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- 2021-04-13 发布
天津市耀华中学2019～2020学年度高三年级第一学期第二次月考
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.若集合,集合,则图中阴影部分表示
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合表示元素的范围计算结果.
【详解】因为阴影部分是：；
又因为，所以或，所以或，所以，又因为，所以，
故选A.
【点睛】本题考查根据已知集合计算图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.
2.设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）．
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断充分性和必要性：当时，；当时，；
当时，，故不充分；当时，
，必要性，得到答案.
【详解】若，则
当时，；当时，；
当时，；故不充分；
当时，即
故，必要性；
故选：
【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.
3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，…．该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ）．
A. 1 B. 2019 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算部分数值，归纳得到，计算得到答案.
【详解】；；；…
归纳总结：
故
故选：
【点睛】本题考查了数列的归纳推理，意在考查学生的推理能力.
4.已知非零向量，满足 ，且 ，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量数量积定义以及向量垂直表示化简条件，解得夹角.
【详解】由已知可得，设的夹角为，则有
，又因为，所以，故选C.
【点睛】本题考查向量数量积定义以及向量垂直表示，考查基本求解能力.
5.设函数,则使成立的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A.
考点：抽象函数的不等式.
【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可．
【此处有视频，请去附件查看】
6.已知β为锐角，角α的终边过点（3，4），sin（α+β）＝，则cosβ＝（）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用任意角的三角函数的定义求得 sinα和cosα，再利用同角三角函数的基本关系求得cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosβ＝cos[（α+β）﹣α]的值．
【详解】β为锐角，角α的终边过点（3，4），∴sinα，cosα，sin（α+β）sinα，
∴α+β为钝角，∴cos（α+β），
则cosβ＝cos[（α+β）﹣α]＝cos（α+β） cosα+sin（α+β） sinα••，
故选B．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式的应用，属于基础题．
7.已知函数，若，且的最小值为，则（ ）．
A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 在上是增函数 D. 在上是减函数
【答案】D
【解析】
【分析】
化简得到，分别计算和时的单调性得到答案.
【详解】，
，且的最小值为，故
当时，，函数有增有减，故错误；
当时，，函数单调递减，故正确，错误；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数的最值，周期，单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
8.已知函数，若方程在上有3个实根，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和最值，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当时，，则不成立，
即方程没有零解.
当时，，即，则
设则由，得，此时函数单调递增；由，得，此时函数单调递减，所以当时，函数取得极小值；当时，；当时，；
当时，，即，则.设则由得（舍去）或，此时函数单调递增；由得，此时单调递减，所以当时，函数取得极大值；当时，当时，作出函数和的图象，可知要使方程在上有三个实根，则.
故选B.
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、填空题
9.若复数满足（为虚数单位），则______________．
【答案】
【解析】
由，得，则，故答案为.
10.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是
，那么这个三棱柱的体积是 .
【答案】
【解析】
试题分析：由球的体积公式，得，解得,所以正三棱柱的高h=2R=4．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：，得，所有该正三棱柱的体积为.
考点：1.球的体积；2.柱体的体积
11.已知的展开式中，的系数为，则常数的值为 ．
【答案】
【解析】
，所以由 得 ，从而
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
12.已知，，则的最小值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】
化简得到，再利用均值不等式计算得到答案.
详解】
当即时，等号成立.
故答案为：
【点睛】本题考查了均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力.
13.甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以的比分获胜的概率为______．
【答案】
【解析】
分析】
前三局，乙获胜一场，计算得到概率.
【详解】根据题意知：前三局，乙获胜一场，故
故答案为：
【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的理解应用能力.
14.在平行四边形中，，，，为的中点，若是线段上一动点，则的取值范围是________
【答案】
【解析】
分析：设，用表示出题中所涉及的向量，得出关于的函数，根据的范围，结合二次函数的性质求得结果.
详解：根据题意，设，则，结合二次函数的性质，可知当
时取得最小值，当时取得最大值，故答案是.
点睛：该题是有关向量的数量积的范围问题，在解题的过程中，需要提炼题的条件，将其转化为已知向量的数量积的问题，之后应用公式，求得关于的函数关系，之后转化为二次函数在某个闭区间上的值域问题来求解.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，b=2.
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且，求△ABD的面积.
【答案】（1）c=4（2）
【解析】
【分析】
（1）根据同角三角函数的基本关系式求得，由此求得的大小，利用余弦定理列方程，解方程求得.
（2）先求得三角形和三角形的面积比，再由三角形的面积，求得三角形的面积.
【详解】（1）由已知可得，所以.
在△ABC中，由余弦定理得，
即，解得c=-6（舍去），c=4.
（2）由题设可得，所以.
故△ABD与△ACD面积的比值为.
又△ABC的面积为，
所以△ABD的面积为.
【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.
16.如图，在三棱锥中，底面，．点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接、，证明平面平面得到答案.
（2）以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.
（3）设，则，，，利用夹角公式计算得到答案.
【详解】（1）取中点，连接、，∵为中点，∴，
∵平面，平面，∴平面．
∵为中点，∴，
又、分别为、的中点，∴，则．
∵平面，平面，∴平面．
又，平面，平面
∴平面平面，又平面，则平面．
（2）∵底面，．
∴以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系．
∵，，
∴，，，，，，
则，，设平面的一个法向量为，
由，得，取，得．
由图可得平面的一个法向量为．
∴．
∴二面角的余弦值为，则正弦值为．
（3）设，则，，．
∵直线与直线所成角的余弦值为，∴．
解得：或（舍）．
∴当与重合时直线与直线所成角的余弦值为，此时线段的长为4．
【点睛】本题考查了线面平行，二面角，异面直线夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
17.在平面直角坐标系中，已知、分别为椭圆的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且，若，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点和点代入椭圆方程计算得到答案.
（2）设直线的斜率为，直线的方程为，联立方程解得点坐标为
，点坐标为，根据计算得到答案.
详解】（1）∵椭圆经过点和点，∴，
∴解得，，，∴椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，∴直线的方程为，
∵由方程组，∴消去，整理得，
∴解得或，∴点坐标为．
由知，点在的中垂线上，又∵在直线上，∴点坐标为，
∴，，
若∵，∴，
∴解得，∴，∴直线的斜率．
【点睛】本题考查了求椭圆方程，直线的斜率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18.已知数列的前项和为，满足，且．正项数列满足，其前7项和为42．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；
（3）将数列，的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，，，，，，，，，，
，…，求这个新数列的前项和．
【答案】（1），；（2）；（3），
【解析】
【分析】
（1）是首项为，公差为等差数列，计算得到；化简得到，计算得到答案.
（2），，设，根据单调性得到，只需即可.
（3）讨论为偶数，和三种情况，分别计算得到答案.
【详解】（1），故是首项为，公差为的等差数列，故
，当时，，时满足，故
，则，即
前7项和，故
（2）
，即
易知函数，单调递增，故
（3）当为偶数时：
；
当时，；
当时，
故
【点睛】本题考查了数列的通项公式，前项和，恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
19.设函数．
（1）若不等式对恒成立，求的值；
（2）若在内有两个极值点，求负数的取值范围；
（3）已知，，若对任意实数，总存在正实数，使得成立，求正实数的取值集合．
【答案】（1）=；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）讨论，和三种情况，分别计算得到答案.
（2）求导得到，讨论，，三种情况，分别计算得到答案.
（3）在上是增函数，其值域为，若，则函数在上是增函数，值域为，记，则
根据得到答案.
【详解】（1）若，则当时，，，，不合题意；
若，则当时，，，，不合题意；
若，则当时，，，，
当时，，，，
当时，，满足题意，因此=．
（2），，
令，，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因此 点，在
（i）当时，，，在内至多有一个极值点．
（ii）当时，由于，所以，
而，，，
因此在上无零点，在上有且仅有一个零点，
从而上有且仅有一零点，在内有且仅有一个极值点．
（iii）当时，，，，
因此在上有且仅有一个零点，
从而在上有且仅有两个零点，在内有且仅有两个极值点．
综上所述，的取值范围为．
（3）因为对任意实数，总存在实数，使得成立，
所以函数的值域为．
在上是增函数，其值域为，
对于函数，，当时，，
当时，，函数在上为单调减函数，
当时，，函数在上为单调增函数．
若，则函数在上是增函数，在上是减函数，其值域为，又，不符合题意，舍去；
若，则函数在上是增函数，值域为，
由题意得，即 ①
记，则
当时，，在上单调减函数．
当时，，在上为单调增函数．所以，当时，有最小值，
从而恒成立（当且仅当时， ②
由①②得，，所以．
综上所述，正实数的取值集合为．
【点睛】本题考查了恒成立问题，存在性问题，极值点，意在考查学生对于函数和导数知识的综合应用.