2017-2018学年山西省忻州二中高二下学期期中考试数学（文）试题 解析版 15页

绝密★启用前 山西省忻州二中 2017-2018 学年高二下学期期中考试数学 （文）试卷 评卷人 得分 一、单选题 1．已知集合 A={2,3,4,7,9},B={0,3,6,9,12}, ,则 A∩B= （ ） A． {3,5} B． {3,6} C． {3,7} D． {3,9} 【答案】D 【解析】 【分析】 直接按照集合的交集的运算法则求解即可． 【详解】 ∵集合 A={2,3,4,7,9},B={0,3,6,9,12} ∴ 故选 D. 【点睛】 本题考查交集及其运算，找出集合中的元素，不重复而且是两个集合的公共元素，才是 二者的交集．基础题． 2．下列表述正确的是（ ） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A． ①②③ B． ②③④ C． ②④⑤ D． ①③⑤ 【答案】D 【解析】 试题分析：归纳推理是由部分到整体的推理， 演绎推理是由一般到特殊的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理． 故①③⑤是正确的 考点：归纳推理；演绎推理的意义 3．将参数方程 (a 为参数)化成普通方程为( )． A． 2x＋y＋1＝0 B． x＋2y＋1＝0 C． 2x＋y＋1＝0(－3≤x≤1) D． x＋2y＋1＝0(－1≤y≤1) 【答案】D 【解析】 【分析】 观察这个参数方程的特点，可将 变形，再消去 即可得到普通方程． 【详解】 由题意得， ，消去 得 故选 D. 【点睛】 本题考查参数方程与普通方程的互化，基本知识的考查．解答本题时需注意本题消参后 的方程为圆，变量的取值范围与原参数方程一致． 4．复数 在复平面上对应的点位于第________象限 A． 一 B． 二 C． 三 D． 四 【答案】C 【解析】 【分析】 将复数化简为 的形式，得到 ，就可以得到答案． 【详解】 ∵复数 ∴复数 在复平面上对应的点位于第三象限 故选 C. 【点睛】 复数化简为 的形式，是解题关键， 的符号决定复数在复平面上对应的点位于 的象限．基础题目． 5．复数 的值是( )． A． －4i B． 4i C． －4 D． 4 【答案】C 【解析】 【分析】 利用复数的代数形式的乘除运算法则将 化简，即可求值. 【详解】 ∵ ∴ ∴ 故选 C. 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，利用 的幂的性质是迅速化简的关键，属于基础 题． 6．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 平面 ，直线 平面 ，直线 ∥平面 ，则直线 ∥直线 ”的结论显然是错误的，这是 因为 （ ） A． 大前提错误 B． 小前提错误 C． 推理形式错误 D． 非以上错误 【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系，在使用三段论推理证明中， 如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是逻辑错 误，我们分析：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 平面 ，直 线 平面 ，直线 ∥平面 ，则直线 ∥直线 ”的推理过程，不难得到结论． 【详解】 在推理过程“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 平面 ，直线 平面 ，直线 ∥平面 ，则直线 ∥直线 ”中，直线平行于平面，则平行于平面内所有直 线为大前提，由线面平行的性质易得，直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、 异面、异面垂直，这是一个假命题，故这个推理过程错误的原因是：大前提错误 故选 A． 【点睛】 归纳推理和演绎推理会出现错误的原因是由合情推理的性质决定的，但演绎推理出现错 误，有三种可能，一种是大前提错误，第二种是小前提错误，第三种是逻辑结构错 误． 7．为研究某两个分类变量是否有关系，根据调查数据计算得到 k≈15.968，因为 P(K2≥10.828)＝0.001，则断定这两个分类变量有关系，那么这种判断犯错误的概率不超 过( )． A． 0.1 B． 0.05 C． 0.01 D． 0.001 【答案】D 【解析】 【分析】 根据观测值，对照临界值得出结论． 【详解】 根据 ，及 ，对照临界值得：判断秃发与心脏病有关系，这 种判断出错的可能性为 0.001． 故选 D. 【点睛】 本题的考查点是独立性检验的应用，根据独立性检测考查两个变量是否有关系的方法进 行判断，准确的理解判断方法及 的含义是解决本题的关键． 8．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时，反设正确的是 （ ） A． 假设三内角都不大于 60 度 B． 假设三内角都大于 60 度 C． 假设三内角至多有一个大于 60 度 D． 假设三内角至多有两个大于 60 度 【答案】B 【解析】 分析：熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可. 详解： 用反证法证明在一个三角形中，至少有一个内角不大于 第一步应假设结论不成立， 即假设三个内角都大于 故选 B. 点睛：反证法是一种论证方式，其方法是首先假设某命题的否命题成立（即在原命题的 条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原 命题成立，得证. 9．函数 y＝(x＋1)2 的导函数是( )． A． 2 B． 2(x＋1) C． (x＋1)2 D． 2x 【答案】B 【解析】 【分析】 根据导数的公式先求出函数的导数，然后直接求解即可． 【详解】 ∵ ∴ 故选 B. 【点睛】 本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握导数的公式，比较基础． 10．将点的直角坐标(－2，2 )化成极坐标得( )． A． (4， ) B． (－4， ) C． (－4， ) D． (4， ) 【答案】A 【解析】 【分析】 由条件求得 、 、 的值，可得 的值，从而可得极坐标. 【详解】 ∵点的直角坐标 ∴ ， ， ∴可取 ∴直角坐标 化成极坐标为 故选 A. 【点睛】 本题主要考查把点的直角坐标化为极坐标的方法，属于基础题．注意运用 、 、 ( 由 所在象限确定). 11．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程 经过直角 坐标系下的伸缩变换 后，得到的曲线是( )． A． 直线 B． 椭圆 C． 双曲线 D． 圆 【答案】D 【解析】 【分析】 先把极坐标方程化为直角坐标方程，再经过直角坐标系下的伸缩变换，把直角坐标方程 中的 ， 分别换成得 ， ，由此能求出结果． 【详解】 ∵极坐标方程 ∴ ∴直角坐标方程为 ，即 ∴经过直角坐标系下的伸缩变换 后得到的曲线方程为 ，即 . ∴得到的曲线是圆 故选 D. 【点睛】 本题考查曲线形状的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标 方程和直角坐标系下的伸缩变换公式的合理运用． 12．若圆的方程为 （ 为参数），直线的方程为 （t 为参数），则 直线与圆的位置关系是 （ ） A． 相交而不过圆心 B． 相交过圆心 C． 相切 D． 相离 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用 点到直线的距离公式计算可得圆心 到直线 的距离 ，得到直线与圆的 位置关系为相交． 【详解】 根 据 题 意 ， 圆 的 参 数 方 程 为 （ 为 参 数 ）， 则 圆 的 普 通 方 程 为 ，其圆心坐标为 ，半径为 2. 直线的方程为 （ 为参数），则直线的普通方程为 ，即 ， 圆心不在直线上. ∴圆心 到直线 的距离为 ，即直线与圆相交. 故选 A. 【点睛】 本题考查直线、圆的参数方程，涉及直线与圆的位置关系，解答本题的关键是将直线与 圆的参数方程变形为普通方程. 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．已知 是虚数单位，则满足 的复数 的共轭复数为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】 把等式两边同时乘以 ，直接利用复数的除法运算求解，再根据共轭复数的概念即可 得解. 【详解】 由 ，得 . ∴复数 的共轭复数为 故答案为 . 【点睛】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭 复数，是基础题． 14．在某回归分析计算中，若回归直线的方程是 ＝x＋1.1，解释变量数据的平均值为 2.1，则预报变量的平均值是______. 【答案】3.2 【解析】 【分析】 根据回归直线方程，得出解释变量与预报变量的关系，从而可求得答案. 【详解】 解释变量即为 ，预报变量即为 ，把 代入 ，解得 . 故答案为 . 【点睛】 本题考查了线性回归方程一次项系数的实际意义，是基础题. 15．由直线与圆相切时,圆心与切点的连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与 切点的连线与平面垂直，用的是____推理 【答案】类比 【解析】 【分析】 从直线想到平面，从圆想到球，即从平面类比到空间． 【详解】 从直线类比到平面，从圆类比到球，即从平面类比到空间，用的是类比推理． 故答案为类比． 【点睛】 本题主要考查学生的知识量和对知识的迁移类比的能力．类比推理的一般步骤是：（1） 找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性 质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明． 16．过点( ， )且与极轴平行的直线的极坐标方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】 先根据公式 ， ，求出点的直角坐标，根据题意得出直线的斜率为 0，用 点斜式表示出方程，再化为极坐标方程． 【详解】 由 ， ，可得点 的直角坐标为 ∵直线与极轴平行 ∴在直角坐标系下直线的斜率为 0 ∴直线直角坐标方程为 y=1 ∴直线的极坐标方程是 故答案为 ． 【点睛】 本题考查了简单曲线的极坐标方程，解答的关键是利用基本公式 ， ， 注意转化思想，属于基础题． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知复数 z=m(m-1)+( m2+2m-3)i 当实数 m 取什么值时，复数 z 是 (1)零；（2）纯虚数；（3）z=2+5i 【答案】⑴m=1⑵m=0⑶ m=2 【解析】 【分析】 对于复数 ，（1）当且仅当 时，复数 ；（2）当且仅当 ， 时，复数 是纯虚数；（3）当且仅当 ， 时，复数 ． 【详解】 （1）当且仅当 解得 m=1， 即 m=1 时，复数 z=0． （2）当且仅当 解得 m=0， 即 m=0 时，复数 z=﹣3i 为纯虚数． （3）当且仅当 解得 m=2， 即 m=2 时，复数 z=2+5i． 【点睛】 本题考查了复数的基本概念，深刻理解好基本概念是解决好本题的关键． 18．已知直线 l1 过点 P(2，0)，斜率为 ． (1)求直线 l1 的参数方程； (2)若直线 l2 的方程为 x＋y＋5＝0，且满足 l1∩l2＝Q，求|PQ|的值． 【答案】（1） (t 为参数)（2）5 【解析】 【分析】 （1）根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，可直接写出直线的参数方程； （2） 即为点 对应的参数 的绝对值．将参数方程代入 ，求出 后即可求得 结果． 【详解】 (1)解：设直线的倾斜角为 ，由题意知 tan ＝ ， 所以 sin ＝ ，cos ＝ ，故 l1 的参数方程为 (t 为参数)． (2)解：将 代入 l2 的方程得：2＋ t＋ t＋5＝0，解得 t＝－5，即 Q(－1，－4)， 所以|PQ|＝5． 【点睛】 本题考查了直线的参数方程，以及直线的参数方程中参数的几何意义，属于基础题． 19．观察下列各等式(i 为虚数单位)： (cos 1＋isin 1)(cos 2＋isin 2)＝cos 3＋isin 3； (cos 3＋isin 3)(cos 5＋isin 5)＝cos 8＋isin 8； (cos 4＋isin 4)(cos 7＋isin 7)＝cos 11＋isin 11； (cos 6＋isin 6)(cos 6＋isin 6)＝cos 12＋isin 12． 记 f(x)＝cos x＋isin x． 猜想出一个用 f (x)表示的反映一般规律的等式，并证明其正确性； 【答案】f(x)f(y)＝f(x＋y) 【解析】 【分析】 由已知中的式子，发现若 ，则 ，进而利用复数的运算法 则和和差角公式，可证得结论. 【详解】 f(x)f(y)＝(cos x＋isin x)(cos y＋isin y) ＝(cos xcos y－sin xsin y)＋(sin xcos y＋cos xsin y)i ＝cos(x＋y)＋isin(x＋y) ＝f(x＋y)． 【点睛】 本题考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同 性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）． 20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了 124 人，其中女性 70 人，男性 54 人．女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视，另外 27 人主要的休闲方式是运动；男性 中有 21 人主要的休闲方式是看电视，另外 33 人主要的休闲方式是运动． (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表； (2)根据所给的独立检验临界值表，你最多能有多少把握认为性别与休闲方式有关系？ 附：独立检验临界值表 P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据调查数据，即可得到列联表；（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把 观测值同临界值进行比较即可得到答案. 【详解】 (1)列联表如下： 看电视 运动 合计 女性 43 27 70 男性 21 33 54 合计 64 60 124 (2)假设“休闲方式与性别无关”，由公式算得 k＝ ≈6.201，比较 P(K2≥5.024)＝0.025，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即在犯 错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“休闲方式与性别有关”． 【点睛】 本题主要考查了独立性检验的应用，注意独立性检验的一般步骤：(1)根据样本数据制成 2×2 列联表；(2)根据公式计算出 的值；(3)查表比较 与临界值的大小关系，作统计判 断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也 可能犯错误）. 21．点 在椭圆 上，求点 到直线 的最大距离和最小距离． 【答案】 ； 。 【解析】试题解析：由于点 P 在椭圆 上，可设 P（4cosθ，3sinθ）， 则 ，即 ， 所以当 时， ； 当 时， ． 考点：本题考查求点与直线距离最值问题 点评：解决本题的关键是借助椭圆参数方程，转化成三角最值问题 22．假设关于某设备使用年限 x(年)和所支出的维修费用 y(万元)有如下统计资料： i 1 2 3 4 5 xi 2 3 4 5 6 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 xi yi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 ＝90 ， ＝ 112.3 若由资料知，y 对 x 呈线性相关关系，试求： (1)回归直线方程； (2)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少 【答案】（1） ＝1.23 x＋0.08（2）12.38 万元 【解析】 【分析】 （1）根据所给的数据，做出变量 ， 的平均数，根据最小二乘法做出线性回归方程的 系数 ，在根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出 的值，从而得到线性回归方程； （2）当自变量为 10 时，代入线性回归方程，求出当年的维修费用，这是一个预报 值． 【详解】 (1) ＝ ＝1.23． ＝5－1.23×4＝0.08． 回归直线方程为 ＝1.23 x＋0.08． (2)当 时， ＝1.23×10＋0.08＝12.38 万元，即估计用 10 年时，维修费约为 12.38 万 元． 【点睛】 求解回归方程问题的三个易误点： ①易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系 是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可 能是伴随关系； ②回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过 点，可能所 有的样本数据点都不在直线上； ③利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为准确值，而实质上是预测值(期望 值)．