广西靖西市第二中学2019-2020学年高一下学期开学考试数学试题 13页

靖西二中2019-2020学年度下学期开学测试试题高一数学 第Ⅰ卷 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.若直线过点，则此直线的倾斜角是（ ）‎ A. B. C. D. 90‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两点间斜率公式,可求得斜率.再由斜率与倾斜角关系即可求得直线的倾斜角.‎ ‎【详解】直线过点 则直线的斜率 设倾斜角为,根据斜率与倾斜角关系可得 由直线倾斜角 ‎ 可得 故选:A ‎【点睛】本题考查了直线斜率的求法,斜率与倾斜角关系,属于基础题.‎ ‎2. 用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（ ）‎ A 8 B. ‎7 ‎C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，三视图复原几何体是下层四个小正方体，上层两个正方体，如图，搭成该几何体最少需要的小正方体的块数：．‎ 考点：三视图．‎ ‎【方法点晴】本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．这类题一般分两步：（1）主视图的列数等于俯视图的列数，左视图的列数等于俯视图的列数；（2）要画主视图，主视图的每一列所画的小正方形个数就等于俯视图中对应每一列中数字的最大者；而左视图每一列所要画的小正方形个数就等于俯视图中对应每一行中数字最大者．‎ ‎3. 如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )‎ A. 12π B. 11π C. 10π D. 9π ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图知该几何体是一个球加一个圆柱，所以 考点：几何体表面积 ‎4.给出下列语句：①桌面给人以平面的形象；②一个平面长‎3 m，宽‎2 m ‎；③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；④空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数为( )‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面的特征，绝对的平，无限延展，不计大小和厚薄，以及点线面的关系，即可判断各语句的真假．‎ ‎【详解】根据平面的特征，绝对的平，无限延展，不计大小和厚薄，即可知，①对，②错；‎ 再根据点线面的关系可知，③④正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查对平面概念的理解，以及点线面的关系应用，属于容易题．‎ ‎5.若直线不平行于平面，且，则 A. 内的所有直线与异面 B. 内不存在与平行的直线 C. 内存在唯一的直线与平行 D. 内的直线与都相交 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l⊄α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．‎ 解：直线l不平行于平面α，且l⊄α，则l与α相交 l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行 故A，C，D错误 故选B．‎ 考点：平面的基本性质及推论．‎ ‎6.设α、β是两个不同的平面，l、m是两条不重合的直线，下列命题中正确的是 A. 若l∥α，α∩β＝m，则l∥m B. 若l∥m，m⊂α，则l∥α C. 若l∥α，m∥β，且α∥β，则l∥m D. 若l⊥α，m⊥β且α⊥β，则l⊥m ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于选项A，在用线面平行的性质定理时，必须有，才能得出，所以选项A错误；对于选项B，缺少条件，不能得出 ；对于选项C，不能得出，l、m可能异面，相交或平行，所以选项C错误；对于选项D，直线分别是平面的法向量所在直线，而，所以它们的法向量也互相垂直，D正确，选D.‎ ‎7.已知两条直线和互相垂直，则等于 （ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. 0 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：因为两条直线和互相垂直，则斜率之积为-1，可知参数a的值为-1,选D ‎8.如图所示是一个物体三视图，则此三视图所描述物体的直观图是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法即可得出选项.‎ ‎【详解】正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，‎ 俯视图可知下面是圆柱.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三视图还原直观图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.‎ ‎9.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)‎ A. 1 B. ‎ C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，故选B．‎ ‎10.圆心坐标为，半径长为2的圆的标准方程是（）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆的标准方程的形式写.‎ ‎【详解】圆心为，半径为2的圆的标准方程是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了圆的标准方程，故选C.‎ ‎11.点A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是(　　)‎ A. (－3,4，－10) B. (－3,2，－4)‎ C. D. (6，－5,11)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A(3，－2,4)关于点(0,1，－3)的对称点的坐标是，选A.‎ ‎12.直线x－y－5=0截圆x2＋y2－4x＋4y＋6=0所得弦长为( )‎ A. B. C. 1 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将圆的一般式化成标准式，求出圆心和半径，由点到直线的距离公式求出弦心距，再根据圆的弦长公式，即可解出．‎ ‎【详解】由x2＋y2－4x＋4y＋6=0得，，所以圆心坐标为，半径 圆心到直线x－y－5=0的距离为，‎ 根据弦长公式可得，弦长．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的一般方程和标准方程的互化，以及圆的弦长的求法，属于基础题．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡横线上.‎ ‎13.正方体的全面积是，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体的外接球性质，得出正方体的对角线是球的直径，即可求出球的半径，再利用球的表面积公式求得结果.‎ ‎【详解】解：正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合，‎ 可见，正方体的对角线是球的直径，‎ 设球的半径是，则正方体的对角线长是，‎ 根据题意，得，即，‎ 所以这个球的表面积为：.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查球的表面积，涉及正方体的外接球的性质，考查计算能力.‎ ‎14.直线l过点P(－1，2)，且倾斜角为30°，则直线l的方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率定义可求出直线的斜率，再根据直线的点斜式即可写出方程，化简成一般式即求解．‎ ‎【详解】因为直线的斜率为，所以直线l的方程为：，即 ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查斜率定义的应用以及利用直线的点斜式求直线方程，属于容易题．‎ ‎15.过三点A(－1，2)，B(1，－1)，C(3，2)的圆的标准方程是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出圆的一般方程，根据点在圆上列出方程组，解出，‎ 再将一般方程化成标准方程即可．‎ ‎【详解】设圆的一般方程为，依题意可得，‎ ‎，解得，所以圆的方程为：，即．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，以及圆的一般方程和标准方程的互化，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎16.长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系是______.‎ ‎【答案】异面直线 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据异面直线的判定定理，即可得出．‎ ‎【详解】由MN⊥BC于M，可得，∴，又因为点平面，点平面，平面，所以直线与直线是异面直线．‎ 故答案为：异面直线．‎ ‎【点睛】本题主要考查空间直线位置关系的判断，以及异面直线判定定理的应用，属于基础题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17.求经过直线l1：2x＋3y－5＝0，l2：3x－2y－3＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程.‎ ‎【答案】26x＋13y－47＝0‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先求出两直线交点，又所求直线与直线2x＋y－3＝0平行，则斜率为－2，利用点斜式写出直线方程，即26x＋13y－47＝0.‎ 试题解析：‎ 由，得，‎ 由平行于2x＋y－3＝0，可得直线的斜率为－2，‎ ‎∴直线方程为，‎ 即26x＋13y－47＝0.‎ ‎18.正方体ABCD-A1B‎1C1D1中.求证:‎ ‎（1）A‎1C1//平面ACB1；‎ ‎（2）BD1⊥平面AB‎1C ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据线面平行的判定定理，只要证出即可；‎ ‎（2）根据题意可证得由线面垂直的判定定理即得证．‎ 详解】（1）如图所示：‎ 连接，由正方体的结构特征可知，，且，所以四边形为平行四边形，即有，而平面，平面，故平面．‎ ‎（2）因为平面，平面，所以，由四边形为正方形可知，， 而，所以平面，又平面∴．同理可证，，而，故平面．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理的应用，以及三垂线定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎19.已知直线l1：x+2y+1=0，l2：-2x+y+2=0，它们相交于点A.‎ ‎(1)判断直线l1和l2是否垂直？请给出理由.‎ ‎(2)求过点A且与直线l3：3x+y+4=0平行的直线方程.‎ ‎【答案】（1）l1⊥l2；（2） ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用两条直线方程，求得两直线的斜率，验证，即可得到结论；‎ ‎（2）联立方程组，求得点的坐标，再来平行关系得到直线的斜率，利用点斜式即可求解直线方程.‎ 试题解析：‎ ‎(1)垂直.直线l1的斜率k1=-，直线l2的斜率k2=2，‎ 因为k1k2=-×2=-1，‎ 所以l1⊥l2.‎ ‎(2)由方程组 解得点A的坐标为，‎ 直线l3的斜率为-3，‎ 所以所求直线方程为：y-=-3，化为一般式得：3x+y-1=0.‎ ‎20.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2=9和圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11=0.‎ ‎（1）求两圆公共弦所在直线的方程；‎ ‎（2）求直线过点C(3，-5)，且与公共弦垂直的直线方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将两个圆的方程相减，即可得出两圆公共弦所在直线的方程；‎ ‎（2）根据两直线垂直(斜率存在)，斜率之积为，得出与公共弦垂直的直线的斜率，再根据直线的点斜式即可写出方程．‎ ‎【详解】（1）圆：x2＋y2－4x＋2y－11=0可化为，，‎ 圆：(x＋1)2＋(y－3)2=9可化为，‎ 所以圆与圆的圆心距为，即，故圆与圆相交．‎ 将圆与圆的方程作差，得，即，‎ 故两圆公共弦所在直线的方程为：．‎ ‎（2）因为公共弦所在直线的斜率为，所以与公共弦所在直线垂直的直线的斜率为，‎ 又直线过点C(3，-5)，所以所求直线方程为：，即．‎ ‎【点睛】本题主要考查相交圆公共弦所在直线方程的求法，以及利用两直线垂直求直线方程，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎21.如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且.‎ ‎（1）AC⊥BE；‎ ‎（2）EF//平面ABCD.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意易证平面，而平面，由线面垂直的定义即可得AC⊥BE；‎ ‎（2）只要证明平面平面，根据线面平行的定义，即可证得EF//平面ABCD.‎ ‎【详解】（1）连接，因为四边形为正方形，所以，又因为平面，所以，而，故平面，而平面，所以AC⊥BE．‎ ‎（2）根据正方体的结构特征可知，平面平面，而，‎ 所以平面，故EF//平面ABCD.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，线面垂直的定义，面面平行的定义的应用，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎22.已知点P（2，0），且圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．‎ ‎（Ⅰ）当直线过点P且与圆心C的距离为1时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点P的直线与圆C交于A、B两点，若|AB|=4，求以线段AB为直径的圆的方程．‎ ‎【答案】（1）x=2；（2）(x－2)2＋y2=4‎ ‎【解析】‎ 本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用．以及圆的方程的求解问题．‎ ‎（1）因为设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2) ‎ 又⊙C的圆心为(3,－2) ，r=3，利用线与圆的位置关系可知直线的方程．‎ ‎（2）根据设过点P的直线与圆C交于A、B两点，当|AB|=4，利用半径长和半弦长，弦心距的勾股定理得到结论．‎ 解：（1）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y－0=k(x－2) …………………1分 又⊙C的圆心为(3,－2) ，r=3 ‎ 由……………………4分 所以直线方程为……………………6分 当k不存在时，l方程为x=2. ……………………8分 ‎（2）由弦心距， ……………………11分 知P为AB的中点，故以AB为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2=4. …………………14分