2018-2019学年河北省唐山市第一中学高一10月月考数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年河北省唐山市第一中学高一10月月考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，则下列关系中正确的是(　　)‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题干条件得到是A的子集.‎ ‎【详解】‎ 集合，，根据集合间的包含关系得到.‎ 故答案为：D.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了集合间的包含关系和元素与集合间的从属关系,较为基础.‎ ‎2．如图，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察阴影部分所表示的集合中元素的特点，它具有在集合P和M中，不在集合S中，利用集合元素的含义即可解决．‎ ‎【详解】‎ 依题意，由图知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈CIS，‎ 所以阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩CIS，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题．‎ ‎3．设为两个非空实数集合，定义集合，若 ‎，则集合的子集个数是(　　)‎ A． 2 B． 3 C． 4 D． 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定a，b的取值，再求两者之比，由元素的互异性，比值相等的算一个，可求出答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a∈P，b∈Q，∴a可以为﹣1，0，1三个数中的一个，b可以为﹣2，2三个数中的一个，‎ 根据定义集合PQ={z|z=，a∈P，b∈Q}，‎ ‎∴z=，z=，z=0，有3个元素，则子集个数为8个.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查元素与集合关系，解决本题的关键是读懂题意，求出集合PQ．若集合有n个元素，其子集有2n个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.‎ ‎4．函数的定义域为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：定义域满足和均有意义，故故选A．‎ ‎【考点】1、函数定义域；2、不等式解法；3、集合的交运算．‎ ‎5．函数满足，则常数等于(　　)‎ A． 3 B． －3 C． 3或－3 D． 5或－3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先，求出f[f（x）]的表达式，然后，根据多项式相等，当且仅当，对应项的系数相等，从而确定c的值．‎ ‎【详解】‎ 因为函数f（x）=，‎ 所以，f[f（x）]== ‎ ‎∴2（c+3）x2+9x=c2x，‎ ‎∴c+3=0且c2=9，‎ ‎∴c=﹣3，‎ 故答案为：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题重点函数的解析式，待定系数法的应用思想和方法，属于基础题，注意运算的准确性和科学性．也考查到了函数解析式的求法，已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值(或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制．‎ ‎6．函数的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）‎ A． ， ， ‎ B． ， ， ‎ C． ， ， ‎ D． ， ， ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：函数在处无意义，由图像看在轴右侧，所以， ，由即，即函数的零点，故选C．‎ ‎【考点】函数的图像 ‎7．已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）‎ A.-3 B.-1 ‎ C.1 D.3‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，分别是定义在上的偶函数和奇函数，所以，故.‎ ‎【考点】函数的奇偶性.‎ ‎8．已知符号函数 是上的增函数，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为是上的增函数，令，所以，因为，所以是上的减函数，由符号函数 知，‎ ‎．‎ ‎9．已知偶函数在区间单调递增，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意可得：，，故选A.‎ ‎【考点】函数的单调性.‎ ‎10．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（ ）‎ A． 0 B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）关于点（0，1）对称，又函数y= ，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，计算即可得到所求和．‎ ‎【详解】‎ 函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），‎ 即为f（x）+f（﹣x）=2，‎ 可得f（x）关于点（0，1）对称，‎ 函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，‎ 即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，‎ ‎（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，‎ ‎…‎ 则有=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）‎ ‎=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]‎ ‎=m．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抽象函数的运用：求和，考查函数的对称性的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎11．已知，，且对任意都有：‎ ‎① ② ‎ 给出以下三个结论：‎ ‎（1）； （2）； （3） ‎ 其中正确结论为 ‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】因为, 所以是一个首项为f(m,1),公差为2的等差数列，所以,又因为, 是首项为, 公比为2的等比数列，所以 ‎,所以和和 都正确.正确结论为①②③.‎ ‎12．已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． 0 D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由得，，即函数是以为周期的周期函数，由得，函数为奇函数，故，故答案为.‎ ‎【考点】（1）函数的奇偶性和周期性；（2）求函数的值.‎ ‎13．若，，用列举法表示 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本试题主要是考查了集合的描述法的准确运用。得到集合B。‎ 因为集合，而集合B中的元素是将集合A中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即 ‎，那么用列举法表示。‎ 解决该试题的关键是对于t令值，分别得到x的值，然后列举法表示。‎ ‎14．某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有__________人．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组, 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为,则. w.w.w..c.o.m,‎ 由公式 易知36="26+15+13-6-4-" 故="8 " 即同时参加数学和化学小组的有8人.‎ ‎15．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数与函数为“同族函数”．下面函数解析式中能够被用来构造“同族函数”的是________．(填序号)‎ ‎①；②；③；④.‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由同族函数的定义，依次对函数构造同族函数即可．‎ ‎【详解】‎ ‎①y=，x∈（1，2）与y=，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；‎ ‎②y=|x|，x∈（1，2）与y=|x|，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；‎ ‎③∵y=在定义域内的任意一个x值都有唯一一个y值与之对应，‎ 故不可构造同族函数；‎ ‎④y=x2+1，x∈（1，2）与y=x2+1，x∈（﹣2，﹣1）为“同族函数”，故成立；‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了学生对新定义的接受与应用能力．也涉及到对函数三要素的考查和理解,是基础题.‎ ‎16．已知是定义域为的偶函数，当时，，则不等式的解集是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2），则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式，先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．‎ ‎【详解】‎ 因为f（x）为偶函数，所以f（|x+2|）=f（x+2），‎ 则f（x+2）＜5可化为f（|x+2|）＜5，‎ 即|x+2|2﹣4|x+2|＜5，（|x+2|+1）（|x+2|﹣5）＜0，‎ 所以|x+2|＜5，‎ 解得﹣7＜x＜3，‎ 所以不等式f（x+2）＜5的解集是（﹣7，3）．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法，借助偶函数性质把不等式具体化是解决本题的关键．一般对于抽象函数解不等式或者表达式较为复杂的函数解析式，通常是研究函数的性质，例如奇偶性，单调性，通过这些性质来将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.‎ 三、解答题 ‎17．求下列不等式的解集．‎ ‎（1） ；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）；（2）①当时，解集是R；②当时，解集是；③当时，解集是．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集；（2）将不等式因式分解后，对a进行分类讨论，分别由一元二次不等式的解法求出不等式的解集.‎ ‎【详解】‎ 由 得，，‎ 化简得，，等价于，‎ 解得，不等式的解集是；‎ 由得，，‎ 当时，不等式的解集是R；‎ 当时，不等式的解集是；‎ 当时，不等式的解集是．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分式不等式的化简、及等价转化，以及一元二次不等式的解法的应用，考查转化思想，分类讨论思想，化简、变形能力．‎ ‎18．设集合，或．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若A∩B=∅，则，解不等式即可得到所求范围；（2）若A∪B=B，则A⊆B，则a+1≤﹣1或a﹣1≥2，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ 集合，或，‎ 若，则 ‎ 即，解得：，‎ 实数a的取值范围时； ‎ 若， ‎ 则或，‎ 解得：或，‎ 则实数a的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么限制条件;（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．‎ ‎19．设函数且．‎ ‎（1）求的解析式并判断函数的奇偶性；‎ ‎（2）判断函数在区间上单调性，并用定义法证明．‎ ‎【答案】（1）奇函数；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意得到，，解方程即可得到，，再根据奇偶函数的定义得到函数为奇函数；（2）根据单调性的定义，任取，则有，再判断式子的正负即可.‎ ‎【详解】‎ 函数且．‎ 且，‎ 解得，，‎ 则，‎ 则函数的定义域为，‎ 则，‎ 则函数是奇函数；‎ 证明：任取，则有 ‎ 当时，，‎ 即，，‎ 又，，，‎ 即，‎ 函数在上为增函数．‎ ‎【点睛】‎ 判断函数的奇偶性的步骤如下：（1）确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）当函数的定义域不关于原点对称时，函数不具有奇偶性，即函数既不是奇函数也不是偶函数；（3）当函数的定义域关于原点对称时，判断与的关系.‎ ‎20．已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a=5代入表达式得到原不等式等价于，解出即可；（2）令，根据图像得到函数的最大值，得到.‎ ‎0‎ ‎【详解】‎ 时原不等式等价于 即，‎ 即，‎ 解集为；‎ 当时，，‎ 令 ‎，‎ 由图象知：当时，取得最小值，‎ 由题意知：，‎ 解得．‎ 实数m的取值范围为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了绝对值不等式的解法，一般解含绝对值的不等式，分类讨论去掉绝对值即可；本题也考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）的最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值）．‎ ‎21．设函数对任意都有，且当时，， ‎ ‎（1）证明为奇函数．‎ ‎（2）证明在上是减函数．‎ ‎（3）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）令，可得，再令，得到可得到结论；（2）当时，即可得到结论；（3）原不等式等价于，根据函数单调性可得到，解出即可.‎ ‎【详解】‎ 由于函数对任意x，都有，令，可得．‎ 再令，可得，即，化简可得，故函数为奇函数．‎ 设，则，， ‎ 再由当时，，可得  ，即，故有，‎ 故在R上是减函数．‎ 若，则．‎ 再由，可得，‎ 结合在R上是减函数可得，解得，‎ 故x的范围为．‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.‎ ‎22．已知函数，若在区间上有最大值1．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若在上单调，求数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）-1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据函数的开口方向和对称轴，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值是f（2）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的解析式，求出g（x）的表达式，根据函数的单调性求出m的范围即可．‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图象是抛物线，，‎ 所以开口向下，对称轴是直线，‎ 所以函数在单调递减，‎ 所以当时，，‎ 因为，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 在上单调，‎ ‎，或.‎ 从而，或 所以，m的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题;二次函数在小区间上的单调性，需要讨论二次函数对称轴和区间的位置关系,结合函数图像的特点得到函数的单调性，进而得到最值.‎