2018届二轮复习第71讲　排列、组合、二项式定理课件（全国通用）7 37页

第 1 讲　 排列 、组合、二项式定理 专题七　概率与统计 栏目索引 高考 真题体验 1 热点 分类突破 2 高考 押题精练 3 解析 高考真题 体验 1 2 3 4 1.(2016· 四川 ) 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( 　　 ) A.24 B.48 C.60 D.72 √ 解析　 由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是 1,3,5 ； 2.(2016· 课标全国甲 ) 如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ( 　　 ) A.24 B.18 C.12 D.9 解析 1 2 3 4 √ 解析　 从 E 到 F 的最短路径有 6 条，从 F 到 G 的最短路径有 3 条 ， 所以 从 E 到 G 的最短路径为 6 × 3 ＝ 18( 条 ) ，故选 B. 1 2 3 4 k ∈ {0,1,2,3,4,5} ， ∴ x 3 的系数是 10. 10 解析答案 1 2 3 4 解析　 2 n ＝ 256 ， n ＝ 8 ， 通项 112 解析答案 考情考向分 析 返回 1. 高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查； 2. 二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注 . 热点一　两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘 . 热点分类突破 A.72 种 B.48 种 C.24 种 D.12 种 例 1 　 (1) 如图所示，用 4 种不同的颜色涂入图中的矩形 A ， B ， C ， D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有 ( 　　 ) √ 解析　 按要求涂色至少需要 3 种颜色， 故分两类 . 一是 4 种颜色都用，这时 A 有 4 种涂法， B 有 3 种涂法， C 有 2 种涂法， D 有 1 种涂法，共有 4 × 3 × 2 × 1 ＝ 24( 种 ) 涂法； 二是用 3 种颜色，这时 A ， B ， C 的涂法有 4 × 3 × 2 ＝ 24( 种 ) ， D 只要不与 C 同色即可， 故 D 有 2 种涂法，故不同的涂法共有 24 ＋ 24 × 2 ＝ 72( 种 ). 解析 (2) 如果一个三位正整数 “ a 1 a 2 a 3 ” 满足 a 1 < a 2 且 a 3 < a 2 ，则称这样的三位数为凸数 ( 如 120,343,275) ，那么所有凸数的个数为 ( 　　 ) A.240 B.204 C.729 D.920 √ 解析 思维升华 解析　 分 8 类，当中间数为 2 时，有 1 × 2 ＝ 2( 个 ) ； 当中间数为 3 时，有 2 × 3 ＝ 6( 个 ) ； 当中间数为 4 时，有 3 × 4 ＝ 12( 个 ) ； 当中间数为 5 时，有 4 × 5 ＝ 20( 个 ) ； 当中间数为 6 时，有 5 × 6 ＝ 30( 个 ) ； 当中间数为 7 时，有 6 × 7 ＝ 42( 个 ) ； 当中间数为 8 时，有 7 × 8 ＝ 56( 个 ) ； 当中间数为 9 时，有 8 × 9 ＝ 72( 个 ). 故共有 2 ＋ 6 ＋ 12 ＋ 20 ＋ 30 ＋ 42 ＋ 56 ＋ 72 ＝ 240( 个 ). 思维升华 思维 升华 (1) 在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理 . (2) 对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化 . 跟踪演练 1 　 (1) 将 1,2,3 ， … ， 9 这九个数字填在如图所示的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当 3,4 固定在图中的位置时，填写空格的方法有 ( 　　 ) A.6 种 B.12 种 C.18 种 D.24 种 √ 解析 解析　 分为三个步骤： 1 2   3 4       9 第一步，数字 1,2,9 必须放在如图的位置，只有 1 种方法 . 第二步，数字 5 可以放在左下角或右上角两个位置，故数字 5 有 2 种方法 . 第三步，数字 6 如果和数字 5 相邻，则 7,8 有 1 种方法；数字 6 如果不和数字 5 相邻，则 7,8 有 2 种方法 ，故 数字 6,7,8 共有 3 种方法 . 根据分步乘法计数原理，有 1 × 2 × 3 ＝ 6( 种 ) 填写空格的方法 . (2) 在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有 ________ 种 .( 用数字作答 ) 解析　 根据题意，画出树状图 . 所以共有 10 种不同的传递方法 . 10 解析答案 热点二　排列与组合 名称 排列 组合 相同点 都是从 n 个不同元素中取 m ( m ≤ n ) 个元素，元素无重复 不同点 ① 排列与顺序有关； ② 两个排列相同， 当且仅当 这 两个排列的元素及其 排列 顺序 完全相同 ① 组合与顺序无关； ② 两个组合相同，当 且 仅 当这两个组合的 元素 完全 相同 例 2 　 (1) 某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 ( 　　 ) A.72 B.120 C.144 D.168 √ 解析 解析　 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空 . 安排小品节目和相声节目的顺序有三种： “ 小品 1 ，小品 2 ，相声 ”“ 小品 1 ，相声，小品 2 ” 和 “ 相声，小品 1 ，小品 2 ”. 对于第一种情况，形式为 “□ 小品 1 歌舞 1 小品 2 □ 相声 □” ， 同理，第三种情况也有 36 种安排方法， 对于第二种情况，三个节目形成 4 个空， 故共有 36 ＋ 36 ＋ 48 ＝ 120( 种 ) 安排方法 . (2) 现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，则不同的取法共有 ( 　　 ) A.232 种 B.252 种 C.472 种 D.484 种 √ 解析 思维升华 思维升华 思维 升华 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘 . 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1) 以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 . (2) 以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置 . (3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数 . 解答计数问题多利用分类讨论思想 . 分类应在同一标准下进行，确保 “ 不漏 ”“ 不重 ”. 跟踪演练 2 　 (1) 在某真人秀活动中，村长给 6 位 “ 萌娃 ” 布置了一项搜寻空投食物的任务 . 已知： ① 食物投掷地点有远、近两处； ② 由于 Grace 年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位 “ 萌娃 ” 在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物； ③ 所有参与搜寻任务的 “ 萌娃 ” 须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有 ( 　　 ) A.40 种 B.70 种 C.80 种 D.100 种 √ 故共有 30 ＋ 10 ＝ 40( 种 ) 不同的搜寻方案 . 故选 A. 解析 (2)2 名男生和 5 名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为 ( 　　 ) A.480 B.720 C.960 D.1 440 √ 解析　 把 2 名男生看成 1 个元素，和 5 名女生共 6 个元素进行全排列， 解析 热点三　二项式定理 A.80 B.90 C.120 D.160 √ 解析　 因为 解析 当 16 － 3 k ＝ 7 时， k ＝ 3 ， － 56 解析答案 思维升华 思维 升华 (1) 在应用通项公式时，要注意以下几点： ① 它表示二项展开式的任意项，只要 n 与 k 确定，该项就随之确定； ② T k ＋ 1 是展开式中的第 k ＋ 1 项，而不是第 k 项； ③ 公式中， a ， b 的指数和为 n ，且 a ， b 不能随便颠倒位置； ④ 对二项式 ( a － b ) n 展开式的通项公式要特别注意符号问题 . (2) 在二项式定理的应用中， “ 赋值思想 ” 是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法 . A.1 项 B.2 项 C.3 项 D.4 项 √ 所以 k ＝ 2,5,8 时的项为有理项，且 k ＝ 2,8 时的项的系数为正数， 故满足条件的有 2 项，故选 B. 解析 ＝ (3 － 1) 7 ＝ 2 7 ＝ 128 . 128 返回 解析答案 1 2 3 4 解析 押题依据 高考押题精练 1. 某电视台一节目收视率很高，现要连续插播 4 个广告，其中 2 个不同的商业广告和 2 个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且 2 个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有 ( 　　 ) A.8 种 B.16 种 C.18 种 D.24 种 √ 押题依据　 两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点 . 1 2 3 4 1 2 3 4 解析 押题依据 2. 为配合足球国家战略，教育部特派 6 名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为 ( 　　 ) A.60 B.120 C.240 D.360 √ 押题依据　 排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类 . 1 2 3 4 解析　 6 名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人， 可能的分组情况为 4,1,1 ； 3,2,1 ； 2,2,2. 则第一种情况共有 20 ＋ 40 ＝ 60( 种 ). 解析 1 2 3 4 所以第二种情况共有 40 ＋ 80 ＋ 120 ＝ 240( 种 ). 综上所述，共有 60 ＋ 240 ＋ 60 ＝ 360( 种 ) 分配方案 . 1 2 3 4 解析 押题依据 3. 设 (1 － 2 x ) 7 ＝ a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ a 3 x 3 ＋ a 4 x 4 ＋ a 5 x 5 ＋ a 6 x 6 ＋ a 7 x 7 ，则代数式 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＋ 7 a 7 的值为 ( 　　 ) A. － 14 B. － 7 C.7 D.14 √ 押题依据　 二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性 . 解析　 对已知等式的两边求导，得 － 14(1 － 2 x ) 6 ＝ a 1 ＋ 2 a 2 x ＋ 3 a 3 x 2 ＋ 4 a 4 x 3 ＋ 5 a 5 x 4 ＋ 6 a 6 x 5 ＋ 7 a 7 x 6 ， 令 x ＝ 1 ，有 a 1 ＋ 2 a 2 ＋ 3 a 3 ＋ 4 a 4 ＋ 5 a 5 ＋ 6 a 6 ＋ 7 a 7 ＝－ 14 . 故 选 A. 1 2 3 4 4.(1 ＋ 2 x ) 10 的展开式中系数最大的项是 ________. 返回 押题依据　 二项展开式中的系数是历年高考的热门话题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力 . 15 360 x 7 解析 押题依据 答案 1 2 3 4 依题意知 T k ＋ 1 项的系数不小于 T k 项及 T k ＋ 2 项的系数 ， 返回