 22 1 4 6 0k x kx ， 2 216 24 2 1 0k k ，
设
1 2 2
1 1 2 2
1 2 2
4
2 1, , , , 6
2 1
kx x kA x y B x y
x x k
，
假设存在定点 0,Q t 符合题意，∵ PQA PQB ，∴ QA QBk k ，
∴
2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 2
1 1
QA QB
x y x y t x x x kx x kx t x xy t y tk k x x x x x x
1 2 1 2
1 2
2 1 2 442 1 06 3
kx x t x x k tkk tx x
，
∵上式对任意实数 k 恒等于零，∴ 4 0t ，即 4t ，∴ 0,4Q ，
当直线l 斜率不存在时， ,A B 两点分别为椭圆的上下顶点 0, 2 , 0,2 ，
显然此时 PQA PQB ，综上，存在定点 0,4Q 满足题意．