2017-2018学年陕西省西安中学高二上学期期末考试数学（理）（实验班）试题（Word版） 10页

西安中学2017-2018学年度第一学期期末考试 高二数学（理科实验班）试题 ‎（时间：120分钟 满分：150分） 命题人：张强 一、选择题（共12小题；共60分）‎ ‎1. 用反证法证明命题“设 ， 为实数，则方程 至少有一个实根”时，要做的假设是 ‎ ‎ A. 方程 没有实根 ‎ B. 方程 至少有一个实根 ‎ C. 方程 至少有两个实根 ‎ D. 方程 恰好有两个实根 ‎ ‎ ‎2. 已知椭圆 上的一点 到椭圆一个焦点的距离为 ，则 到另一焦点距离为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 函数 在 处的导数是 ‎ ‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 某个与自然数有关的命题，如果“当 时该命题成立，可推得 时该命题也成立”，那么在已知 时该命题不成立的前提下，可推得 ‎ ‎ A. 当 时，该命题不成立 B. 当 时，该命题成立 ‎ C. 当 时，该命题不成立 D. 当 时，该命题成立 ‎ ‎ ‎5. 下列选项叙述错误的是 ‎ ‎ A. 命题"若 ，则 "的逆否命题是"若 ，则 "‎ ‎ B. 若 为真命题，则 ， 均为真命题 ‎ C. 若命题 ：，，则 ：，‎ ‎ D. " "是" "的充分不必要条件 ‎ ‎ ‎6.抛物线 上一点 到其焦点的距离为 ，则 点的横坐标为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 如图所示，在平行六面体 中， 为 与 的交点．若 ，，，则下列向量中与 相等的向量是 ‎ ‎ ‎ A. ‎ B. ‎ C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 两平行平面 ， 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面间的距离是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎9. “”是“”的 ‎ ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎10. 长方体 中，，， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎11. 点 是棱长为 的正方体 的底面 上一点，则 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎12.椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，弦 过 ，若 的内切圆周长为 ， 、 两点的坐标分别为 和 ，则 的值是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题（共4小题；共20分）‎ ‎13. 观察下列式子：‎ ‎ ，，，，根据以上式子可以猜想：  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14. 已知双曲线 ，则以双曲线中心为顶点．以双曲线左焦点为焦点的抛物线方程为  ．‎ ‎ ‎ ‎15. 已知直线的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且 ，则  ．‎ ‎16. 已知椭圆 内有一点 ， 为椭圆的右焦点， 为椭圆的一个动点，则 的最大值为  ．‎ 三、解答题（共12小题；共70分）‎ ‎ ‎ 17. ‎（10分）当 时，求证：．‎ ‎18. （12分）已知空间三点 ，，，设 ，．‎ ‎（1）求 cos；‎ ‎（2）若向量 与 相互垂直，求 的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19. （12分）如图，四棱锥 底面为正方形，已知 ，，点 为线段 上任意一点（不含端点），点 在线段 上，且 ．‎ ‎ （1）求证：；‎ ‎（2）若 为线段 中点，求直线 与平面 所成的角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 20. ‎（12分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，实轴长为2，‎ （1） 求双曲线的标准方程与渐近线方程。‎ ‎（2）若点 在该双曲线上运动，且， ，求以 ， 为相邻两边的平行四边形 的顶点 的轨迹．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21. （12分）已知曲线 ，求：‎ ‎（1）求曲线在的切线方程；‎ ‎（2）求过点 且与曲线相切的切线方程．‎ ‎22. （12分）设 为椭圆 上任一点，， 为椭圆的焦点，，离心率为 ．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线 经过点 ，且与椭圆交于 ， 两点，若直线 ，， 的斜率依次成等比数列，求直线的方程．‎ 西安中学2017-2018学年度第一学期期末考试 高二数学（理科实验班）试题答案 一、选择题 ‎1. A 2. C 3. C 4. C 5. B ‎ ‎6. C 7. A 8. B 9. A 10. B ‎ ‎11. D 12. D ．‎ 二、 填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 要证 ，‎ 只需证 ，‎ 只需证 ，‎ 只需证 ，‎ 只需证 ，‎ 只需证 ，‎ 即证 ，而 显然成立，‎ 所以 成立．‎ ‎18. （1） ，．‎ 所以 ，‎ 所以 ．‎ ‎    （2） 因为 ，．‎ 又因为 ，‎ 所以 ．‎ 解得 或 ．‎ ‎19. （1） 延长 ，交 于点 ，连接 ，‎ 由相似知 ，可得：，‎ ‎ ，，‎ 则 ．‎ ‎    （2） 由于 ，， 两两垂直，‎ ‎ 以 ，， 为 ，， 轴建立空间直角坐标系，‎ 设 ，则 ，，，，，‎ 则 ，平面 的法向量为 ，‎ 设向量 与 的夹角为 ，则 ，‎ 则 与平面 夹角的余弦值为 ．‎ 20. ‎（1）由题意可知，，所以，所以双曲线的方程为 ‎，渐近线方程为。 ‎ ‎（2）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，‎ 则线段 的中点 的坐标为 ‎ 由平行四边形的性质，点 也是线段 的中点，‎ 所以有 ‎ 因此 可用 ， 表示，得 ①‎ 又由于 在曲线 上，因此， ②‎ ‎①代入②，得 ．‎ ‎ 因为平行四边形不可能有两个以上的顶点在一条直线上，‎ 所以动点 的轨迹是除去两点 ， 的曲线 ．‎ ‎21. （1） 切点坐标为 ，‎ 则由 得 ．‎ 所以 ．‎ 所求切线方程为 ‎ 即 ．‎ ‎      （2） 因为点 不在曲线 上，‎ 需设切点坐标为 ，‎ 则切线斜率为 ．‎ 又因为切线斜率为 ，‎ 所以 ．‎ 所以 ，得 ．‎ 所以切点坐标为 ，斜率为 ．‎ 所以切线方程为 ．‎ 即 ．‎ ‎22. （1） 由椭圆的定义可得 ，可得 ，‎ 由 ，可得 ，，‎ 则椭圆方程为 ；‎ ‎    （2） 由直线 经过点 ，可知，，‎ 设点 ，，‎ 由 消 ，得 ，‎ 由直线与椭圆交于不同的两点，可得 ，解得 ，‎ 由韦达定理得，，，‎ 由题意知，，‎ 即 ‎ ‎ 所以 ，即 ，‎ 即，即为 ，‎ 所以直线的方程为 或 ．‎