2019届二轮复习小考点抢先练，基础题不失分复数与数学文化课件（58张） 58页

第一篇　小考点抢先练 ， 基础题不失分 第 3 练　复数与数学文化 明晰 考 情 1. 命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有 . 2 . 题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　复数的概念 要点重组 　 (1) 复数：形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的数叫做复数，其中 a ， b 分别是它的实部和虚部， i 为虚数单位 . 若 b ＝ 0 ，则 a ＋ b i 为实数；若 b ≠ 0 ，则 a ＋ b i 为虚数；若 a ＝ 0 且 b ≠ 0 ，则 a ＋ b i 为纯虚数 . (2) 复数相等： a ＋ b i ＝ c ＋ d i ⇔ a ＝ c 且 b ＝ d ( a ， b ， c ， d ∈ R ). (3) 共轭复数： a ＋ b i 与 c ＋ d i 共轭 ⇔ a ＝ c ， b ＝－ d ( a ， b ， c ， d ∈ R ). (4) 复数的模： 向量 的 模 r 叫做复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的模，记作 | z | 或 | a ＋ b i| ，即 | z | ＝ | a ＋ b i| ＝ r ＝ ( r ≥ 0 ， r ∈ R ). 核心考点突破练 方法技巧 　复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 . √ ∴ | z | ＝ 1. 故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 故选 D. 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 3. 已知 a ， b ∈ R ， i 是虚数单位 . 若 a － i 与 2 ＋ b i 互为共轭复数，则 ( a ＋ b i) 2 等于 A.5 － 4i B.5 ＋ 4i C.3 － 4i D.3 ＋ 4i √ 解析　 由已知得 a ＝ 2 ， b ＝ 1 ，即 a ＋ b i ＝ 2 ＋ i ， ∴ ( a ＋ b i) 2 ＝ (2 ＋ i) 2 ＝ 3 ＋ 4i. 故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 解析　 (1 ＋ 3i)(1 ＋ a i) ＝ 1 ＋ a i ＋ 3i － 3 a ， ∵ (1 ＋ 3i)(1 ＋ a i) ∈ R ， ∴ 虚部为 0 ，则 a ＋ 3 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 3. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 5.(2018· 浙江省杭州市第二中学月考 ) 若复数 z 满足 (1 － 2i)· z ＝ 3 ＋ i(i 为 虚数 单位 ) ，则 z ＝ ______ ； | z | ＝ _____. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 6.(2017· 浙江 ) 已知 a ， b ∈ R ， ( a ＋ b i) 2 ＝ 3 ＋ 4i(i 是虚数单位 ) ，则 a 2 ＋ b 2 ＝ ____ ， ab ＝ ____. 解析　 ( a ＋ b i) 2 ＝ a 2 － b 2 ＋ 2 ab i. 答案 解析 5 　 2 解得 a 2 ＝ 4 ， b 2 ＝ 1. 所以 a 2 ＋ b 2 ＝ 5 ， ab ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 考点二　复数的几何意义 7. 已知 z ＝ ( m ＋ 3) ＋ ( m － 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是 A.( － 3,1) B .( － 1,3) C.(1 ，＋ ∞ ) D .( － ∞ ，－ 3) √ 解析　 由复数 z ＝ ( m ＋ 3) ＋ ( m － 1)i 在复平面内对应的点在第四象限， 答案 解析 7 8 9 10 11 8. 已知 复数 ( i 为虚数单位 ) 在复平面上对应的点在虚轴上，则实数 a ＝ ___. 答案 解析 2 7 8 9 10 11 9. 如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为 1 ，点 A ， B 对应的复数分别是 z 1 ， z 2 ， 则 ＝ ____ _ ___. 解析　 由题意，根据复数的表示可知 z 1 ＝ i ， z 2 ＝ 2 － i ， 答案 解析 － 1 － 2i 7 8 9 10 11 10. 设复数 z 满足 (2 ＋ i) z ＝ i 为虚数单位，则复数 z 在复平面内对应的点在第 ____ 象限 . 在第四象限 . 答案 解析 四 7 8 9 10 11 11. 已知复数 z ＝ ， 则复数 z 在复平面内对应的点位于第 ____ 象限 . 解析　 因为 i 4 n ＋ k ＝ i k ( n ∈ Z ) ，且 i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ i 4 ＝ 0 ， 所以 i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ … ＋ i 2 017 ＝ i ， 答案 解析 一 7 8 9 10 11 考点三　几何中的数学文化 方法技巧 　从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题 . 12. 我国古代数学名著《九章算术》在 “ 勾股 ” 一章中有如下数学问题： “ 今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？ ”. 意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是 8 步和 15 步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是 A.3 步 B.6 步 C.4 步 D.8 步 解析　 由于该直角三角形的两直角边长分别是 8 和 15 ，则得其斜边长为 17 ， 设其内切圆半径为 r ， √ 答案 解析 解得 r ＝ 3 ，故其直径为 6 步 . 12 13 14 15 16 17 13. 如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的 面积 为 4 ，大正方形的面积为 100 ，直角三角形中较小的锐角 为 α ，则 tan α 等于 解析　 由题意得，大正方形的边长为 10 ，小正方形的边长为 2 ， ∴ 2 ＝ 10cos α － 10sin α ， 答案 解析 √ 12 13 14 15 16 17 14.(2018· 全国 Ⅲ ) 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来 . 构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头 . 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 答案 解析 解析　 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选 A. √ 12 13 14 15 16 17 15. 我国南北朝时期数学家、天文学家 —— 祖暅提出了著名的祖暅原理： “ 幂势即同，则积不容异 ”.“ 幂 ” 是截面积， “ 势 ” 是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积 都 相等 ，则两几何体体积相等 . 已知某不规则 几何体 与 如图三视图所对应的几何体满足 “ 幂势同 ” ， 则 该不规则几何体的体积为 答案 解析 √ 12 13 14 15 16 17 解析　 由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱 . ∴ 三视图对应几何体的体积 V ＝ 8 － π. 根据祖 暅 原理 ，不规则几何体的体积 V ′ ＝ V ＝ 8 － π. 12 13 14 15 16 17 16. 我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题： “ 今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？ ” 意思是：现在有粟米 250 斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为 5 丈 4 尺，则谷堆的高为多少？ ( 注： 1 斛 ≈ 1.62 立方尺， π ≈ 3) 若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为 A.5 尺 B.9 尺 C.10.6 尺 D.21.2 尺 答案 解析 解析　 设谷堆的高为 h 尺，底面半径为 r 尺，则 2π r ＝ 54 ， r ≈ 9. 粟米 250 斛，则体积为 250 × 1.62 ＝ × π × 9 2 × h ， h ≈ 5. 谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为 R 尺 . 则 R 2 ＝ ( h － R ) 2 ＋ r 2 ，解得 R ≈ 10.6( 尺 ). ∴ 2 R ≈ 21.2( 尺 ). √ 12 13 14 15 16 17 17. 卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅰ 绕月飞行，之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道 Ⅱ 绕月飞行 . 若用 2 c 1 和 2 c 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的焦距，用 2 a 1 和 2 a 2 分别表示椭圆轨道 Ⅰ 和 Ⅱ 的长轴长，给出下列式子 ： ① a 1 ＋ c 1 ＝ a 2 ＋ c 2 ； ② a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ； ③ ④ c 1 a 2 > a 1 c 2 . 其中正确的式子的序号是 A. ①③ B . ①④ C. ②③ D . ②④ √ 12 13 14 15 16 17 答案 解析 解析　 ① 由题图知 2 a 1 >2 a 2 ， 2 c 1 >2 c 2 ， 即 a 1 > a 2 ， c 1 > c 2 ， ∴ a 1 ＋ c 1 > a 2 ＋ c 2 ， ∴① 不正确 . ②∵ a 1 － c 1 ＝ | PF | ， a 2 － c 2 ＝ | PF | ， ∴ a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ， ∴② 正确 . 又 ∵ a 1 － c 1 ＝ a 2 － c 2 ， 即 a 1 ＋ c 2 ＝ a 2 ＋ c 1 ， 即 ( a 1 － c 1 )( a 1 ＋ c 1 ) － ( a 2 － c 2 )( a 2 ＋ c 2 ) ＋ 2 a 1 c 2 ＝ 2 a 2 c 1 ， 12 13 14 15 16 17 整理得 ( a 1 － c 1 )( a 1 － a 2 ＋ c 1 － c 2 ) ＋ 2 a 1 c 2 ＝ 2 a 2 c 1 . ∵ a 1 > c 1 ， a 1 > a 2 ， c 1 > c 2 ， ∴ 2 a 1 c 2 <2 a 2 c 1 ，即 c 1 a 2 > a 1 c 2 ， ∴④ 正确 . ③∵ c 1 a 2 > a 1 c 2 ， a 1 >0 ， a 2 >0 ， ∴③ 不正确 . 故选 D. 12 13 14 15 16 17 考点四　其他数学问题中的数学文化 方法技巧 　数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型；其他数学问题与数学文化的结合，关键是构造数学模型 . 18. 《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为： “ 今有女善织，日益功疾 ( 注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布 ) ，第一天织 5 尺布，现一月 ( 按 30 天计 ) 共织 390 尺布 ” ，则从第 2 天起每天比前一天多织布的尺数为 √ 答案 解析 18 19 20 21 22 23 19.(2018· 北京 ) “ 十二平均律 ” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献 . 十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都 等于 若 第一个单音的频率为 f ，则第八个单音的频率为 √ 答案 解析 18 19 20 21 22 23 20. 《九章算术》第三章 “ 衰分 ” 介绍比例分配问题： “ 衰分 ” 是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例 ( 百分比 ) 为 “ 衰分比 ”. 如甲、乙、丙、丁衰分得 100,60,36,21.6 个单位，递减的比例为 40%. 今共有粮 m ( m ＞ 0) 石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行 “ 衰分 ” ，已知丙衰分得 80 石，乙、丁衰分所得的和为 164 石，则 “ 衰分比 ” 与 m 的值分别为 A.20%,369 B.80 %, 369 C.40 %,360 D.60 %,365 答案 解析 解析　 设 “ 衰分比 ” 为 a ，甲衰分得 b 石， 解得 b ＝ 125 ， a ＝ 20% ， m ＝ 369. √ 18 19 20 21 22 23 21. 数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗： “ 儿忆父兮妻忆夫 ” ，既可以顺读也可以逆读 . 数学中有回文数，如 343 、 12 521 等，两位数的回文数有 11,22,33 ， … ， 99 共 9 个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 √ 答案 解析 18 19 20 21 22 23 解析　 三位数的回文数为 ABA ， A 共有 1 到 9 共 9 种可能，即 1 B 1,2 B 2,3 B 3 ， … ， B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A 0 A ， A 1 A ， A 2 A ， A 3 A ， … ， 共有 9 × 10 ＝ 90( 个 ) ； 其中偶数为 A 是偶数，共 4 种可能，即 2 B 2,4 B 4,6 B 6,8 B 8 ， B 共有 0 到 9 共 10 种可能，即 A 0 A ， A 1 A ， A 2 A ， A 3 A ， … ， 其有 4 × 10 ＝ 40( 个 ) ， 18 19 20 21 22 23 22.(2017· 浙江 ) 我国古代数学家刘徽创立的 “ 割圆术 ” 可以估算圆周率 π ，理论上能把 π 的值计算到任意精度 . 祖冲之继承并发展了 “ 割圆术 ” ，将 π 的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年， “ 割圆术 ” 的 第 一 步是计算单位圆内接正六边形的面积 S 6 ， S 6 ＝ ______. 答案 解析 解析　 作出单位圆的内接正六边形，如图 ， 则 OA ＝ OB ＝ AB ＝ 1 ， 18 19 20 21 22 23 23.(2018· 浙江 ) 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题： “ 今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一 . 凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ ” 设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x ， y ， z ， 则 当 z ＝ 81 时， x ＝ ____ ， y ＝ ____. 答案 解析 8 11 18 19 20 21 22 23 方法二　 100 － 81 ＝ 19( 只 ) ， 81÷3 ＝ 27( 元 ) ， 100 － 27 ＝ 73( 元 ). 假设剩余的 19 只鸡全是鸡翁，则 5 × 19 ＝ 95( 元 ). 因为 95 － 73 ＝ 22( 元 ) ，所以 鸡母： 22÷(5 － 3) ＝ 11( 只 ) ， 鸡翁： 19 － 11 ＝ 8( 只 ). 18 19 20 21 22 23 1. 若复数 lg( m 2 － 2 m － 7) ＋ ( m 2 ＋ 5 m ＋ 6)i 为纯虚数，则实数 m 的值为 A.2 B.4 C.6 D.8 易错易混专项练 解析　 ∵ 复数 lg( m 2 － 2 m － 7) ＋ ( m 2 ＋ 5 m ＋ 6)i 为纯虚数， √ 答案 解析 解得 m ＝ 4. 答案 解析 √ 3. 复数 z 1 ， z 2 在复平面内对应的点关于直线 y ＝ x 对称，且 z 1 ＝ 3 ＋ 2i ，则 z 1 z 2 等于 A.12 ＋ 13i B.13 ＋ 12i C. － 13i D.13i 答案 解析 √ 解析　 点 ( a ， b ) 关于直线 y ＝ x 的对称点坐标为 ( b ， a ) ， 且 z 1 ＝ 3 ＋ 2i 在复平面内对应的点的坐标为 (3,2) ， 据此结合题意可知 z 2 在复平面内对应的点的坐标为 (2,3) ，即 z 2 ＝ 2 ＋ 3i ， 据此可得 z 1 z 2 ＝ (3 ＋ 2i)(2 ＋ 3i) ＝ 13i. 解题秘籍 　 (1) 复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确 . (2) 复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化 ( 分子分母同乘分母的共轭复数 ) ，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到 . 1. 下列各式的运算结果为 2i 的是 A.i ＋ i 2 ＋ i 3 ＋ i 4 B.|3 － i|i C.i(2 ＋ i) － 1 D. ＋ 3i √ i(2 ＋ i) － 1 ＝ 2i ＋ i 2 － 1 ＝ 2i － 2 ； 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 2. 在复平面内，复数 z ＝ ( i 是虚数单位 ) ，则 z 的 共轭复数 在 复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题： “ 今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差 ( 即等差 ) 降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给 . 问：每等人比下等人多得几斤？ ” √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 设第十等人得金 a 1 斤，第九等人得金 a 2 斤，以此类推，第一等人得金 a 10 斤，则数列 { a n } 构成等差数列，设公差为 d ，则每一等人比下一等人多得 d 斤金， 5. 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中 “ 如像招数 ” 五问中有如下问题： “ 今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日 ”. 其大意为 “ 官府陆续派遣 1 864 人前往修筑堤坝，第一天派出 64 人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多 7 人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3 升，共发出大米 40 392 升，问修筑堤坝多少天 ” ，在该问题中前 5 天共分发了多少升大米？ A.1 170 B.1 380 C.3 090 D.3 300 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 设第 n 天派出的人数为 a n ， 则 { a n } 是以 64 为首项， 7 为公差的等差数列 ， 则 第 n 天修筑堤坝的人数为 S n ＝ a 1 ＋ a 2 ＋ … ＋ a n ＝ 64 n ＋ × 7 ， 所 以前 5 天共分发的大米数为 3( S 1 ＋ S 2 ＋ S 3 ＋ S 4 ＋ S 5 ) ＝ 3 [(1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＋ 5) × 64 ＋ (1 ＋ 3 ＋ 6 ＋ 10) × 7] ＝ 3 300( 升 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 我国古代数学名著《数书九章》中有 “ 天池盆测雨 ” 题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水 . 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸 . 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 ( 注： ① 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积 ； ② 一尺等于十寸 ) A.1 寸 B.2 寸 C.3 寸 D.4 寸 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为 14 寸 ， 下 底面半径为 6 寸，高为 18 寸 . ∵ 积水深 9 寸， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故选 C. 7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？ ” 其意思为： “ 今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？ ” 若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 A.128π 平方尺 B.138π 平方尺 C.140π 平方尺 D.142π 平方尺 √ 解析　 设四棱锥的外接球半径为 r 尺 ，则 (2 r ) 2 ＝ 7 2 ＋ 5 2 ＋ 8 2 ＝ 138 ， ∴ 这个四棱锥的外接球的表面积为 4π r 2 ＝ 138π( 平方尺 ). 故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 我国古代数学典籍《九章算术》 “ 盈不足 ” 中有一道两鼠穿墙问题： “ 今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？ ” 上述问题中，两鼠在第 ___ 天相逢 . 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 9. 已知 z 是纯虚数，若 ( m ＋ 2i)· z ＝ 2 － 3i ，则实数 m ＝ ____. 3 解析　 设 z ＝ a i( a ∈ R 且 a ≠ 0) ， 由 ( m ＋ 2i)· z ＝ 2 － 3i ，得 ( m ＋ 2i)· a i ＝－ 2 a ＋ ma i ＝ 2 － 3i ， 10.(2018· 浙江省杭州市学军中学模拟 ) 若复数 z ＝ ( i 为虚数单位 ) ，则 z 的虚部为 ___ ， | z | ＝ ___. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 　 5 11. 已知 i 为虚数单位，复数 z (1 ＋ i) ＝ 2 － 3i ，则 z 的虚部为 ______. 解析　 由 z (1 ＋ i) ＝ 2 － 3i ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图所示是毕达哥拉斯 (Pythagoras) 的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095 个 正方形，设初始正方形的边长 为 则 最小正方形的边长为 _____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 因为共有 4 095 个正方形， 则 1 ＋ 2 ＋ 2 2 ＋ … ＋ 2 n － 1 ＝ 4 095 ，所以 n ＝ 12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束