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- 2021-04-13 发布
福建省长汀、连城一中等六校2019-2020学年高二年上学期期中考联考数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 某校有高一学生450人，高二学生540人，高三学生630人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从这些学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为（ ）
A. 45 B. 60 C. 50 D. 54
2. 设m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“α∥β”是“m∥β且n∥α”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为（ ）
A. , B. ,
C. , D. ,
4. 从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，那么下列给出的两个事件互斥而不对立的是（ ）
A. 恰有一个红球与恰有两个红球 B. 至少一个红球与至少一个白球
C. 至少一个红球与都是白球 D. 至少一个红球与都是红球
5. 已知椭圆，则以点M（-1，1）为中点的弦所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M为棱C1D1的中点，则异面直线AM与BD所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，则抽到都是正品的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 甲、乙两个数学兴趣小组各有5名同学，在一次数学测试中，成绩统计用茎叶图表示如图，若甲、乙两个小组的平均成绩分别是，，标准差分别是s1，s2，则下列说法正确的是（ ）
甲
乙
98
8
5 6 88
210
9
3
A. , B. ,
C. , D. ,
9. 已知F是抛物线x2=y的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到x轴的距离为（ ）
A. B. 1 C. D.
10. 双曲线的左焦点为，点A的坐标为（0，1），点P为双曲线右支上的动点，且△APF1周长的最小值为6，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
11. 如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，，AB=AC=AA1=2，点G与E分别为线段A1B1和C1C的中点，点D与F分别为线段AC和AB上的动点．若GD⊥EF，则线段DF长度的最小值是（ ）
A.
B. 1
C.
D.
1. 已知椭圆C：=1的左、右顶点分别为A，B，F为椭圆C的右焦点，圆x2+y2=4上有一动点P，P不同于A，B两点，直线PA与椭圆C交于点Q，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题）
2. 已知向量，，若，则实数λ=______．
3. 与双曲线有共同的渐近线，且过点（3，2）的双曲线方程为______．
4. 若命题：∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，则实数a的取值范围是______．
5. 以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A、B为两个定点，k为非零常数，，则动点P的轨迹为双曲线；
②曲线表示焦点在y轴上的椭圆，则；
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线与椭圆有相同的焦点．
其中真命题的序号为______（写出所有真命题的序号）
三、解答题（本大题共6小题）
6. 已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．
（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；
（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．
7. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上横坐标为3的点M到焦点F的距离为4．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过抛物线C的焦点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点，求弦长|AB|．
8. 某地实施乡村振兴战略，对农副产品进行深加工以提高产品附加值，已知某农产品成本为每件3元，加工后的试营销期间，对该产品的价格与销售量统计得到如下数据：
单价x（元）
6
6.2
6.4
6.6
6.8
7
销量y（万件）
80
74
73
70
65
58
数据显示单价x与对应的销量y满足线性相关关系．
（1）求销量y（件）关于单价x（元）的线性回归方程=x+；
（2）根据销量y关于单价x的线性回归方程，要使加工后收益P最大，应将单价定为多少元？（产品收益=销售收入-成本）．
参考公式：==，=-
1. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C是矩形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=2，AC=1，，．
（1）求证：AA1⊥平面ABC；
（2）在线段BC1上是否存在一点D，使得AD⊥A1B？若存在求出的值，若不存在请说明理由．
2. 某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．
（1）求图中x的值；
（2）求这组数据的中位数；
（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．
1.
已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到焦点的最长距离为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（0，2）的直线l（不过原点O）与椭圆C交于两点A、B，M为线段AB的中点．
（ⅰ）证明：直线OM与l的斜率乘积为定值；
（ⅱ）求△OAB面积的最大值及此时l的斜率．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意可得=，求得 n=54，
故选：D．
由题意利用分层抽样的定义和方法，求出n的值．
本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：m、n表示不同的直线，α、β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，
则“α∥β”⇒“m∥β且n∥α”，反之不成立．
∴“α∥β”是“m∥β且n∥α”的充分不必要条件．
故选：A．
利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系．
本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为：∀x∈（0，+∞），lnx＜x2-1．
故选：C．
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
4.【答案】A
【解析】解：从装有3个红球和2个白球的口袋中任取2个球，
在A中，恰有一个红球与恰有两个红球不能同时发生，但能同时不发生，
∴恰有一个红球与恰有两个红球是互斥而不对立事件，故A正确；
在B中，至少一个红球与至少一个白球能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在C中，至少一个红球与都是白球不能同时发生，但能同时不发生，
故至少一个红球与都是白球不能同时发生是对立事件，故C错误；
在D中，至少一个红球与都是红球能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：A．
利用互斥事件与对立事件的定义直接求解．
本题考查互斥而不对立事件的判断，考查互斥事件与对立事件的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：设弦的两个端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
∴，，两式相减得，
∴=-•，①
又∵M（-1，1）为AB的中点，
∴x1+x2=-2，y1+y2=2代入①式得=，
即kAB=，
∴直线AB方程为y-1=（x+1），即4x-5y+9=0．
故选：B
．
因为是一个选择题，可采用“点差法”，即先设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），分别代入椭圆方程后作差，可求出直线的斜率，再结合过点M，写出点斜式方程．
本题还可采用常规法，先设弦所在直线方程为y-1=k（x+1），代入椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到x1+x2的值，又AB中点为（-1，1），则有x1+x2=-2，可解出k的值．注意验证斜率不存在的情况，中档题．
6.【答案】C
【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，M为A1B1的中点，
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为1，以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
A（1，0，0），M（0，，1），B（1，1，0），D（0，0，0），
=（-1，，1），，
=，
所以异面直线AM与BD所成角的余弦值为，
故选：C．
以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，写出A，M，B，D坐标，求出对应向量，即可求出结果．
本题考查向量法解异面直线所成的角，中档题．
7.【答案】B
【解析】解：一个包装箱内有6件产品，其中正品4件，次品2件．现随机抽出两件产品，
基本事件总数n==15，
抽到都是正品包含的基本事件个数m==6，
则抽到都是正品的概率是p=．
故选：B．
先求出基本事件总数n==15，抽到都是正品包含的基本事件个数m==6，由此能求出抽到都是正品的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由茎叶图中数据，计算平均数为
=×（88+89+90+91+92）=90，
=×（85+86+88+88+93）=88，
标准差为s1==，
s2==，
∴＞，s1＜s2．
故选：A
．
由茎叶图中数据计算平均数和标准差即可．
本题考查了平均数与标准差的计算问题，是基础题．
9.【答案】C
【解析】解：抛物线x2=y的焦点F（0，）准线方程y=-，
设A（x1，y1），B（x2，y2）
∴|AF|+|BF|=y1++y2+=3
解得y1+y2=，
∴线段AB的中点纵坐标为，
∴线段AB的中点到x轴的距离为，
故选：C．
根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点纵坐标，求出线段AB的中点到x轴的距离．
本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
10.【答案】B
【解析】解：由|AF1|==2，三角形APF1的周长的最小值为6，
可得|PA|+|PF1|的最小值为4，
又F2为双曲线的右焦点，可得|PF1|=|PF2|+2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|取得最小值，且为|AF2|=2，
即有2+2a=4，即a=1，c=，
可得e==．
故选：B．
由题意可得AF1|=2，可得|PA|+|PF1|的最小值为4，设F2为双曲线的右焦点，由双曲线的定义可得|PA|+|PF2|+2a的最小值为4，当A，P，F2三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
11.【答案】C
【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），E（0，2，1），
G（1，0，2），F（x，0，0），D（0，y，0）由于
GD⊥EF，所以 x+2y-2=0
DF===
当y=时，
线段DF长度的最小值是
故选：C．
建立空间直角坐标系，设出F、D的坐标，求出向量，利用GD⊥EF求得关系式，写出DF的表达式，然后利用二次函数求最值．
本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力，空间直角坐标系，数量积等知识，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：取特殊点P（0，2），则PA方程为y=x+2
与椭圆方程联立，可得7x2+16x+4=0=0，所以x=-2或-，所以Q（-，），
∴kPB=-1，kQF==-，
∴=．
同理取P（0，-2），=-．
根据选项，排除A，B，C，
故选：D．
取特殊点P（0，2），P（0，-2），求出，利用排除法，可得结论．
本题考查圆与圆锥曲线的综合，考查特殊法的运用，属于中档题．
13.【答案】-10
【解析】解：∵向量，，，
∴=λ+6+4=0，
解得实数λ=-10．
故答案为：-10．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】-=1
【解析】解：设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，
则由题意可得，
3-1=m，
故m=2，
故双曲线方程为-=1．
故答案为：-=1．
由题意，设与双曲线有共同的渐近线的双曲线为：=m，m≠0，且m≠1，代入点解出m即可．
本题考查了双曲线的性质应用，双曲线方程的求法，属于基础题．
15.【答案】a≤3
【解析】解：命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，
即a≤x2-2x在x∈[0，3]成立；
设f（x）=x2-2x，其中x∈[0，3]；
则f（x）=（x-1）2-1，
且当x=3时，f（x）取得最大值为f（3）=3，
所以实数a的取值范围是a≤3．
故选：a≤3．
根据命题∃x∈[0，3]，使x2-2x-a≥0为真命题，得出不等式a≤x2-2x在x∈[0，3]成立；求出f（x）=x2-2x在x∈[0，3]内的最大值，即可求得实数a的取值范围．
本题考查了命题真假的应用问题，是基础题．
16.【答案】②③④
【解析】解：对于①，根据双曲线的定义知，当k的范围满足|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支，∴①错误；
对于②，令，解得＜t＜4，此时曲线表示焦点在y轴上的椭圆，∴②正确；
对于③，解方程2x2-5x+2=0，得x=或x=2；可作为椭圆的离心率，2可作为双曲线的离心率，∴③正确；
对于④，双曲线中，c==，焦点坐标为F1（-，0）、F2（，0）；
椭圆中，c′==，焦点坐标为F1′（-，0）、F2（，0
），
它们的焦点相同，∴④正确；
综上知，其中真命题的序号是②③④．
故答案为：②③④．
①根据双曲线的定义知|k|＜|AB|时方程表示双曲线的一支；
②根据方程表示焦点在y轴上的椭圆时求出t的取值范围即可；
③求出方程2x2-5x+2=0的两根，再判断两个根是否能作为椭圆的离心率和双曲线的离心率；
④分别求出双曲线和椭圆的焦点坐标，判断是否相同即可．
本题考查了圆锥曲线的定义与简单的几何性质问题，是基础题．
17.【答案】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，
所以，或，
所以，，或，
所以a≥3．
所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．
（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．
由x2-mx+4≥0，得，
则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．
实数m的取值范围（-∞，4]．
【解析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．
（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：（1）抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x=-，
∵|MF|=4，由抛物线的定义可得，
∴p=2．故所求抛物线方程为y2=4x；
（2）由（1）得p=2，焦点F（1，0），所以直线l的方程为y=x-1，
并设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y，得x2-6x+1=0，
所以x1+x2=6，
可得x1+x2+p=8，
所以|AB|=8．
【解析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义可得p的方程，求得p，即可得到所求抛物线方程；
（2）求得直线l的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）由题意得，=×（6+6.2+6.4+6.6+6.8+7）=6.5，
=×（80+74+73+70+65+58）=70；
则，
；
所以，
，
所以所求回归直线方程为．
（2）由题意可得，，
整理得P=-20（x-6.5）2+245，
当x=6.5时，P取得最大值为245；
所以要使收益达到最大，应将价格定位6.5元．
【解析】（1）由题意计算平均数和回归系数，即可写出回归直线方程；
（2）由题意写出收益函数P的解析式，求出P取最大值时对应的x值即可．
本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了计算与推理能力，是基础题．
20.【答案】解：（1）因为侧面AA1C1C是矩形，
所以AA1⊥AC，
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，
所以AA1⊥平面ABC．
（2）由（1）知AA1⊥AC，AA1⊥AB．
由题意知AB=2，AC=1，，
所以AB⊥AC，
如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A（0，0，0），B（0，2，0），，，
假设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，其中，，，
设（λ∈[0，1]），即（x1，y1-2，z1）═，
解得x1=λ，y1=2-2λ，，
所以．
若在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，
则，即，
得4-6λ=0，解得，
因为，
所以在线段BC1上存在一点D，使得AD⊥A1B，此时．
【解析】（1）由已知先证明AA1⊥AC，利用面面垂直的性质可证AA1⊥平面ABC．
（2）假设存在．设D（x1，y1，z1）是线段BC1上一点，且（λ∈[0，1]），求出，解得λ的值，即可求解．
本题主要考查了面面垂直的性质，空间向量的数量积的应用，考查空间想象能力以及计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．
（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．
（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2
满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，
记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，
基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），
（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，
利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．
【解析】（1）由面积和为1，可解得x的值；
（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；
（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率．
本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．
22.【答案】解：（1）由题意得，解得，
∴a2=2，b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程为；
（2）（ⅰ）设直线l为：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
由题意得，∴（1+2k2）x2+8kx+6=0，
∴△=8（2k2-3）＞0，即，
由韦达定理得：x1+x2=-，x1x2=，
∴，，
∴，∴，
∴直线OM与l的斜率乘积为定值．
（ⅱ）由（ⅰ）可知：，
令=t，则t＞0，
∴S△AOB==≤=，
当且仅当t=2时等号成立，此时k=±，且满足△＞0，
∴△AOB面积的最大值是，此时l的斜率为±．
【解析】（1）由题意得，解得即可求出方程，
（2）（i）设直线l为：y=kx+2，根据韦达定理和斜率公式即可求出，
（ii）先根据弦长公式求出|AB|，再令=t，表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求出．
本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，三角形的面积，弦长公式，基本不等式，属于中档题．