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- 2021-04-13 发布
2019-2020学年度第一学期期中考试试题
高二（数学）
一、选择题（每小题5分，共60分。）
1.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝1，c＝2，B＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用三角形面积公式求解其面积即可.
【详解】由三角形面积公式得得面积.
本题选择A选项.
【点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
2.下列四个数中，哪一个是数列{}中的一项 （ ）
A. 380 B. 39 C. 35 D. 23
【答案】A
【解析】
【详解】因为数列{}，那么将四个选项代入,可知,其他选项中的数值都不能用相邻两个整数的积表示，选A.
3.直角坐标系内的一动点，运动时该点坐标满足不等式，则这个动点的运动区域(用阴影表示)是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合所给的不等式首先确定其所表示的区域，然后结合选项确定正确选项即可.
【详解】由题意可知，表示直线上方的区域，结合所给的选项，只有A选项符合题意.
故选：A.
【点睛】本题主要考查不等式所表示的平面区域的确定，属于基础题.
4.等差数列{an}中，若a2+a4+a9+a11=32，则a6+a7=" ( " )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等差数列通项性质即可得出．
【详解】解：∵{an} 是等差数列，∴a2+a11＝a4+a9＝a6+a7．
∵a2+a4+a9+a11＝32，∴a6+a7＝16．
故选：D．
【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．
5.已知是等比数列，，则公比=（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.
【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.
故选：D.
【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.
6.若且，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：因为，那么利用不等式的性质可知，当c等于零时，选项B，C不成立。又 时，A不成立，而选项D，符合可加性成立，选D。
7.在数列中，=1，，则的值为（ ）
A. 99 B. 49 C. 101 D. 102
【答案】C
【解析】
因为所以数列是以首项为1，公差是2的等差数列，
=
8.已知，函数的最小值是 （ ）
A. 5 B. 4 C. 8 D. 6
【答案】B
【解析】
本题考查均值不等式求函数最值。
由均值不等会死，，当且仅当时不等式取，故选B。
9.若的三个内角满足，则（ ）
A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形
C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】
由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.
【详解】由，可得出，
设，则，，则角为最大角，
由余弦定理得，则角钝角，
因此，为钝角三角形，故选：C.
【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
10.一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）
A. 63 B. 108 C. 75 D. 83
【答案】A
【解析】
试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.
考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.
11.在中，，则此三角形解的情况是( )
A. 一解 B. 两解 C. 一解或两解 D. 无解
【答案】B
【解析】
由题意知，，，，∴，如图：
∵，∴此三角形的解的情况有2种，故选B．
12.已知则的最小值是 ( )
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合均值不等式的结论即可求得的最小值，注意等号成立的条件.
【详解】由题意可得：
，
当且仅当时等号成立.
即的最小值是.
故选：C.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
二、填空题（每小题5分，共20分。）：
13.已知{ an }是各项为正数的等比数列，且a1 = 1，a2 + a3 = 6，则数列{ an }前10项的和S10= ；
【答案】1023
【解析】
【分析】
根据题意，设等比数列{an}的公比为q，由等比数列的性质可得q+q2＝6，解可得q＝2或﹣3，分析可得q的值，结合等比数列的前n项和公式计算可得答案．
【详解】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a1＝1，a2+a3＝6，则q+q2＝6，
解可得q＝2或﹣3，
又由{an}是各项为正数的等比数列，则q＝2，
则S101023；
故该数列前10项的和S10＝1023．
【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键求出等比数列的公比．
14.不等式解集是______
【答案】
【解析】
【分析】
首先将所给不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.
【详解】题中所给的不等式即：，，
该不等式等价于：，
求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.
故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法 ，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15.设满足约束条件,则的最大值为___
【答案】7
【解析】
此题考查线性规划知识;此类题目有两种做法：一是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后找出直线，然后平移求解；二是根据已知条件画出不等式所表示的平面区域，然后把平面区域的边界交点坐标求出，然后把坐标往目标函数代入计算，大的就是最大值，小的就是最小值；此不等式组所表示的平面区域如图阴影所示，
把分别代入目标函数可知，当过点（3，-2）时，目标函数最大且7；
16.在一幢10米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是 .
【答案】米.
【解析】
【分析】
由题意，AB＝10米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可先在直角三角形ABC中求出BC，再由AD⊥CE，得出DC，AD的长度，再求出DE即可得出塔吊的高度．
【详解】解：由题意，AB＝10米，∠DAE＝60°，∠DAC＝45°，可知ABCD是正方形，由此易得CD＝AD＝10米
再由，∠DAE＝60°，在直角三角形ADE中可求得DEAD＝10
∴塔高为DE+CD＝10+10
故答案为：米
【点睛】
本题考查已知三角函数模型的应用问题，解答本题的关键是建立起符合条件的模型，然后再由三角形中的相关知识进行运算，解三角形的应用一般是求距离（长度问题，高度问题等）解题时要注意综合利用所学的知识与题设中的条件，求解三角形的边与角．
三、解答题：（写出必要的解题步骤）
17.在△ABC中，∠A=600，∠C=450，b=2, 解这个三角形.
【答案】，，.
【解析】
【分析】
由题意首先求得∠B的大小，然后利用正弦定理解三角形即可.
【详解】由题意可得：，
结合正弦定理可得：
，.
【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，两角和差正余弦公式及其应用等知识，属于中等题.
18.（1）在△ABC中，求证：c(acosB-bcosA)=a2-b2；
（2）比较（a+3）（a-5）与（a+2）（a-4）的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
(1)由题意利用余弦定理角化边，然后整理变形即可证得题中的等式即可；
(2)由题意利用作差法比较两个代数式的大小即可.
【详解】(1)由余弦定理：，
则等式左侧
=等式右侧，
题中的等式得证.
(2)利用作差法：
，
.
【点睛】本题主要考查余弦定理证明三角恒等式的方法，作差法比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知数列的通项公式，数列的前项和为.
（1）求，；
（2）求的最小值以及取得最小值时n的值.
【答案】（1），4；（2）最小值为，此时或3
【解析】
【分析】
(1)由数列通项公式求解，的值即可；
(2)由题意首先求得前n项和，然后结合前n项和公式即可确定的最小值以及取得最小值时n的值.
【详解】(1)由数列的通项公式可得：；
(2)由通项公式可得：，
由数列的前n项和可得：,
关于的函数开口向上，对称轴为，
据此可得，当或时前n项和取得最小值，其最小值为：.
【点睛】本题主要考查由通项公式确定数列中的项的方法，等差数列前n项和公式及其应用，前n项和的最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知数列的前项和为
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和
试题解析：（1）当时，
当时，也适合时，
∴
（2），
∴
考点：数列求通项及分组求和
21.已知不等式ax2+3ax+1>0，
(1) 若不等式的解集是{x|-4