湖北省荆门市2020届高三高考模拟数学（理）试题 Word版含答案 21页

‎2020年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学试题 全卷满分150分，考试用时120分钟。‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知i是虚数单位，若复数，则=‎ A. 1i B. 1+i C. 1i D.1+i ‎2. 已知集合，，则 A. B. C. D.‎ ‎3. 已知等差数列，其前项和为，且，则 A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5. 2019冠状病毒病（Corona Virus Disease 2019（COVID-19））是由新型冠状病毒（2019-nCoV）引发的疾病，目前全球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下，已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有学生按照停课不停学的要求，居家学习.小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午4:00~5:00之间送货到小区门口的快递柜中，小李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午4:30~5:00，则小李父亲收到试卷无需等待的概率为 A. B. C. D.‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎6. 已知表示不超过的最大整数（如，），执行如图所示的程序框图输出的结果为 ‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ 7. 在二项式的展开式中有理项的项数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎8. 函数的图像大致为 ‎ ‎ A B C D ‎ ‎9. 已知定义在上的函数是偶函数，且图像关于点对称.若当时，，则函数在区间上的零点个数为 A.1009 B.2019 C.2020 D.4039‎ 10. 已知函数的值域为[]，则实数的取值范围是 A. ‎(] B. (] C.[] D.[]‎ 11. 已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线的右支交于点，若,则该双曲线的离心率为 A. ‎ B. C. D. ‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎12.已知正方体的棱长为1,是空间中任意一点，下列正确命题的个数是 ①若为棱中点，则异面直线与所成角的正切值为;‎ ②若在线段上运动，则的最小值为；‎ ③若在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为；‎ ④若过点的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. ‎ ‎ A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. 已知，则向量在向量方向上的投影为_______.‎ ‎14. 一般都认为《九章算术》是中国现存最古老的数学著作。然而，在1983年底到1984年初，在荆州城西门外约1.5公里的张家山247号墓出土的《算数书》，比现有传本《九章算术》还早二百年。某高校数学系博士研究生5人，现每人可以从《算数书》、《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《缀术》等五部著作中任意选择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有_______种.（请用数字作答）‎ ‎15. 已知曲线的焦点为，点在曲线上运动，定点，则的最小值为_________.‎ ‎16. 定义：若数列满足，则称该数列为“切线零点数列”.已知函数有两个零点1,2，数列为“切线零点数列”，设数列 理科数学第 21 页 共 21 页 满足，，数列的前项和为，则_______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（本题12分）‎ 已知的内角所对的边是，且满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ ‎18.（本题12分）‎ 在平行四边形EABC中，EA＝4，EC＝2，∠E＝45°，D是EA的中点(如图1)．将△ECD沿CD折起到图2中△PCD的位置，得到四棱锥PABCD.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面PDA；‎ ‎(2)若PD与平面ABCD所成的角为60°，且△PDA为锐角三角形，求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值．‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 19. ‎（本题12分）‎ 某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在学期末，校学生会为了调研学生对本校食堂A部和B部的用餐满意度，从在A部和B部都用过餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分.随后整理评分数据，将分数分成6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到A部分数的频率分布直方图和B部分数的频数分布表.‎ 分数区间 频数 ‎[40,50）‎ ‎7‎ ‎[50,60）‎ ‎18‎ ‎[60,70）‎ ‎21‎ ‎[70,80）‎ ‎24‎ ‎[80,90）‎ ‎70‎ ‎[90,100]‎ ‎60‎ 定义：‎ 学生对食堂的“满意度指数”‎ 分数 ‎[40,50）‎ ‎[50,60）‎ ‎[60,70）‎ ‎[70,80）‎ ‎[80,90）‎ ‎[80,100]‎ 满意度指数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）求A部得分的中位数（精确到小数点后一位）；‎ ‎（2）A部为进一步改善经营，从打分在80分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率；‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎（3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选A部还是B部（将频率视为概率）.‎ ‎20.（本题12分）‎ 已知椭圆的左焦点为，点，过的直线与椭圆交于两点，线段中点为，设椭圆在两点处的切线相交于点，为坐标原点.‎ ‎（1）证明：、、三点共线；‎ ‎（2）已知是抛物线的弦，所在直线过该抛物线的准线与轴的交点，是弦在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：在定直线上.你认为小明猜想合理吗？若合理，请写出所在直线方程；若不合理，请说明理由.‎ 21. ‎（本题12分）‎ 设函数.‎ （1） 讨论的单调性；‎ （2） 设若在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 21. ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题10分）‎ 在平面直角坐标系，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程为（为参数）.‎ (1) 求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ (2) 设点的直角坐标为，直线与曲线相交于两点，求 22. ‎[选修4-5：不等式选讲]（本题10分）‎ 已知函数，记的最小值.‎ (1) 解不等式；‎ (2) 若，求的最小值.‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎2020年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学参考答案及评析 ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B C D A C D D D B D C C 13. ‎ 14. 1500 15. 16. ‎ ‎1.【解析】因此选B.‎ ‎【微评】考查复数相关的概念及运算 ‎2.【解析】因此选C.‎ ‎【微评】考查解不等式（分式不等式、对数不等式）、集合的运算 ‎3.【解析】因此选 D.‎ ‎【微评】考查等差数列及其前项和的性质 ‎4.【解析】法1：对，有，当且仅当时取等，故当，是的充分条件.反之，若，特别的，，则，所以不是的必要条件.‎ ‎ 法2：画出两个不等式所表示的平面区域，如图所示，表示的平面区域为曲线上方的部分，表示的平面区域为直线右上方的部分.‎ 因此选A.‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎【微评】考查基本不等式、简易逻辑、特值法、数形结合 ‎5.【解析】记快递员讲快递送到小区的时刻为，小李同学父亲到小区时刻为，则所有事件构成区域为，记“小李同学父亲收到快递无需等待”为事件，则事件构成区域满足，所以小李同学父亲收到快递无需等待的概率，因此选C.‎ ‎【微评】考查几何概型 6. ‎【解析】‎ 因此选D.‎ ‎【微评】考查算法、等差数列求和 ‎7.【解析】该二项展开式的通项为.当时，为有理项，共有4项.因此选D.‎ ‎【微评】考查二项式定理 8. ‎【解析】满足是偶函数，故排除B，当时，，故在上单调递增，又，因此选D.‎ ‎【微评】考查导数的应用、函数的图像和性质 ‎9.【解析】在上的零点个数即为和的图像在 理科数学第 21 页 共 21 页 上的交点个数.是偶函数，关于对称，可得函数周期为4，又当时，，做出和的部分图像如图所示，由图像可知，每个周期内两个函数的交点由2个，但是在上只有1个交点，故一共有个零点.故选B.‎ ‎【微评】考查函数的性质、图像、零点等知识 ‎10.【解析】，令，且当时，令得或，由，时，，结合图像，当时，，，.因此，选D.‎ ‎【微评】考查同角三角函数的基本关系、三角函数的性质、二次函数.‎ ‎11.【解析】设双曲线的左焦点为,则，故为直角三角形，根据题意，设,则，解得（舍负值），即,又，.，得离心率.故选C.‎ ‎【微评】考查双曲线的定义，几何性质 ‎12.【解析】‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎ 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）‎ 对于①，如图（1）,由AB∥CD,可知∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角.设正方体的棱长为2,连接BE,则在Rt△ABE中,AB=2,BE===,tan∠BAE==,正确 对于②，如图（2）,将三角形AA1B与四边形A1BCD1沿A1B展开到同一个平面上,如图所示.‎ 由图可知,线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值.在△AA1D1中,利用余弦定理可得AD1=,错误 对于③，如图（3），当为中点时，三棱锥体积最大，此时，三棱锥的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为.正确 对于④，如图（4），平面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等,只需与过同一顶点的三条棱所成的角相等即可,如图,AP=AR=AQ,则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等.若点E,F,G,H,M,N分别为相应棱的中点,可得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六边形EFGHMN为正六边形.正方体棱长为1,所以正六边形EFGHMN的边长为,可得此正六边形的面积为,为接面最大面积.故正确的命题有3个.‎ ‎【微评】考查立体几何 ‎13.【解析】向量在向量方向上的投影即 ‎【微评】考查平面向量坐标运算、数量积、投影 ‎14.【解析】‎ ‎【微评】排列组合综合应用 ‎15.【解析】设，时，，时，有 理科数学第 21 页 共 21 页 当且仅当时取等.的最小值为.‎ ‎【微评】抛物线、基本不等式 16. ‎【解析】有两个零点1,2.‎ 由题意 ‎，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，.‎ ‎【微评】导数、对数运算、零点、数列递推关系、等比数列等综合考查 17. ‎【解析】（1）由，‎ 根据正弦定理得， ，即 由余弦定理得，‎ 又，. ………6分 理科数学第 21 页 共 21 页 （2） 由可知，是中点，在中，‎ 即 在中，‎ 即 又，则 由（1）及得 当且仅当时，等号成立. ………10分 的最大值为. ………12分 ‎【微评】考查应用正定理、余弦定理解三角形、基本不等式 ‎18.【解析】(1)将△ECD沿CD折起过程中，CD⊥平面PDA成立．证明如下：‎ ‎∵D是EA的中点，EA＝4，∴DE＝DA＝2，‎ 在△EDC中，由余弦定理得，‎ CD2＝EC2＋ED2－2EC·ED·cos 45°＝8＋4－2×2×2×＝4，‎ ‎∴CD＝2＝ED，‎ ‎∵CD2＋DE2＝8＝EC2，‎ ‎∴△EDC为等腰直角三角形且CD⊥EA，‎ ‎∴CD⊥DA，CD⊥PD，PD∩AD＝D，‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎∴CD⊥平面PDA. ………5分 ‎(2)由(1)知CD⊥平面PDA，CD⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面PDA⊥平面ABCD，‎ ‎∵△PDA为锐角三角形，∴P在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为O，连接PO，∴PO⊥平面ABCD，‎ 则∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，‎ ‎∴∠PDA＝60°，‎ ‎∵DP＝DA＝2，‎ ‎∴△PDA为等边三角形，O为AD的中点，‎ 故以O为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，DA所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 设x轴与BC交于点M，‎ ‎∵DA＝PA＝2，∴OP＝，‎ 易知OD＝OA＝CM＝1，‎ ‎∴BM＝3，‎ 则P(0，0，)，D(0，－1，0)，C(2，－1，0)，B(2，3，0)，＝(2，0，0)， ＝(0，－4，0)， ＝(2，－1，－)，‎ ‎∵CD⊥平面PDA，‎ ‎∴可取平面PDA的一个法向量＝(1，0，0)，‎ 设平面PBC的法向量＝(x2，y2，z2)，‎ 则,即 理科数学第 21 页 共 21 页 令z2＝1，则为平面PBC的一个法向量， ………9分 设平面PAD和平面PBC所成的角为θ，‎ 由图易知θ为锐角，‎ ‎∴cosθ＝|cos〈〉|＝＝＝.‎ ‎∴平面PAD和平面PBC所成角的余弦值为. ………12分 ‎【微评】综合考查立体几何 ‎19.【解析】（1）由，得.……1分 设部得分的中位数为，则 ‎，得 部得分的中位数为82.2 ………3分 ‎（2）第1,2,3,4组的人数分别为10,10,20,40，从第1,2,3,4组采用分层抽样方法抽取8人，则从第1,2,3,4组应分别抽取的人数为1,1,2,4. ………4分 从8人中抽取3人，记第3组抽到1人为事件第4组抽到2人为事件.则 ‎,即在第3组抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率为.‎ ‎………7分 （2） 记对部评价的满意度指数为随机变量，则的分布列为 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.05‎ ‎0.05‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.45‎ ‎0.15‎ ‎ ………9分 记对部评价的满意度指数为随机变量，则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ………11分 ‎,故应该评选A部为学生放心餐厅. ………12分 ‎【微评】综合考查概率统计 ‎20.【解析】（1）设，直线的方程为联立，消去整理得， ‎ 由，得或 ‎ ………1分 由椭圆对称性，设是椭圆在轴上方的任意一点，则由得，所以在处的切线斜率为 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎，故在处切线方程为，结合化简得 ………3分 切线方程为：，同理，联立两切线方程消去得，‎ ‎ ………4分 联立解得， ………5分 由中点及可得 ……6分 ‎ 、、三点共线. ………7分 （2） 合理，在直线上. ………8分 证明如下：设，直线斜率一定存在，‎ 联立消去得，‎ ‎ ………9分 由得，抛物线在 理科数学第 21 页 共 21 页 处的切线方程为，同理在处的切线方程为 ………11分 联立解得，故在直线上. ………12分 ‎【微评】综合考查解析几何 21. ‎【解析】（1）定义域为， ………1分 当时，在上恒成立，此时在上单递增；‎ ‎………2分 当时，令得或（舍去）‎ ‎ 当时，，此时单调递减 当时，，此时单调递增 ………3分 综上：当时，在上单递增 当时，在上单调递减 在上单调递增 ………4分 理科数学第 21 页 共 21 页 （2） 由题意，在上恒成立.‎ ①若，‎ 令，则 ‎，‎ 在上单调递增，成立，‎ 故时，成立. ………7分 ②若时，令在上单调递增，即有.，即 要使成立，必有成立.‎ 由（1）可知，时，，又，‎ 则必有，得 ………9分 此时，‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 令 即恒成立，故在上单调递增， ………11分 故时，成立.‎ 综上，的取值范围是 ………12分 ‎【微评】综合考查导数的应用 ‎22.【解析】（1）由得，所以曲线的直角坐标方程为 由消去得所以直线的普通方程为…5分 ‎（2）点在直线上，设直线的参数方程为（为参数）‎ 设点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入，得，‎ 理科数学第 21 页 共 21 页 ‎………10分 ‎【微评】考查极坐标参数方程 ‎23.【解析】.（1），不等式等价于或或解得，即不等式的解集为 ………5分 ‎（2）当且仅当时，等号成立.‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立.……10分 ‎【微评】考查不等式选讲 (1) 理科数学第 21 页 共 21 页