辽宁省沈阳市第二中学2020届高三下学期第五次模拟考试 数学（理） Word版 6页

理科数学试卷第 1页，总 6页 沈阳二中 2019—2020 学年度下学期第五次模拟考试 理科数学 第Ⅰ卷 （60 分） 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合   2log 5M x y x   ， 1 , 0N y y x x x          ，则M N （ ）. A．  ,5 B． 2, C． 2,5 D．  5, 2．若复数 1z i  ，则 z z i  （ ） A．0 B．2 C．2i D． 2i 3．已知向量 a  与b  不共线，且 0a b   ，则下列结论中正确的是（ ） A．向量 a b   与 a b   垂直 B．向量 a b   与 a  垂直 C．向量a b   与a  垂直 D．向量 a b   与a b   共线 4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠 算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问 题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年 总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首 歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差 三岁，并且儿子们的年龄之和为 207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推 算.”在这个问题中，记这位公公的第 n个儿子的年龄为 na ，则 3a （ ） A．17 B．29 C．23 D．35 5．设 1 0.2 3 1 2 1log 3, ( ) , 2 3 a b c  ,则（ ） A． a b c  B． c b a  C．c a b  D．b a c  6．如果函数 3sin( 2 ) 6 y x    的图象关于直线 x  对称,那么  取最小值时的 值为（ ） A． 6  B． 3   C． 3  D． 6   理科数学试卷第 2页，总 6页 7．已知m，n为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A．若 / /m  ， / /n  ，则 //m n B．若 / /n m， n  ，则m  C．若 / /m  ， / /n  ，m n ，则  D．若 / /m  ，n  ， //m n，则 / /  8．下图统计了截止到 2019年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关 于这 5次统计，下列说法正确的是（ ） A．私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018年 B．公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 25.7万台 C．公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 23.12万台 D．从 2017年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过 50% 理科数学试卷第 3页，总 6页 9．在 ABC 中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 3 4 A   ， 3tan 4 C  ， 2b  ， 则 ABC 的面积 S （ ）． A．6 B．4 C．3 2 D． 2 2 10．已知函数   cos sin 3 6 g x x x               ，设函数    21 4 f x x g x  ，函数  f x 的导函数为  'f x ，则函数  'f x 的图像大致为（ ） A． B． C． D． 11．在三棱锥 A SBC 中， 10AB = ， 4 ASC BSC      ，AC AS ，BC BS ， 若该三棱锥的体积为 15 3 ，则三棱锥 S ABC 外接球的体积为（ ） A． B． 4 3 C． 5 π D． 3  12．已知线段 AB是过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点 F的 一条弦，过点 A（A在第一象限内）作直线 AC垂直于抛物 线的准线，垂足为 C，直线 AT 与抛物线相切于点 A，交 x 轴于点 T，给出下列命题： （1） 2AFx TAF   ； （2）TF AF ； （3） AT CF . 其中正确的命题个数为（ ） A． 0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 （90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题~第 21 题为必考题，每个试 题考生都必须做答．第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题: 本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分. 13．已知函数 1 3 log , 0 2 , 0x x x f x x （ ）     ，则  9f f（）的值是______． 14．若 3 1( ) 2 nx x  的展开式中第四项为常数项，则 n= . 理科数学试卷第 4页，总 6页 15．已知双曲线 2 2 2: 1( 0) 4 x yC b b    的左、右顶点分别为 A、B，点 P在双曲线C上， 若 2 PBA PAB      ，则双曲线C的焦距为_________． 16．若函数 ( ) ( 0)f x a x a x a a      不存在零点，则 a的取值范围是______. 三、解答题：本大题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 17．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 E﹣ABCD的侧棱 DE与四棱锥 F﹣ABCD的侧棱 BF都 与底面 ABCD垂直， AD CD ， AB //CD， 3, 4, 5, 3 2AB AD CD AE AF     . （Ⅰ）证明：DF //平面 BCE. （Ⅱ）设平面 ABF与平面 CDF所成的二面角为θ，求 cos2 . 18．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 满足： 1 2a  ，  1 4 2 2n na a n n    . （Ⅰ）求数列 na 的通项公式； （Ⅱ）若数列 nb 满足：  1 2 33 7 2 1n n nb b b b a       ，求数列 nb 的通项公式. 理科数学试卷第 5页，总 6页 19．（本小题满分 12 分） 如图，已知椭圆 2 2 2: 1xC y a   上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 2 2: 6 2 7 0M x y x y     相切，其中 1a  . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）不过点 A的动直线 l与椭圆 C相交于 P，Q两点，且 AP AQ ，证明：动直线 l过定点，并且求出该定点坐标. 20．（本小题满分 12 分） 某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两 次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮 投篮投进的概率分别为 1 2,p p . （Ⅰ）若 1 2 3 p  ， 2 1 2 p  ，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率； （Ⅱ）若 1 2 4 3 p p  则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论 上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时 1 2,p p 的值. 理科数学试卷第 6页，总 6页 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 sin c s ( ) o f x m x x   ，其中 m为常数，且 2 3  是函数  f x 的极值点． （Ⅰ）求 m的值； （Ⅱ）若 ( 1) ( )xk e f x  在 0x  上恒成立，求实数 k的最小值． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记 分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分 10 分） 以坐标原点 O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为： 2cos( ) 3    ，曲线 C2的参数方程为： 4cos cos 3 2sin sin 3 x t y t             （ 为参数， 0t  ）， 点 N 的极坐标为 (4, ) 3  ． （Ⅰ）若 M 是曲线 C1上的动点，求 M 到定点 N 的距离的最小值； （Ⅱ）若曲线 C1与曲线 C2有有两个不同交点，求正数 t的取值范围． 23．（本小题满分 10 分） 记函数 1( ) 2 1 2 f x x x    的最小值为m . （Ⅰ）求m的值； （Ⅱ）若正数 a，b， c满足 abc m ，证明： 9ab bc ca a b c      .