数学卷·2018届安徽省巢湖市柘皋中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版） 10页

2018 届高三第一次月考试卷 数学（文） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由 ， 得 ， ， 则 ，故选 C. 点睛：首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键 的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解 集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调 性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注 意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目 2. 已知三个集合 ， ， 及元素间的关系如图所示，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由图可得 ， ， ，∴ ，∴ ，故选 A. 3. 命题“ ， ”的否定为（ ） A. “ ， ” B. “ ， ” C. “ ， ” D. “ ， ” 【答案】C 【解析】由特称命题的否定为全称命题可得命题“ ， ”的否定为 “ ， ”，故选 C. 4. 命题“若 ，则 且 ”的逆否命题是（ ） A. “若 或 ，则 ” B. “若 ，则 或 ” C. “若 或 ，则 ” D. “若 ，则 且 ” 【答案】A 【解析】命题的逆否命题为：“若 或 ，则 ”，故选 A. 5. 幂函数 与 在 上都是单调递增函数，则满足条件的整数 的值为（ ） A. 0 B. 1 和 2 C. 2 D. 0 和 3 【答案】C 【解析】由题意可得： ，解得： ，故选 C. 6. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵ ， ， ，则 ，故选 A. 7. 设函数 ，且 ，则 （ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】∵ ，∴ ， ，故选 B. 8. 函数 的一段图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】试题分析：令 ，得 ，所以 ，则易知 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调递减.所以选 B. 考点：函数的图像、导数与函数的单调性 9. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析： ，所以区间必须包括顶点，当 ，故取值范围为 . 考点：函数的定义域与值域. 10. 设 为实数区间， 且 ，若“ ”是“函数 在 上 单调递增”的一个充分不必要条件，则区间 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由“函数 在 上单调递增”可知 ，由题意区间 可 以是 ，故选 D. 11. 已知 是定义在 上周期为 2 的偶函数，且当 时， ，则函数 的零点个数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】当 时， ，函数 的周期为 2， 时， ，可作出函数的图象；图象关于 轴对称的偶函数 ，函数 的零点，即为函数图象交点横坐标，当 时， ，此时函数图象无交点， 如图： 又两函数在 上有 4 个交点，由对称性知它们在 上也有 4 个交点，且它们关于直线 轴对称，可得函数 的零点个数为 8，故选 D. 点睛：本题主要考查了周期函数与对数函数的图象，数形结合是高考中常用的方法，考查数 形结合，本题属于基础题；函数 和 图象交点的个数即函数 的零点个数，分别作出函数 y=f（x），y=log5|x-1|的图象，结合函数 的对称性，利用数形结合法进行求解. 12.定义在 上的函数 满足 ，且函数 为奇函数，给出下列 命题： ①函数 的最小正周期是；②函数 的图象关于点 对称；③函数 的图 象关于 轴对称，其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】由题意可得 则函数 是周期函数且其周期为 3，故 ①错误；由 是奇函数可得其图象关于原点 对称，由 向左平移个 单位长度可得 的图象，则函数 的图象关于点 对称，故②正确；由②知， 对于任意的 ，都有 ，用 代换 ，可得： ∴ 对于任意的 都成立．令 ，则 ，则可得函数 是偶函数，图象关于 轴对称，故③正确，故 选 C. 点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性对称性等函数知识的综合应用，解答本题的关键是熟 练掌握函数的基本性质及一些常见结论的变形； 可得 知 其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这 些条件可探讨函数的奇偶性，从而可判断函数的对称轴. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知集合 ， .若 有且只有一个元素，则实数 的值为 __________． 【答案】0 或 【解析】试题分析：若 ，则 ，不合题意舍去.若 ，则 .若 ，则 ，而 时， .若 ，则 无解.所以 或 . 考点：集合交集. 14. 已知 ， ，则 的值为__________． 【答案】10 或 【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得 或 ，∴ 或 ，故答案为 10 或 . 15. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，那么不等式 的解集是__________． 【答案】 【解析】试题分析：由题意当 时， ，由 得 ， ， ，即 ，当 时， ， ， 又 满足不等式，所以原不等式的解为 ． 考点：函数的奇偶性． 16. 已知 ，若当 时，有 ，则 的取值范围是 __________． 【答案】 点睛：本题考查函数的性质、基本不等式等，去绝对值是解决本题的关键，综合性强，难度 较大； 是含有绝对值的函数，结合函数的图象或通过去绝对值考查 的单调性，找出 和 的关系，结合基本不等式求范围即可. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知集合 ， . （1）若 ，求实数 的值； （2）若 ，求实数 的取值范围. 【答案】（1）2；（2） 【解析】(I)由 可知 解不等式即可。 （II）解本小题的关键是 转化为 ,或 即可。 解：由已知得： ， ． ………………4 分 (Ⅰ)∵ , ∴ ∴ ∴ ． 8 分 (Ⅱ) ．… ∵ , ∴ ,或 ， ∴ 或 ． 14 分 18. 已知函数 ， . （1）判断函数的单调性； （2）解不等式 . 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）将解析式变形为 ， ，从而判断出函数 的单调性；（2）根据函数的单调性结合函数 的定义域得到不等式组，解出即可. 试题解析：（1） ， . 随 增大而减少. ∴ 在 上递减. （2）∵ ，∴ . ∴ 解得 . 19. 已知函数 （1）写出 的单调区间； （2）若 ，求相应 的值. 【答案】（1）见解析；（2） 或 6. 【解析】试题分析：（1）由题意分别求出当 时和当 时函数对应的解析式，由二次 函数的性质写出函数的单调区间；（2）用分类讨论法把 ，代入当 时和当 的函数解析式，再求出 的值，注意验证 的范围，把不符合的值舍去. 试题解析：（1）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，综上， 的单调增区间为 ， ；单调减区间为 ， . （2）当 时， ，即 ，解得 ； 当 时， ，即 ，解得 . 故所求 的值为 或 6. 20.某宾馆有相同标准的床位 100 张，根据经验，当该宾馆的床价(即每张床每天的租金)不超 过 10 元时，床位可以全部租出；当床位价格高于 10 元时，每提高 1 元，将有 3 张床位空 闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床 价应为 1 元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为 575 元，床位出租的收入必须高于支出， 而且高出得越多越好，若用 表示床价，用 表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的 费用支出后的收入)． （1）把 表示成 的函数，并求出其定义域； （2）试确定该宾馆将床价定为多少元时，即符合上面的两个条件，又能使净收入最多？ 【答案】（1） 定义域为 ；（2）当床位定价为 22 元时净收入最多 【解析】试题分析：（1）净收入等于收入减去支出，依题意需分为 和 两种情况 求解析式，同时注意净收入必须大于零且价格为正整数，所以对每段函数的定义域需严格限 制；（2）由分段函数的特点，需对两段函数分别求最大值，两段中最大的那个最大值即为所 求． 试题解析： （1）依题意有 y= 且 ， 因为 ， 由 得 ． 由 得  ， 所以函数为 y= 定义域为{x| }． （2）当 x=10 时 ）取得最大值 425 元， 当 x＞10 时 当且仅当 时，y 取最大值， 但 ，所以当 x=22 时 ）取得最大值 833 元， 比较两种情况，可知当床位定价为 22 元时净收入最多． 考点：函数的实际应用． 【方法点睛】（1）函数实际应用的解题步骤：（1）设变量 x，函数 y，注意单位；（2）依题 意列出函数关系式；（3）求最值；（4）作答，即将所求的数学结论还原到实际问题上 来．（2）易错点：函数的定义域最容易出错，从而导致最值、值域出错．如本题，定义域一 要注意分 和 ，二要注意净收入大于零，三要注意价格必须为正整数，从而正确 限制 x 的范围． 21. 已知函数 . （1）若 ，求实数 的取值范围； （2）若 是以 2 为周期的偶函数，且当 时，有 ，当 时， 求函数 的解析式. 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）借助题设条件分类解不等式组；（2）借助函数的周期性和奇偶性 探求． 试题解析： （1）由 得 ， 由 ，得 ， 因为 ，所以 ， 解得 ，由 ，得 ． （2）当 时， ，因此 考点：对数函数的单调性及函数的简单性质等有关知识的综合运用． 22. 设函数 （ 且 ）是定义域为 的奇函数. （1）若 ，试求不等式 的解集； （2）若 ，且 ，求 在 上的最小值. 【答案】（1） 或 ；（2）当 时， 有最小值 . 【解析】试题分析：由题意，先由奇函数的性质得出 的值，（1）由 求出 的范围， 得出函数的单调性，利用单调性解不等式；（2） 得出 的值，将函数变为 ，再利用换元法求出 函数的最小值. 试题解析：∵ 是定义域为 的奇函数，∴ ，∴ ，∴ . （1）∵ ，∴ .又 且 ，∴ .∵ ，∴ . 当 时， 和 在 上均为增函数，∴ 在 上为增函数.原不等式可化为 ，∴ ，即 .∴ 或 .∴不 等式的解集为 或 . （2）∵ ，∴ ，即 .∴ 或 （舍去）.∴ .令 （ ），则 ，∵ 在 上为增函数 （由（1）可知）， ，即 . ， .∴当 时， 取得最小值 2，即 取得最小值 ，此时 .故当 时， 有最小值 .