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- 2021-04-13 发布
沾益区一中2017届高三上学期数学第三次质量检测
命题人：黄路华 审题人：孙运松
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，，则M∩N=（ ）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x≥0} D．{x|﹣1＜x≤0}
2.已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
3.已知函数f（x）= ，则f（5）=（ ）
A．32 B．16 C． D．
4.已知函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C．4 D．8
5.等差数列{an}中，an＞0，a12+a72+2a1a7=4，则它的前7项的和等于（ ）
A． B．5 C． D．7
6.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+…log3a10=（ ）
A．12 B．10 C．8 D．2+log35
7.已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ）
A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称
C．在区间单调递增 D．在单调递减
8.已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜）的图象的一个对称中心为（，0），则函数f（x）的单调递减区间是（ ）
A．（k∈Z） B．（k∈Z） C．（k∈Z） D．（k∈Z）
9.设向量，若，则=（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
10.已知向量、，其中||=，||=2，且（﹣）⊥，则向量和的夹角是（ ）
A． B． C． D．π
11.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为( )
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．4
12.为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度Zxxk
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13. 已知集合，，则集合的真子集的个数为 ．
14.设等差数列的前项和为，已知，，则 ．
15.在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则= ．
16.已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=，则f（x）的单调递增区间为 ．
三、解答题（本题共6道小题,共70分）
17.(10分)已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间．
18.（12分）在数列{an}中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，n∈N*），且a1，a2，a5成公比不为1的等比数列．
（1）求c的值；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
19.（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．
20.（12分）已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．
21.（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
22.（12分）已知函数．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若f（x）在（k∈Z）．
17.
【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．
【分析】（1）函数解析式提取2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；根据正弦函数的值域即可确定出f（x）的最大值；
（2）根据正弦函数的单调性即可确定出f（x）的递减区间．
【解答】解：（1）f（x）=2（sin2x﹣cos2x）=2sin（2x﹣），
∵ω=2，∴T==π；
∵﹣1≤sin（2x﹣）≤1，即﹣2≤2sin（2x﹣）≤2，
则f（x）的最大值为2；
（2）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，
解得： +kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
则函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z，
18.
【考点】数列的求和；等比数列的性质．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用递推关系判断出数列{an}为等差数列，将a1，a2，a5用公差表示，据此三项成等比数列列出方程，求出c．
（2）写出bn，据其特点，利用裂项的方法求出数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）∵an+1=an+c
∴an+1﹣an=c
∴数列{an}是以a1=1为首项，以c为公差的等差数列
a2=1+c，a5=1+4c
又a1，a2，a5成公比不为1的等比数列
∴（1+c）2=1+4c
解得c=2或c=0（舍）
（2）由（1）知，an=2n﹣1
∴
∴=
【点评】求数列的前n项和时，应该先求出通项，根据通项的特点，选择合适的求和方法．
19.
【考点】等差数列的通项公式；等比数列；数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】（1）要求数列{an}，{bn}的通项公式，先要根据已知条件判断，数列是否为等差（比）数列，由a1=1，an+1=2Sn+1，不难得到数列{an}为等比数列，而由数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，n∈N*，易得数列{bn}是一个等差数列．求出对应的基本量，代入即可求出数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）由（1）中结论，我们易得，即数列{cn}的通项公式可以分解为一个等差数列和一个等比数列相乘的形式，则可以用错位相消法，求数列{cn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由an+1=2Sn+1可得an=2Sn﹣1+1（n≥2），
两式相减得an+1﹣an=2an，
an+1=3an（n≥2）．
又a2=2S1+1=3，
所以a2=3a1．
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以an=3n﹣1．
由点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上，所以bn+1﹣bn=2．
则数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
则bn=1+（n﹣1）2=2n﹣1
（Ⅱ）因为，所以．
则，
两式相减得：．
所以=．基本量的
20.
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；
（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数y=f（x）的单调性．
【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx+x，f（1）=2，此时点A（1，2），，
∴切线的斜率k=f′（1）=2，
∴切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），
即y=2x…
（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），…
令g（x）=2x2+x﹣a（x＞0）
（1）当△=1+8a≤0，即时，g（x）≥0，
∴∀x∈（0，+∞），f′（x）≥0，
∴f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当△=1+8a＞0，即时，此时g（x）=0有两个根：，
①若时，f′（x）≥0，∀x∈（0，+∞）
②若⇒a＞0时，当；
当
综上可知：（1）当时时，f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；
（2）当时，f（x）的减区间是，增区间是…
21.
【考点】解三角形．
【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．
【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC
∴cosC=，
又0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
22.
【考点】函数奇偶性的性质；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）根据奇函数对应的关系式f（﹣x）=﹣f（x），列出方程化简后求出a的值；
（2）由函数的解析式求出导数，根据导数的解析式和区间[3，+∞），判断出f′（x）＞0，进而判断出函数的单调性，求出函数的最小值，只要此最小值大于0即可．
【解答】解：（1）由题意知，f（x）的定义域关于原点对称，
若f（x）为奇函数，则，
即，解得a=0．
（2）由f（x）=得，，
∴在[3，+∞）上f′（x）＞0，∴f（x）在[3，+∞）上单调递增，
∴f（x）在[3，+∞）上恒大于0只要f（3）大于0即可，即3a+13＞0，解得，
故a的取值范围为．