吉林省扶余市第一中学2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题（理） 18页

www.ks5u.com 扶余一中2018〜2019学年度下学期期末考试 高一数学（理科）‎ 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.在等差数列中，若，则（ ）‎ A. 8 B. 12 C. 14 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.‎ ‎【详解】设等差数列的首项为，公差为，‎ 则由，，得解得，，‎ 所以．故选C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式.‎ ‎2.在中，角的对边分别是，若，则（ ）‎ A. 5 B. C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知两边及夹角，可利用余弦定理求出。‎ ‎【详解】由余弦定理可得：，‎ 解得故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决。‎ ‎3.若，则的大小关系为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差比较法判断得解.‎ ‎【详解】①，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故.‎ ‎②∵，‎ ‎∴，‎ 所以a＞ab.‎ 综上，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查作差比较法比较实数的大小，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将分式去分母，左右两边同乘分母的平方（注意分母不为零），然后求解一元二次不等式的解集即可.‎ ‎【详解】由题意知解得，‎ 故不等式的解集为．故选B．‎ ‎【点睛】求解分式不等式时，在去分母的同时一定要注意对分母不为零的限定.‎ ‎5.在中，角的对边分别是，若，则角的大小为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过给定条件直接利用正弦定理分析，注意讨论多解的情况.‎ ‎【详解】由正弦定理可得：，，∵，‎ ‎∴为锐角或钝角，∴或．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中正弦定理的应用，难度较易.出现多解时常借助“大边对大角，小边对小角”来进行取舍.‎ ‎6.若变量，且满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A. 15 B. 12 C. 3 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，采用平移直线法判断何处取到最大值.‎ ‎【详解】画出可行域如图阴影部分，‎ 由得，目标函数图象可看作一条动直线，‎ 由图形可得当动直线过点时，．故选A．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划中线性目标函数最值的计算，难度较易.求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法是最常规的.‎ ‎7.在数列中，若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用倒数法构造等差数列，求解通项公式后即可求解某一项的值.‎ ‎【详解】∵，∴，即，‎ 数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，‎ 即，∴．故选C．‎ ‎【点睛】对于形如，可将其转化为 的等差数列形式，然后根据等差数列去计算.‎ ‎8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.‎ ‎【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，‎ 在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．‎ 因为，解得，，解得．故选B．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.‎ ‎9.在钝角中，角的对边分别是，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知求出b的值，再求三角形的面积.‎ ‎【详解】在中，，‎ 由余弦定理得：，‎ 即，‎ 解得：或.‎ ‎∵是钝角三角形，∴（此时为直角三角形舍去）.‎ ‎∴面积为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎10.若不等式对一切恒成立，则实数的最大值为（ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值.‎ ‎【详解】因为不等式对一切恒成立，‎ 所以对一切，，即恒成立．‎ 令．‎ 易知在内为增函数．‎ 所以当时，，所以的最大值是．故选C．‎ ‎【点睛】常见的求解参数范围的方法：‎ ‎（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）；‎ ‎（2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.‎ ‎11.在等差数列中，若，且它的前项和有最大值，则使成立的正整数的最大值是（　　）‎ A. 15 B. 16 C. 17 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，且，由等差数列的性质和求和公式可得结论．‎ ‎【详解】∵等差数列的前项和有最大值，‎ ‎∴等差数列为递减数列，‎ 又，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴成立的正整数的最大值是17，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，涉及等差数列的求和公式，属中档题．‎ ‎12.在中，角的对边分别为，若，则的最小值是（ ）‎ A. 5 B. 8 C. 7 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简条件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根据等式利用基本不等式求解最小值.‎ ‎【详解】由，得，‎ 化简整理得，，‎ 即，当且仅当，即时，取等号．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查正、余弦定理在边角化简中的应用，难度一般.对于利用基本不等求最值的时候，一定要注意取到等号的条件.‎ 二、填空题。‎ ‎13.已知等差数列，的前项和分别为，，若，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的性质以及等差数列奇数项之和与中间项的关系进行化简求解.‎ ‎【详解】因为是等差数列，所以，又因为为等差数列，所以，故．‎ ‎【点睛】（1）在等差数列中，若，‎ 则有；‎ ‎（2）在等差数列.‎ ‎14.甲船在岛的正南处， ，甲船以每小时 的速度向正北方向航行，同时乙船自出发以每小时的速度向北偏东的方向驶去，甲、乙两船相距最近的距离是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件画出示意图，在三角形中利用余弦定理求解相距的距离，利用二次函数对称轴及可求解出最值.‎ ‎【详解】假设经过小时两船相距最近，甲、乙分别行至，，‎ 如图所示，可知，，，‎ ‎．‎ 当小时时甲、乙两船相距最近，最近距离为．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的实际应用，难度较易.关键是通过题意将示意图画出来，然后将待求量用未知数表示，最后利用函数思想求最值.‎ ‎15.若，且，则的最小值是______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.‎ ‎【详解】因为（即 取等号），‎ 所以最小值为.‎ ‎【点睛】已知，求解（ ）的最小值的处理方法：利用 ‎，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.‎ ‎16.已知单调递减数列的前项和为，，且，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，再写出一个等式：，利用两等式判断并得到等差数列的通项，然后求值.‎ ‎【详解】当时，，∴．‎ 当时，，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得，‎ 化简得，或，‎ ‎∵数列是递减数列，且，∴舍去．‎ ‎∴数列是等差数列，且，公差，‎ 故．‎ ‎【点睛】在数列中，其前项和为，则有：，利用此关系，可将 与的递推公式转化为关于的等式，从而判断的特点.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知. ‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据求解一元二次不等式的方法直接求解；（2）根据一元二次不等式的解就是对应一元二次方程的根这一特点列方程求解.‎ ‎【详解】解：（1），解得．‎ ‎∴不等式的解集为．‎ ‎（2）∵的解集为，‎ ‎∴方程的两根为0，3，‎ ‎∴解得 ‎∴，的值分别为3，12．‎ ‎【点睛】（1）对于形如的一元二次不等式，解集对应的形式是：“两根之内”；若是，解集对应的形式是：“两根之外”；‎ ‎（2）一元二次不等式解集的两个端点值，是一元二次方程的两个解同时也是二次函数图象与轴交点的横坐标.‎ ‎18.在中，角的对边分别为，且. ‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用正弦定理角化边，然后根据余弦定理求角；（2）利用余弦定理以及基本不等式求解最值，注意取等号的条件.‎ ‎【详解】解：（1）由正弦定理得，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴．又∵，∴． ‎ ‎（2）由余弦定理得，即，‎ 化简得，‎ ‎，‎ 即，‎ 当且仅当时，取等号．‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】在三角形中，已知一角及其对边，求解周长或者面积的最值的方法：未给定三角形形状时，直接利用余弦定理和基本不等式求解最值；给定三角形形状时，先求解角的范围，然后根据正弦定理进行转化求解.‎ ‎19.在中，角所对的边分别为，，，，为的中点. ‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）在中分别利用余弦定理完成求解；（2）在中利用正弦定理求解的值.‎ ‎【详解】解：（1）在中，由余弦定理得，‎ ‎∴，解得 ‎∵为的中点，∴．‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎（2）在中，由正弦定理得，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查解三角形中的正余弦定理的运用，难度较易.对于给定图形的解三角形问题，一定要注意去结合图形去分析.‎ ‎20.已知等比数列的公比，前项和为，且. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列出等式，求解公比后即可求解出通项公式；（2）错位相减法求和，注意对于“错位”的理解.‎ ‎【详解】解：（1）由，得，则 ‎∴，‎ ‎∴数列的通项公式为．‎ ‎（2）由，‎ ‎∴，①‎ ‎，②‎ ‎①②，得 ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项和求和，难度较易.对于等差乘以等比的形式的数列，求和注意选用错位相减法.‎ ‎21.2018年某开发区一家汽车生产企业计划引进一批新能源汽车制造设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，生产（百辆），需另投入成本万元，且 ‎.由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. ‎ ‎（1）求出2018年利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）‎ ‎（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.‎ ‎【答案】(1) ； (2) 年生产100百辆时，该企业获得利润最大，最大利润为5800万元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据以及利润的计算写出的解析式，注意定义域；（2）对的每一段函数求解最值，再比较两段函数的最大值，最终的最大值作为最大利润，注意说明取最大值时的取值.‎ ‎【详解】解：（1）当时，‎ ‎；‎ 当时，‎ ‎．‎ ‎∴ ‎ ‎（2）当时，，‎ ‎∴当时， ‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时，． ‎ ‎∴当，即2018年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润5800万元．‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的运用，难度一般.实际问题中求解函数解析式时，要注意定义域的问题；同时利用基本不等式求解最值时，注意取等号的条件.‎ ‎22.已知数列的前项和为，，. ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）在数列中，，其前项和为，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知的等式，再写一个关于等式，利用求通项公式；（2）利用裂项相消法求解，再根据单调性以及求解的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，，‎ 两式相减得 整理得，即，又，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 则，当时，，所以．‎ ‎（2），‎ 则，‎ ‎． ‎ 又，‎ 所以数列单调递增，当时，最小值为，又因为， ‎ 所以的取值范围为．‎ ‎【点睛】当，且是等差数列且，则的前项和可用裂项相消法求解： .‎ ‎ ‎