- 1008.50 KB
- 2021-04-13 发布
高二摸底考试数学（理科)
一、单选题（每小题5分，共60分)
1．已知复数满足，则（ ）.
A． B．1 C． D．2
2．曲线y=在点（1，1）处的切线方程为( )
A．x-y-2=0 B．x+y-2=0 C．x+4y-5=0 D．x-4y-5=0
3．要证明，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（ ）.
A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法
4．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．用火柴棒按如图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为（ ）
A．401 B．201 C．402 D．202
6．的展开式中的系数为（ ）
A．10 B． C．5 D．
7．用数学归纳法证明不等式“（，）”的过程中，由推导时，不等式的左边增加的式子是（ ）
A． B．
C． D．
8．汽车以(单位：)作变速直线运动时，在第至第间的内经过的位移是( )
A． B． C． D．
9．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．
A．420 B．180 C．64 D．25
10．函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．我省5名医学专家驰援湖北武汉抗击新冠肺炎疫情现把专家全部分配到A，B，C三个集中医疗点，每个医疗点至少要分配1人，其中甲专家不去A医疗点，则不同分配种数为（ ）
A．116 B．100 C．124 D．90
12．已知函数在处有极值10，则的值为（ ）
A．， B．，或，
C．， D．以上都不正确
二、填空题（每小题5分，共20分)
13．已知，设，则_____.
14．已知随机变量X的分布列为，则等于________.
15．有一批种子的发芽率为，出芽后的幼苗成活率为，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为_____.
16．设函数，其中，若存在唯一的整数，使得
，则实数的取值范围是__________．
三、解答题（共70分，需写出必要的证明过程和演算步骤。)
17．（10分）已知等差数列，若，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设，求数列的前项和．
小组
甲
乙
丙
丁
人数
12
9
6
9
18．（12分）4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学生参加问卷调查．各组人数统计如右：
（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；
（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数学期望．
19．（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知的面积.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，，求的取值范围.
20．（12分，若没有作出必要的辅助线或坐标系则不给分！）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面底面，为的中点，是棱的中点，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的大小.
21．（12分）设椭圆的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值．
22．（12分）已知两数．
（1）当时，求函数的极值点；
（2）当时，若恒成立，求的最大值．
高二数学参考答案
1．A
2．B
3．B
4．D
5．B
6．B
7．D
8．C
9．B
10．B
11．B
12．A
13．
【详解】
解：在中，令，
可得，
再令，
可得.
所以.
故答案为：.
14．
【详解】
，，解得a=5，
则.
故答案为：．
15．
【详解】
设“种子发芽成功”，“种子能成长为幼苗”.根据题意知，
故由知，
又由，故，
即这粒种子能成长为幼苗的概率为.
故答案为：
16．
【详解】
设，，由题设可知存在唯一的整数，使得在直线的下方，因为，故当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故，而当时，，，故当且，解之得
故答案为：．
17．（Ⅰ）或（Ⅱ）
【详解】
解：（Ⅰ）∵，∴①
∵，，成等比数列，∴，∴化简得，
若，
若，②，由①②可得，，
所以数列的通项公式是或
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
∴
18．（1）（2）见解析，
【详解】
（1）由题设易得，问卷调查从四个小组中抽取的人数分别为4，3，2，3（人），
从参加问卷调查的12名学生中随机抽取两名的取法共有（种），
抽取的两名学生来自同一小组的取法共有（种），
所以，抽取的两名学生来自同一个小组的概率为
（2）由（1）知，在参加问卷调查的12名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为4人、2人，所以，抽取的两人中是甲组的学生的人数的可能取值为0，1，2,
因为
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
所求的期望为
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
解：（Ⅰ） .
因此，又，所以.
（Ⅱ），
由正弦定理，知.
因为，
所以.
20．（1）证明见解析；（2）
【详解】
（1）证明：∵，，为的中点，
∴四边形为平行四边形，∴.
∵，∴，即.
又∵平面平面，且平面平面，平面，∴平面.
∵平面，平面平面.
（2）解：由（1）可知，，两两互相垂直，以为坐标原点，以
的方向为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，.
设平面的一个法向量为，
则
令，得.
取平面的法向量，记二面角为，
则.
由图可知为钝角，所以二面角的大小为.
21．（1）；（2）6
详解：（1）依题意，，
因为，所以，所以椭圆方程为；
（2）设 ，则由，可得，
即，，，
又因为，所以四边形是平行四边形，
设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.
22．（1）唯一的极大值点1，无极小值点．（2）1
【详解】
解：（1）定义域为，当时，
，
令得，当
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以有唯一的极大值点，无极小值点．
（2）当时，．
若恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
令，则，由题意，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以
所以，
所以，
故的最大值为1．