河南省林州市第一中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析 18页

- 1 - 林州一中 2019~2020 学年上学期期中考试高二数学 一、选择题： 1.在 中，内角 、 、 所对 边分别为 、 、 ，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由角度比例关系，可以算出每个角度，再根据正弦定理的推论，即可求得边长之比. 【详解】因为 ，故可得 ， 故可得 由正弦定理可得 . 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理的推论，属基本知识点的考查. 2.已知 ，则下列成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知条件，利用指数函数，对数函数的单调性以及不等式性质，逐一分析即可. 【详解】对 ，等价于 ，因为 ，显然 ，不等式不成立； 对 ，因为 是增函数，又因为 ，故 ，故不等式不成立； 对 ，因为 是增函数，又因为 ，故 ，故不等式不成立； 对 ，等价于 ，因为 ，显然 ，故不等式成立. 的ABC∆ A B C a b c : : 1:1: 4A B C = : :a b c = 1:1: 2 1:1: 2 1:1: 5 1:1: 3 : : 1:1: 4A B C = 2,6 3A B C π π= = = 1 1 3 11 32 2 2sinA sinB sinC = =： ： ：： ：： 11 3a b c sinA sinB sinC= =： ： ： ： ：： 0a b> > b a a b > 2 2a b< 2ab b> ln lnb a> b a a b > 2 2 0b a ab − > 0a b> > 2 2 0b a ab − < 2 2a b< 2xy = 0a b> > 2 2a b> ln lnb a> y lnx= 0a b> > lna lnb> 2ab b> ( ) 0b a b− > 0a b> > ( ) 0b a b− > - 2 - 故选：C. 【点睛】本题考查不等式的性质，以及利用对数和指数函数的单调性比较大小，属基础题. 3.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 解不等式 ，利用集合的包含关系可对两条件之间的关系进行判断. 【详解】由 得 ，故“ ”是“ ”的必要不充分条件. 故选 B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系，同时也可以逻辑 关系来进行判断，考查推理能力，属于基础题. 4.已知椭圆 的两焦点为 ， ，椭圆上一点 到 的距离为 4， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据已知可得求出 ，进一步利用三角形的中位线求的结果． 【详解】∵ ， 分别为 ， ， 的中点，∴ . 故选：B 【点睛】本题以椭圆为背景考查了三角形中位线定理，属于基础题． 5.关于 的不等式 的解集为（ ） A. B. 0 4x< < 2log 1x < 2log 1x < 2log 1x < 0 2x< < 0 4x< < 2log 1x < ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 1F 2F M 1F N 2MF ON O 1 4MF = O N 1F 2F 2MF 1 1 22 MO FN = = x ( ) ( )1 0 1x a x aa  − − > >   { }|x x a> 1|x x a  <   - 3 - C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出不等式对应方程的根，结合不等式和二次函数的关系，即可得到结果. 【详解】不等式 对应方程 的两根为 ， 因为 ，故可得 ， 根据二次不等式以及二次函数的关系 可得不等式的解集为 或 . 故选：C. 【点睛】本题考查含参二次不等式的求解，属基础题. 6.下列各选项中叙述错误的是（ ） A. 命题“若 ，则 ”的否命题是“若 ，则 ” B. 若命题 为假命题，则 为假命题 C. 命题 ： ，使得 ，则 ： ，使得 D. “ ”是“直线 与直线 垂直”的充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】 根据逆否命题的改写规则，或且非命题的真假性，以及带量词命题的否定求解，充要条件的 定义，结合具体知识，即可分析选择. 【详解】直线 与直线 垂直， 等价于 ，解得 . 故 是直线 与直线 垂直的充要条件，故 D 错误. 根据逆否命题的改写规则，或且非命题的真假性，以及带量词命题的否定， { |x x a> 1}x a < 1|x x aa  < <   ( ) ( )1 0 1x a x aa  − − > >   ( ) 1 0x a x a  − − =   1,a a 1a > 1a a > { |x x a> 1}x a < x y= sin sinx y= x y≠ sin sinx y≠ ( )p q∨ ¬ p q∧ p 0x R∃ ∈ 2 0 02 2 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 2 2 0x x+ + ≥ 2m = ± 4 1 0mx y− + = ( )1 2 0mx m y− − + = 4 1 0mx y− + = ( )1 2 0mx m y− − + = ( )2 4 1 0m m+ − = 2m = 2m = 4 1 0mx y− + = ( )1 2 0mx m y− − + = - 4 - 可以判断 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查逆否命题的改写规则，或且非命题的真假性，以及带量词命题的否定求解， 充要条件的判定，属命题综合题. 7.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， 则 的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据射影定理，以及正弦定理，对目标式进行化简，再根据正弦值，求得角度，即可判断形 状. 【详解】因为 根据射影定理故可得 ， 再利用正弦定理将边化角，可得 又因为 ，故可得 ，又 故可得 ，故 是直角三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查射影定理，正弦定理将边化角，从而判断三角形形状，属基础题. 8.已知等比数列 前 项和为 ， ， ，则 （ ） A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】 根据等比数列前 项和的片段和性质，结合题意，进行具体计算即可. 【详解】因为 是等比数列，故由前 项和的片段和性质， 可得 依旧成等比数列， 因为 ， ， ，则 的 A B C、 、 ABC∆ A B C a b c cos cos sina B b A b C+ = ABC∆ cos cos sina B b A b C+ = c bsinC= sinC sinBsinC= 0sinC ≠ 1sinB = ( )0,B π∈ 90B = ° ABC∆ { }na n nS 10 10S = 20 30S = 30S = n { }na n 10 20 10 30 20, ,S S S S S− − 10 10S = 20 30S = 20 10 20S S− = 30 20 40S S− = - 5 - 故解得 . 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列前 项和的片段和性质，属基础题. 9.已知点 是椭圆 的左焦点，直线 与椭圆交于 ， 两点， 且 ，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 令椭圆 中的 ，可解得 两点的坐标，根据 ， 即可求得 之间的关系式，利用 ，得到 关系式，即可得离心率. 【详解】令 中的 ，可解得 ， 不妨设 ，又 根据 ，故可得 即 ，整理得 又 ，代入可得 ， 故 . 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，其重点是根据斜率之积为-1，建立 的齐次式. 30 70S = n F ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 3 by = A B 90AFB∠ = ° 1 4 3 3 1 2 5 5 ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 3 by = A B、 1AF BFk k⋅ = − , ,a b c 2 2 2b a c= − ,a c ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 3 by = 5 3x a= ± 5 2 5 2, , ,3 3 3 3 b bA a B a    −          ( ),0F c− 90AFB∠ = ° 1AF BFk k⋅ = − 2 2 3 3 1 5 5 3 3 b b a c a c ⋅ = − − + + 2 2 24 5 9 9b a c= − 2 2 2b a c= − 2 25a c= 2 1 5,5 5e e= = , ,a b c - 6 - 10.设命题 若函数 是减函数，则 ，命题 若函数 在 上是单调递增，则 .那么下列命题为真命题的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先判断出命题 、 的真假，然后利用复合命题的真假判断出各选项中命题的真假. 【详解】若函数 是减函数，则 ，解得 ，命题 为真命题； 若函数 在 上是单调递增，其对称轴为直线 ，则 ， 解得 ，命题 为假命题. 因此， 为假， 为假， 为假， 为真. 故选 D. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，同时也考查了指数函数与二次函数的单调性，解题 的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 11.已知 ， ， ，则 的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】 利用均值不等式，根据题意，即可求得目标函数的最小值. 【详解】因为 ，故可得 因为 ， ，故可得 即 ，令 z=2x+y,则 解得 或 ，因为 ，故 当且仅当 时，即 时取得最小值. 故选：A. :p ( ) ( )3 2 xf x a= − − 1a < :q ( ) 2 2 4g x x ax= + + [ )2,+∞ 2a < − p q∧ p¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q¬∧ p q ( ) ( )3 2 xf x a= − − 3 2 1a− > 1a < p ( ) 2 2 4g x x ax= + + [ )2,+∞ x a= − 2a− ≤ 2a ≥ − q p q∧ p¬ ( )p q¬ ∨ ( )p q¬∧ 0x > 0y > 2 2 3x y xy+ + = 2z x y= + 2 2 3x y xy+ + = ( )2 2 3xy x y= − + + 0x > 0y > ( )212 24xy x y≤ + ( ) ( )212 3 24x y x y− + + ≤ + 2 4 12 0z z+ − ≥ 2z ≥ 6z ≤ − 0z > 2z ≥ 2 ,x y= 2 2 3x y xy+ + = 1 , 12x y= = - 7 - 【点睛】本题考查均值不等式的直接使用，属基础题；需要注意取等得条件. 12.已知椭圆 ，点 为椭圆 上位于第一象限一点， 为坐标原点，过椭圆 左顶点 作直线 ，交椭圆于另一点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设点 ， ，由题意得出 ，可得出 ，然后将点 、 的坐标代入椭圆方程，得出 、 ，即可求出直线 的斜率. 【详解】由题知 ，设 ， . 则 ，可得 ， ， ， 点 、 都在椭圆 上， ，解得 ， ， 因此，直线 的斜率为 . 故选：A 【点睛】本题考查直线斜率的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，在涉及平行线截 椭圆所得弦长的比例关系时，可转化为共线向量比的问题求解，考查运算求解能力，属于中 等题. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13.命题“ ， ”的否定为______. 【答案】 ， . 2 2 2 2 9 15: x yC a a + = P C O A //l OP B 1 2AB OP= l 5 3 3 3 3 5 5 5 1 1( , )B x y ( )2 2,P x y 1 2AB OP=  1 2 1 2 1 2 1 2 x x a y y  = −  = B P 2x 2y l ( ),0A a− 1 1( , )B x y ( )2 2,P x y 1 2AB OP=  ( )1 1 2 2 1 1, ,2 2x a y x y + =    1 2 1 2x x a∴ = − 1 2 1 2y y=  P B C 2 2 2 2 2 22 22 2 5 9 5 15 9 52 2 x y a yx a a  + = ∴   − + =        2 4 ax = 2 5 4 3 ay = l 2 2 5 4 5 3 34 3 y a x a = ⋅ = 0x R∃ ∈ 0sin 2 0x − > x R∀ ∈ sin 2 0x − ≤ - 8 - 【解析】 【分析】 根据特称命题的否定的求解原则，根据题意，即可求得. 【详解】特称命题的否定是全称命题， 故 ， 的否定为： . 故答案为： . 【点睛】本题考查特称命题的否定，属基础题；需要注意，命题的结论也要否定. 14.已知实数 、 满足约束条件 ，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，观察该直线在 轴上的截距最小时对应 的最优解，代入目标函数即可得出结果. 【详解】作出不等式组 所表示的可行域如下图所示： 联立 ，解得 ，得点 ， 平移直线 ，当直线 经过可行域的顶点 时，该直线在 轴上的截 距取最小值，此时，目标函数 取得最小值 . 0x R∃ ∈ 0sin 2 0x − > , 2 0x R sinx∀ ∈ − ≤ , 2 0x R sinx∀ ∈ − ≤ x y 1 0 2 1 0 1 x y x y x − + ≥  + + ≥  ≤ 3z x y= − 3− 3z x y= − x 1 0 2 1 0 1 x y x y x − + ≥  + + ≥  ≤ 2 1 0 1 0 x y x y + + =  − + = 1 0 x y = −  = ( )1,0A − 3z x y= − 3z x y= − ( )1,0A − x 3z x y= − ( )min 3 1 0 3z = × − − = − - 9 - 故答案为 . 【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般要作出可行域， 利用数形结合思想来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 15.已知三条线段的长度分别为 、3、4，且 ，若这三条线段能构成锐角三角形，则 实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 分析】 由最大角的余弦值大于零，结合题中已给条件，即可得到 的范围. 【详解】设该锐角三角形的最大边 4 对应的角度为 ， 故由题可得 ，解得 ，即可得 又因为 ，故可得 . 故答案为： . 【点睛】本题考查余弦定理的推论，需要注意的是，若要构成锐角三角形，只需最大角为锐 角即可. 16.已知点 、 为椭圆 的左、右顶点，点 为 轴上一点，过 作 轴的 垂线交椭圆 于 、 两点，过 作 的垂线交 于点 ，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】 设点 ，则 ， ，写出直线 和 的方程，联立这两条直线的 方程，求出点 的坐标，即可得出 的值. 【详解】如下图所示，设 ，则 ， ， 【 3− x 0 3x< < x ( )7,3 x θ 2 9 16 06 xcos x θ + −= > 2 7x > 7x > 0 3x< < ( )7,3x∈ ( )7,3 A B 2 2: 14 xC y+ = M x M x C P Q M AP BQ N BMN BMQ S S ∆ ∆ = 4 5 ( ),P m n ( ),0M m ( ),Q m n− MN BQ N BMN BMQ S S ∆ ∆ ( ),P m n ( ),0M m ( ),Q m n− - 10 - 由题设知 且 ，直线 的斜率 ，直线 斜率 . 直线 的方程为 ，直线 的方程为 . 联立 ，解得 . 又点 在椭圆 上，得 ， . 又 ， ， . 故答案为 . 【点睛】本题考查椭圆中三角形的面积比的计算，解题的关键就是要求出点的坐标，同时也 要注意点的坐标满足椭圆方程，结合等式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 17.在前 n 项和为 的等差数列 中， ， ． （1）求数列 的首项和公差； （2）记 ，求数列 前 20 项的和． 【答案】（1）首项为 18，公差为 （2）200 【解析】 【分析】 （1）由基本量法可求得数列的首项和公差； （2）由（1）得 ，这样当 时 ，当 时 ，因此 前 20 项中，分两类，前 10 求和，后 10 项再求和，最后相加即可． 2m ≠ ± 0n ≠ AP 2AP nk m = + MN 2 MN mk n += − ∴ MN ( )2my x mn += − − BQ ( )22 ny xm = −− ( ) ( ) 2 22 my x mn ny xm + = − −  = − − ( )2 2 2 4 4N n m y m n − = − − + P C 2 24 4m n− = 4 5Ny n∴ = − 1 2 2 5BMN NS BM y BM n∆ = ⋅ = ⋅ 1 2BMQS BM n∆ = ⋅ 4 5 BMN BMQ S S ∆ ∆ ∴ = 4 5 nS { }na 1 4 22 2a a a+ = − 3 48S = { }na n nb a= { }nb 2− 20 2na n= − 1 10n≤ ≤ 0na ≥ 11n ≥ 0na < { }nb - 11 - 【详解】解：（1）设数列 的公差为 d，由题意有： ，解得： 故数列 的首项为 18，公差为 ， （2）由（1）知 ， 可知当 时 ，当 时 ， 数列 前 20 项的和为 ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前 项和公式，解题方法是基本量法，属于中档题型 ． 18.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 . （1）求 的值； （2）若 ， ，求 、 的值. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理，将角化边，再反凑余弦定理即可； （2）利用余弦定理，结合 ，解方程组即可求得 、 的值. 【详解】（1）由正弦定理有， ， 由余弦定理有 ； 故 . （2）由余弦定理有 ， { }na ( ) ( )1 1 1 1 3 2 2 3 3 48 a a d a d a d  + + = + −  + = 1 18 2 a d =  = − { }na 2− ( )18 2 1 20 2na n n= − − = − 1 10n≤ ≤ 0na ≥ 11n ≥ 0na < { }nb ( ) ( ) ( ) ( )9 2 18 10 2 2018 16 2 2 4 20 = =2002 2 × + × ++ +⋅⋅⋅+ + + +⋅⋅⋅+ + n ABC∆ A B C a b c 2 2 2 2sin sin sin sin sin3A B C A B+ − = cosC 3c = 5a b+ = a b 1 3 3 2 a b =  = 2 3 a b =  = 5a b+ = a b 2 2 2 2 3a b c ab+ − = 2 2 2 2 13cos 2 2 3 ab a b cC ab ab + −= = = cosC 1 3 = 2 2 2 2 cosc a b ab C= + − - 12 - 得 ，可化为 ， 代入 ，得 ， 解方程组 ，可得 或 . 故 或 . 【点睛】本题考查正弦定理将角化边，以及余弦定理的应用和逆用，属基础题. 19.已知数列 的前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； （2）求 ，并判断是否存在正整数 使得 ， ， 成等差数列，若存在，请求出 的值，不存在请说明理由. 【答案】（1） （2） ，存在， 【解析】 【分析】 （1）利用 的关系式，即可求得通项公式； （2）由（1）可知，该数列是等比数列，故由公式可得 ， 再根据等差中项，列方程求解即 可. 【详解】（1）当 时， ，得 ， 当 时， ，得 ， 故数列 是以 4 为首项，4 为公比的等比数列， 数列 的通项公式为 ； （2）由 ， 有 ， 若存在正整数 使得 ， ， 成等差数列， 2 2 29 3a b ab= + − ( )2 89 3a b ab= + − 5a b+ = 6ab = 5 6 a b ab + =  = 3 2 a b =  = 2 3 a b =  = 3, 2a b= = 2, 3a b= = { }na n nS ( )3 4 1n nS a= − { }na nS n nS 1 15 7 nS + 2nS + n 4n na = ( )4 4 13 n nS = − 2n = 1n n na S S −= − nS 1n = ( )1 13 4 1a a= − 1 4a = 2n ≥ 1 13 3 3 4 4n n n n na S S a a− −= − = − 1 4n n a a − = { }na { }na 4n na = ( ) ( )4 1 4 4 4 11 4 3 n n nS − = = −− ( ) ( ) ( )2 2 4 4 44 1 4 1 17 4 23 3 3 n n n n nS S + ++ = − + − = × − n nS 1 15 7 nS + 2nS + - 13 - 则有 ，解得 ， 由上知，存在 使得 ， ， 成等差数列. 【点睛】本题考查由 和 之间的关系，求解通项公式，以及利用等差中项的性质解决问题 ，属综合基础题. 20.在 中，内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 . （1）求 ； （2）若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再利用正弦的和角公式转化，然后解方程即可求得； （2）利用正弦定理，得到 关于 的函数，再求该函数的值域，结合面积公式即可求得. 【详解】（1）由正弦定理有 ， 又由 ，代入上式得， ， 由 ，有 ， 上式可化为： ，得 ， 由 ，有 ，故有 ， 故 ； （2）由（1）知， ， 由正弦定理有 ( ) ( )14 15 417 4 2 2 4 13 7 3 n n+× − = × × − 2n = 2n = nS 1 15 7 nS + 2nS + na nS ABC∆ A B C a b c 3 sin cos 2b C c B b a− = − C ABC∆ 3a = ABC∆ 3C π= 3 3 3 3,8 2       b A 3sin sin sin cos 2sin sinB C C B B A− = − ( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + 3sin sin 2sin sin cosB C B B C= − 0 B π< < sin 0B > 3 1sin cos 12 2C C+ = sin 6 1C π + =   0 C π< < 7 6 6 6C π π π< + < 6 2C π π+ = 3C π= 1 33 sin2 3 4ABC bS b π ∆ = × = 23sinsin 3 sin sin Aa Bb A A π −  = = - 14 - ， 由 为锐角三角形，有 ， 得 ，有 ， 可得 ， 故 面积的取值范围为 . 【点睛】本题考查利用正弦定理将边化角，以及利用正弦定理求解三角形面积的范围，涉及 正弦的和角公式，属解三角形中的经典重点题型. 21.已知数列 的前 项和为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）请问是否存在正整数 ，使得 为数列 中的项，若存在，请求出 的值，若 不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见详解 【解析】 分析】 （1）先对原式赋值，求得 ，再利用 与 关系，求得 ； （2）先计算 的值，根据其为数列 中的项，可得对应的关系式，结合题意，即可 求得. 【 3 13 cos sin2 2 3cos 3 sin 2sin 2 A A A A A  +   = = + 3 3 2tan 2A = + ABC∆ 0 2 20 3 2 A B A π π π  < <  < = − < 6 2A π π< < 3tan 3 >A 3 2 32 b< < ABC∆ 3 3 3 3,8 2       { }na n nS ( ) 2 1 1 2n a n nS + += { }na k 2 1 k k k a a a + + { }na k 3 1na n= − 1a na nS na 2 1 k k k a a a + + { }na - 15 - 【详解】（1）当 时， ，得 ，可得 ， 当 时， ， 由 符合 ， 故数列 的通项公式为 ； （2）由 ， 若 为数列 中的项，必定有 为正整数， 故 或 3 或 9，解得 或 或 ， 由 为正整数，故不存在正整数 ，使得 为数列 中的项. 【点睛】本题考查由 求解 ，以及数列中的存在性问题，属经典好题，尤其第二问的思路 ，值得总结. 22.已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆 上一点， 轴， . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若直线 与椭圆 交于 、 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点，且 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 1n = 1 1 2 2 aa += 1 2a = 23 2n n nS += 2n ≥ ( ) ( )22 1 3 1 13 3 12 2n n n n nn na S S n− − + −+= − = − = − 1 2a = ( )3 1 2na n n= − ≥ { }na 3 1na n= − ( )( )2 1 3 1 3 5 3 2 k k k k ka a a k + + − += + ( ) ( ) ( )23 2 3 3 2 3 3 2 9 3 2 3 2 k k k k k + − + +    + −   = =+ + 93 2 3 2k k = + − + 2 1 k k k a a a + + { }na 9 3 2k + 3 2 1k + = 1 3k = − 1 3 7 3 k k 2 1 k k k a a a + + { }na nS na ( )2 2 2: 1 22 x yC aa + = > F P C PF x⊥ 2 2PF = C l C A B AB M O 2OM = AOB∆ 2 2 18 2 x y+ = 2 - 16 - 【分析】 （1）设椭圆 的焦距为 ，可得出点 在椭圆 上，将这个点的坐标代入椭 圆 的方程可得出 ，结合 可求出 的值，从而可得出椭圆 的标准方程； （2）分直线 的斜率不存在与存在两种情况讨论，在 轴时，可得出 ，从 而求出 的面积；在直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理结合 ，得出 ，计算出 与 的高，可得出 面积的表达式，然后可利用二次 函数的基本性质求出 面积的最大值. 【详解】（1）设椭圆 的焦距为 ，由题知，点 ， ， 则有 ， ，又 ， ， ， 因此，椭圆 的标准方程为 ； （2）当 轴时， 位于 轴上，且 ， 由 可得 ，此时 ； 当 不垂直 轴时，设直线 的方程为 ，与椭圆交于 ， ， 由 ，得 . ， ，从而 已知 ，可得 . C ( )2 0c c > 2, 2c       C C 2 2 3 4 c a = 2 22a c= + a C AB AB x⊥ 6AB = AOB∆ AB AB y kx t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB 2OM = ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + AB AOB∆ AOB∆ AOB∆ C ( )2 0c c > 2, 2P c  ±    2b = 2 2 2 2 2 12 c a      + = 2 2 3 4 c a ∴ = 2 2 2 22a b c c= + = + 2 8a∴ = 2 6c = C 2 2 18 2 x y+ = AB x⊥ M x OM AB⊥ 2OM = 6AB = 1 32AOBS OM AB∆ = ⋅ = AB x AB y kx t= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 18 2 x y y kx t  + =  = + ( )2 2 21 4 8 4 8 0k x ktx t+ + + − = 1 2 2 8 1 4 ktx x k −∴ + = + 2 1 2 2 4 8 1 4 tx x k −= + 2 2 4 ,1 4 1 4 kt tM k k −   + +  2OM = ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + - 17 - . 设 到直线 的距离为 ，则 ， . 将 代入化简得 . 令 ， 则 . 当且仅当 时取等号，此时 的面积最大，最大值为 . 综上： 的面积最大，最大值为 . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了直线与椭圆中三角形面积最值的计算， 一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法来求解，同时在计算最值时，常 用函数的基本性质以及基本不等式进行求解，考查运算求解能力，属于难题. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 1 2 1 2 2 2 8 4 81 4 1 41 4 1 4 kt tAB k x x x x k k k  − −  = + + − = + − ×    + +    ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 16 8 2 1 1 4 k t k k − + = + + O AB d 2 2 21 td k = + ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 22 16 8 21 14 11 4AOB k t tS k kk ∆ − + = + ⋅ ++ ( )22 2 2 2 1 4 1 16 k t k + = + ( ) ( ) 2 2 2 22 192 4 1 1 16AOB k k S k ∆ + = + 21 16k p+ = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 112 1 1192 4 1 4 1 16AOB ppk k S pk ∆ − − + +  = = + 21 1 43 3 43 3p   = − − + ≤      3p = AOB∆ 2 AOB∆ 2 - 18 -