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- 2021-04-13 发布
文科数学试题
第Ⅰ卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.）
1.设集合，集合，则（ ）．
A． B． C． D．
2.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，是角终边上的一点，则的值为（ ）．
A．3 B． C． D．-3
3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则从高二年级抽取的学生人数为（ ）．
A．15 B．20 C．25 D． 30
4.已知实数满足不等式组，且的最小值为，最大值为，则（ ）．
A．15 B．16 C.17 D．18
5.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么（ ）．
A． B． C.4 D．13
6.已知向量的夹角为120°，且，则向量在向量方向上的投影为（ ）．
A． B． C. D．
7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．
A． B． C. D．
8.已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点. 是双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点.若，且，则双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C. D．
9.已知命题，使；命题，下列真命题的（ ）．
A． B． C. D．
10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上的两点，若为坐标原点，则的面积（ ）．
A． B． C. D．
11.为了得到，只需要将作如下变换（ ）．
A．向右平移个单位 B．向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D．向右平移个单位
12.若实数满足，则的最小值为（ ）．
A． B．2 C. D．8
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上．）
13.函数的单调递减区间是 ．
14.在中，且，则角的大小为 ．
15.已知直三棱柱（侧棱垂直于底面）的各顶点都在球的球面上，且，若三棱柱的体积等于，则球的体积为 ．
16.设数列的前项和为，且为常数列，则 ．
三、解答题（本大题共6个小题，第22、23题每题10分，其余各题每题12分，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 在锐角中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若函数的值域．
18. 已知长方体中，为的中点.
（1）在所给图中画出平面与平面的交线（不必说明理由）
（2）证明：平面；
（3）求点到平面的距离.
19.在平面直角坐标系中，直线截以原点为圆心的圆所得的弦长为
，
（1）求圆的方程；
（2）若直线与圆切于第一象限，且与坐标轴交于点，求的最小值及此时直线的方程.
20.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，经过椭圆的左顶点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点为线段的中点，，并且交椭圆与点，求的最小值.
21.设函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若是函数的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求；
（3）若对任意，都存在，使得成立产，求实数的取值范围.
22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线
的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，
（1）求曲线的普通方程，曲线的直角坐标方程；
（2）曲线与相交于两点，点，求的值.
23.设函数.不等式的解集为.
（1）求；
（2）当时，证明：.
试卷答案
一、选择题
1-5: ACAAAA 6-10: DCBDC 11、12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）∵，∴，
∴，
∴……………………8分
∵为锐角，∴；，∴…………………………10分
∴，∴函数的值域为……………………12分
18.（1）（2）略，（3）
19.（1）；（2）最小值为4，的直线方程为.
20.（1）；（2）；
21.（1）当时，有极小值，无极大值；
（2）（3）略.
22.（1）；
（2）
23.解：（1）原不等式等价于
或或，解得，∴…………………5分
（2）证明：当，即时，
要证：，即证，
∵，
∴………………………………………………10分