【数学】2020届一轮复习（文）通用版7-4基本不等式作业 4页

课时跟踪检测（四十四） 基本不等式 ‎1．(2019·长春调研)“a>0，b>0”是“ab<2”的(　　)‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选D　当a>0，b>0时，≥，即ab≤2，当a＝b时，ab<2不成立，故“a>0，b>0”不是“ab<2”的充分条件．当ab<2时，a，b可以异号，故a>0，b>0不一定成立，故“a>0，b>0”不是“ab<2”的必要条件．故“a>0，b>0”是“ab<2”的既不充分也不必要条件，故选D.‎ ‎2．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，则xy(　　)‎ A．有最大值为1 B．有最小值为1‎ C．有最大值为 D．有最小值为 解析：选C　因为x>0，y>0，x＋2y＝2，‎ 所以x＋2y≥2，即2≥2，xy≤，‎ 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝时，等号成立．‎ 所以xy有最大值，且最大值为.‎ ‎3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)‎ A． B．2‎ C．2 D．4‎ 解析：选C　因为＋＝，所以a>0，b>0，‎ 由＝＋≥2 ＝2 ，‎ 所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，‎ 所以ab的最小值为2.‎ ‎4．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是 ‎(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ 解析：选B　由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号，故m＋n的最小值为4.‎ ‎5．(2019·长春质量监测)已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)‎ A．8 B．9‎ C．12 D．16‎ 解析：选B　由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)·＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.‎ ‎6．若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值为(　　)‎ A． B． C． D．2‎ 解析：选D　30＝4x2＋9y2＋3xy≥2＋3xy，‎ 即30≥15xy，所以xy≤2，‎ 当且仅当4x2＝9y2，即x＝，y＝时等号成立．‎ 故xy的最大值为2.‎ ‎7．设x>0，则函数y＝x＋－的最小值为(　　)‎ A．0 B． C．1 D． 解析：选A　y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.‎ ‎8．已知x>1，y>1，且log2x，，log2y成等比数列，则xy有(　　)‎ A．最小值 B．最小值2‎ C．最大值 D．最大值2‎ 解析：选A　∵x>1，y>1，∴log2x>0，log2y>0.又∵log2x，，log2y成等比数列，∴ ‎＝log2x·log2y，∴由基本不等式，得log2x＋log2y≥2＝，当且仅当log2x＝log2y时取等号，故log2(xy)≥，即xy≥.选A.‎ ‎9．当3＜x＜12时，函数y＝的最大值为________．‎ 解析：y＝＝ ‎＝－＋15≤－2 ＋15＝3，‎ 当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3.‎ 答案：3‎ ‎10．(2018·南昌摸底调研)已知函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，则正数m的值为________．‎ 解析：∵x>2，m>0，∴y＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝2＋2，当x＝2＋时取等号，又函数y＝x＋(x>2)的最小值为6，∴2＋2＝6，解得m＝4.‎ 答案：4‎ ‎11．(2018·天津高考)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．‎ 解析：∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6.‎ ‎∴2a＋＝2a＋2－3b≥2 ‎＝2＝2＝2×2－3＝.‎ 当且仅当即时等号成立．‎ 答案： ‎12．(2018·聊城一模)已知a>0，b>0,3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．‎ 解析：由a>0，b>0,3a＋b＝2ab，得＋＝1，‎ 所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋.‎ 答案：2＋ ‎13．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度 x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝ ‎(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？‎ ‎(2)已知A，B两地相距120 km，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？‎ 解：(1)当x∈[50,80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，‎ 所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.‎ 当x∈[80,120]时，函数y＝12－单调递减，故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.‎ 因为9<10，所以当x＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h时，可使得每小时耗油量最少．‎ ‎(2)设总耗油量为l L，由题意可知l＝y·，‎ ‎①当x∈[50,80)时，l＝y·＝≥＝16，‎ 当且仅当x＝，即x＝70时，l取得最小值，最小值为16；‎ ‎②当x∈[80,120]时，l＝y·＝－2为减函数，‎ 所以当x＝120时，l取得最小值，最小值为10.‎ 因为10<16，所以当速度为120 km/h时，总耗油量最少．‎