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- 2021-04-13 发布
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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷
理科数学（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数(是虚数单位)，则的实部为（ ）
A． B． C． D．
2．准线为的抛物线标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在上可导，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．若向量与向量的夹角的余弦值为，则（ ）
A． B． C． D．
5．“”是“一元二次方程有实数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．设正项等比数列中的，是函数的极值点，
则等于（ ）
A． B． C． D．
7．椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，则说真话的人是（ ）
A．甲、乙 B．甲、丙 C．乙、丁 D．乙、丁
9．如图在复平面内，复数，对应的向量分别是，，若，则的
共轭复数（ ）
A． B． C． D．
10．已知命题:函数在上单调递减，命题:函数是偶函数，则下列命题中真命题的是（ ）
A． B． C． D．
11．设，分别为双曲线的两个焦点，、是双曲线的一条渐近线上的两点，四边形为矩形，为双曲线实轴的一个顶点，若的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．计算 ．
14．若命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
15．函数在区间上最大值与最小值的和为 ．
16．在长方体中，，，是线段上一点，
且，则点到平面的距离为 ．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知过抛物线焦点的弦的长为，求该弦所在的直线方程．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）设函数在及时取得极值．
（1）求，的值；
（2）求函数在上的最大值与最小值之差．
20．（12分）设命题:函数的定义域为；命题:，使得．如果“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．
21．（12分）如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于轴的直线与椭圆相交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围．
2019-2020学年上学期高二期末考试备考精编金卷
理科数学（B）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】∵，∴的实部为．
2．【答案】A
【解析】准线为的抛物线标准方程是，故选A．
3．【答案】B
【解析】由于，∴，
因此在上单调递减，∴，即，故答案为B．
4．【答案】A
【解析】向量与向量的夹角的余弦值为，
∴，解得．
5．【答案】A
【解析】“一元二次方程有实数解”的充要条件是，
而；但，故选A．
6．【答案】B
【解析】∵，是函数的极值点，
∴，是方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得，故．
7．【答案】A
【解析】方程化为，则长轴长为，短轴长为，
则，，故选A．
8．【答案】B
【解析】如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符，
所以乙说假话，小偷不是丙，同时丁说的也是假话．
即甲、丙说的是真话，小偷是乙，故选B．
9．【答案】A
【解析】由题意知，，故，
即，∴，故选A．
10．【答案】A
【解析】命题中，因为函数在上为减函数，
所以函数在上为减函数，所以是真命题；
命题中，设，则，，
所以函数是偶函数，所以是真命题，所以是真命题，故选A．
11．【答案】D
【解析】设，根据矩形的性质，得，
即，则，所以．
因为的面积为，所以，所以，
所以，所以，故选D．
12．【答案】B
【解析】令，∴．
∵，
令，即当时， ，为增函数；
当时，，为减函数，
∴在区间，上，．
∵函数在区间，上为增函数，画出草图可知，
在区间上，与有一个交点，在上没有交点．
即的零点个数是．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】
【解析】．
14．【答案】
【解析】因为命题“，”是假命题，
所以，为真命题，即，∴，
故答案为．
15．【答案】
【解析】∵，
由得极值点为，，
计算得，，，，
故函数在区间上最大值与最小值的和为．
16．【答案】
【解析】以，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
由，则，∴，，，
设平面的法向量为，
由，得，可取，
∴点到平面的距离为．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】或．
【解析】∵过焦点的弦长为，∴弦所在的直线的斜率存在且不为零，
故可设弦所在直线的斜率为，且与抛物线交于，两点．
∵抛物线的焦点为，∴直线方程为，
联立抛物线有，整理得，
∴，∴．
又，∴，∴．
∴所求直线方程为或．
18．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：取中点，连接，，
，分别是，的中点，∴，，
，，∴，，
四边形是平行四边形，∴，
底面，∴，
∵，，
，∴面，∴，∴．
（2）以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，
由，令，则，即，
易知平面的一个法向量，
设二面角的大小为，则．
19．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），
因为函数在及时取得极值，∴，，
即，解得，，经检验满足题意．
（2）由（1）可知，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，当时，取得极大值；
当时，取得极小值，
又，，
∴当时，的最大值为，的最小值为，
故函数在上的最大值与最小值之差为．
20．【答案】．
【解析】∵当命题为真命题时，函数的定义域为，
∴恒成立，得，解得；
当命题为真命题时，，解得或，
∵“或”为真命题，且“且”为假命题，
∴命题与命题一真一假．
若真假，则；
若假真，得，则或，
综上所述，实数的取值范围是．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：由已知得，取得中点，连接，，
∵为的中点，∴，．
又，故，，
∴四边形为平行四边形，∴．
因为平面，平面，所以平面．
（2）取的中点，连接．
由得，从而，
且．
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意知，，，，
∴，，．
设为平面的法向量，则，即，
可取．于是，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，所以，即．
又以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，
所以，所以，，故椭圆的方程为．
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立椭圆有，∴．
由，得．
设，，则，．
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴的取值范围是．