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- 2021-04-13 发布
2019学年第一学期期末联考
高二理科 数学试卷
【完卷时间：120分钟 满分：150分】
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是无理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
2．已知集合A＝，B＝，则A∩B等于( )
A．[1,3] B．[1,5] C．[3,5] D．[1，＋∞)
3. 如图，边长为的正方形内有一内切圆．在正方形内随机投掷一个点，则该点落到圆内的概率是（ ）
A． B． C． D．
4. “”是“方程”表示椭圆的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A.（-，0） B．（-4，0） C．（0，-） D．（0，-2）
6．设向量，若，则实数的值为（ ）
A．0 B.4 C.5 D.6
7. 已知，则（ ）
A． B． C．
9
D．
8．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得
该几何体的表面积为( )
A．9π B．10π C．11π D．12π
9. 如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10. 已知双曲线:的左焦点为，圆M的圆心在Y轴正半轴，半径为，若圆M与双曲线的两条渐近线相切且直线M与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900，点D1和F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
12. 抛物线（＞）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足．过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
第Ⅱ卷 共90分
二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.
13．若实数x, y满足，则的最小值为______．；
14. 已知命题：是真命题，则实数的取值范围为
9
15. 若的个顶点坐标、，的周长为，则顶点C轨迹方程为
16. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列给出四个命题：
(1)四边形ABC1D1的面积为 (2)的夹角为60°；(3)；
则正确命题的序号是______．(填出所有正确命题的序号)
三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过演算步骤.
17．（本题满分10分）
设命题实数满足，；
命题实数满足
（1）若，为真命题，求的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（本小题满分12分）
在中，角A，B，C的对边分别为
(1)求的值；
(2)若的面积．
19．(本小题满分12分）
已知双曲线的的离心率为，则
（Ⅰ）求双曲线C的渐进线方程。
（Ⅱ）当时，已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.
20．（本小题满分12分）
9
已知公差不为0的等差数列的前三项和为6，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求使的的最大值．
21．(本小题满分12分)
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点．
（1）求证：AB1⊥平面A1BD；
（2）求锐二面角A－A1D－B的余弦值；
22．（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆：的左、右焦点分别为，右顶点为,上顶点为,若成等比数列，椭圆上的点到焦点的最短距离为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为直线上任意一点，过的直线交椭圆于点，且，求的最小值．
9
福州市八县（市）协作校2017—2019学年第一学期期末联考
高二理科数学参考答案
一、选择题（每题5分，满分60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
C
A
B
D
B
A
D
A
A
C
D
二、填空题（每小题5分, 共20分）
13．-15 14. （-2，2） 15. 16. (1) (3) (4)
三、解答题：
17．(本小题满分10分)
解：由题意得，当为真命题时：当时，；
当为真命题时：． ---------3分
（I）若，有，
则当为真命题，有，得． ------ 6分
（II）若是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件，
则， 得．---------10分
18．(本小题满分12分)
解：⑴因为，所以．…………2分
所以．………………3分
所以………………6分
⑵因为，所以． ………………………8分
又因为，所以． …………………10分
9
所以 …………………12分
19．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由题意，得，
∴，即
∴所求双曲线的渐进线方程 ………………5分
（Ⅱ） 由（1）得当时, 双曲线的方程为.……6分
设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
由得（判别式）,
∴,…………10分
∵点在圆上,∴，∴.……12分
（本题学生用“点差法”也给分）
20 (本小题满分12分)
解：(1)设等差数列的首项为,公差为，依题意可得
.......................................3分
.......................................6分
(2) 由（1）可得
............................10分
9
...................................12分
21(本小题满分12分)
法一：(1)取中点，连结．
为正三角形，．
正三棱柱中，平面平面，
平面．BD----------------2分
连结，在正方形中，分别为的中点，
，则BD⊥面AOB1 -------------------------4分
．在正方形中，，
平面．----------------------6分
法二：解：(1)取BC中点O，连结AO．
∵△ABC为正三角 形，∴AO⊥BC．
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC⊥平面 BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1．......2分
取B1C1中点O1，以O为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系
O-xyz，如图所示，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，
A1(0，2，)，A(0，0，)，B1(1，2，0)，
∴．.....4分
∴
∴，∴AB1平面A1BD．..............6分
(2)设平面A1AD的法向量为．
＝(－1，1，－)，＝(0，2，0)．
9
∵，
∴................8分
令z＝1得n＝(－，0，1)为平面A1AD的一个法向量．
由(1)知AB1⊥平面A1BD，为平面A1BD的法向量．.............10分
．
∴锐二面角A－A1D－B的大小的余弦值为．..............12分
22(本小题满分12分)
解：（1）易知，，
而又，得，
故椭圆的标准方程为 ........................5分
（2）由（1）知，∵，故，设，
∴，直线的斜率为，
当时，直线的斜率为，直线的方程为；
当时，直线的方程为，也符合方程．.....................8分
设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得
消去，得：，，，
9
当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值为． ........................12分
9