【数学】2020届一轮复习人教B版欲证不等恒成立，结论再造是利器学案 5页

【题型综述】 利用导数解决不等式恒成立问题的策略： 利用导数证明不等式，解决导数压轴题，谨记两点： （Ⅰ）利用常见结论，如： ，  ln 1x x  ， 等； （Ⅱ）利用同题上一问结论或既得结论． 【典例指引】 例 1．已知 21 7( ) ln , ( ) ( 0)2 2f x x g x x mx m     ，直线l 与函数 ( ), ( )f x g x 的图像都相切，且与函数 ( )f x 的图像的切点的横坐标为 1． （I）求直线l 的方程及 m 的值； （II）若 ( ) ( 1) '( )( )h x f x g x   其中g'(x)是g(x)的导函数 ，求函数 ( )h x 的最大值． （III）当 0 b a  时，求证： ( ) (2 ) .2 b af a b f a a    当x=0时 ， ( )h x 取最大值，其最大值为2． （III） ( ) (2 ) ln( ) ln 2 ln ln(1 ).2 2 a b b af a b f a a b a a a          0 , 0, 1 0.2 2 Q b a a b a b a a          证明，当 ( 1,0)x   时， ln(1 ) , ln(1 ) .2 2 b a b ax x a a       ( ) (2 ) .2 b af a b f a a     & 例 2．设函数    ln 1f x a x  ，   1xg x e  ，其中 aR， 2.718e  …为自然对数的底数． （Ⅰ）当 0x  时，    f x g x 恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： 101095 2000 1000 1791e  (参考数据： ln1.1 0.095 )． 【思路引导】 （ 1 ） 先 构 造 函 数         1 ln 1 0xH x g x f x e a x x       ， 再 对 其 求 导 得 到    01 x aH x e xx     然后分 1a  和 1a  两种情形分类讨论进行分析求解：（2）借助（1）的结论， 当 1a  时，  1 ln 1xe x   对 0x  恒成立， 再令 1 10x  ，得到 1 10 10951 ln1.1 1.095 1000e     即 10 1095 1000e  ； 又由(Ⅰ)知，当 1a  时，则  H x 在 00 x， 递减，在 0x  ， 递增，则    0 0 0H x H  ， 即  0 01 ln 1 0xe a x    ， 又  0 0H x  ， 即 0 0 1 x ae x   ， 令 1 1011 110a e  ， 即 0 1 10x  ， 则 1 10 1 2000 1 1.1ln1.1 1791e   ，故有 101095 2000 1000 1791e  ． 点评：解答本题的第一问时，先构造函数         1 ln 1 0xH x g x f x e a x x       ，再对其求导 得到    01 x aH x e xx     然后分 1a  和 1a  两种情形分类讨论进行分析求解；证明本题的第二问 时 ， 充 分 借 助 （ 1 ） 的 结 论 及 当 1a  时 ，  1 ln 1xe x   对 0x  恒 成 立 ， 令 1 10x  ， 得 到 1 10 10951 ln1.1 1.095 1000e     即 10 1095 1000e  ； 进而由(Ⅰ)知，当 1a  时，则  H x 在 00 x， 递减，在  0x  ， 递增，则    0 0 0H x H  ，即  0 01 ln 1 0xe a x    ，又  0 0H x  ，即 0 0 1 x ae x   ，令 1 1011 110a e  ，即 0 1 10x  ，则 1 10 1 2000 1 1.1ln1.1 1791e   ，故有 101095 2000 1000 1791e  ．从而使得问题巧妙 获证．& 例 3．设 ． （l）若 对一切 恒成立，求 的最大值； （2）是否存在正整数 ，使得 对一切正整数 都成立？若存在，求 的最小值； 若不存在，请说明理由． 【思路引导】 （1）即在 时， ，从而求的参数 的范围， ，所以函数 ，所 以 ．（2）由（1）可知当 时， 即 ，取 ， ，得 ， 即 ．累加可证到 ．所以 ． （2）设 ， 则 ，令 得 ． 在 时 ， 递减；在 时 ， 递增． ∴ 最小值为 ，故 ， 取 ， ， 得 ，即 ．& 累加得 ． ∴ ． 故存在正整数 ，使得 ． 当 时，取 ，有 ，不符合．故 ．&