河北省张家口市2020届高三11月阶段检测数学（文）试题 20页

张家口市2019-2020学年第一学期阶段测试卷 高三数学（文科）‎ 考试说明：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.‎ ‎2.考试时因为120分钟，满分150分.‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，用图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，阴影部分表示，根据补集的定义，即可得结果.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ 图中阴影部分所表示的集合.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合的韦恩图，以及集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2.已知向量，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出.‎ ‎【详解】 由得， ‎ 解得，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的加减法运算以及向量平行的坐标表示．‎ ‎3.设数列满足且，则（ ）‎ A. 10 B. ‎11 ‎C. 12 D. 13‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得是等差数列，求出通项，即可得出结果.‎ ‎【详解】，‎ 数列是公差为的等差数列，，‎ ‎.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，属于基础题.‎ ‎4.已知，对任意，，都有，那么实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件可得在上单调递减，在区间都是减函数，且左段的最低点不低于右段的最高点,得到关于a的不等式组，即可求出a的取值范围.‎ ‎【详解】任意，，不妨设，‎ ‎，‎ 在上单调递减，‎ 解得，，‎ 的取值范围是.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，涉及到二次函数的单调性和对数函数的单调性，要注意分段函数各段有相同的单调性合并后也具有相同单调性的限制条件，是解这类题容易忽略的点，属于中档题.‎ ‎5.已知，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两角和的余弦公式，化简得，再由二倍角的余弦公式，代入即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，可得 ‎．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两角和与差的正弦、余弦公式的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6.等比数列的各项均为正数，且，则（ ）‎ A. 4 B. ‎8 ‎C. 9 D. 18‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列的性质，把所求的式子转化为用表示，即可得出答案.‎ ‎【详解】由等比数列的各项均为正数，‎ 所以，‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，属于基础题.‎ ‎7.函数f(x)＝2|x|－x2的图象大致为()‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，分析函数在靠近区域内的增减性，即可区分出选项.‎ ‎【详解】由题意知，当x＞0时，f′(x)＝2xln2－2x，当x→0时，2x→1，2x→0，f′(x)＞0，说明函数f(x)的图象在y轴右侧开始时是递增的，故排除选项A，B，D，选C..‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的增减性，利用函数导数研究图象，属于中档题.‎ ‎8.若，则的最小值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数运算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.‎ ‎【详解】由得：且，‎ ‎（当且仅当时取等号）‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够利用对数运算得到积的定值，属于基础题.‎ ‎9.已知奇函数是定义在上的减函数，且，，，则a、b、c的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 有条件可得，先比较自变量的大小，再由是定义在上的减函数，即可比较出的大小关系.‎ ‎【详解】由是奇函数可得 ‎，‎ 而 ，‎ 由函数是定义在上的减函数，‎ 所以，‎ 即.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查用函数性质比较数的大小，属于基础题.‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的“堑堵”，，若，当“阳马”体积最大时，则“堑堵”的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件可得，，由，勾股定理结合基本不等式求出面积最大时的值，即可求出表面积.‎ ‎【详解】，，‎ 平面，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 当且仅当时等号成立，‎ 此时的表面积为 故选:C ‎【点睛】本题考查多面体的体积、表面积，考查线面垂直和基本不等式，属于中档题.‎ ‎11.关于函数有下述四个结论：①是偶函数；②最小正周期为；③在区间单调递减；④的值域为.其中所有正确结论的编号是（ ）‎ A. ①④ B. ①③ C. ①②③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶函数的定义可判断①正确，作出图像判断②④错误，化简可判断③正确.‎ ‎【详解】，‎ 故①正确；‎ 作出函数的图像如下图所示，②④不正确；‎ ‎，为单调递减，故③正确.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查函数的性质，涉及奇偶性、周期性、单调性、值域，考查数形结合思想，是中档题.‎ ‎12.已知函数，，若，则的最大值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令用表示，转化为求关于的函数最大值，用求导方法，即可得出结果.‎ ‎【详解】令，‎ 则，令，‎ ‎，令（舍去），‎ ‎，‎ 当时，取得极大值，亦为最大值，‎ 所以最大值为，‎ 最大值为.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查用导数的方法求函数的最值，关键在于把所求的量转化为函数关系，属于中档题.‎ 第II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每题5分，共计20分.请把正确答案填写在答题纸相应的位置上.‎ ‎13.已知，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，向量，‎ 则，，‎ 所以．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知x、y满足约束条件，则的最小值为________.‎ ‎【答案】－3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，目标函数过点时，取得最小值.‎ ‎【详解】作出可行域如图表示：‎ 目标函数，化为，‎ 当过点时，取得最大值，‎ 则取得最小值，‎ 由，解得，即，‎ 的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，属于基础题.‎ ‎15.大学生甲某利用业余时间在网上开了一家文具店，为积累客户，甲某决定开展一次促销活动：每个订单总价达到100元，客户就少付x元.已知根据网站协议，每笔订单客户网上支付成功后，店家会得到支付款的80%.现为保证甲某每笔订单得到的支付款金额不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.‎ ‎【答案】12.5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出每笔订单得到支付款金额，即可列出不等式.‎ ‎【详解】依题意，甲某每笔订单得到的支付款金额为，‎ ‎，解得.‎ 所以x最大值为12.5.‎ 故答案为:12.5‎ ‎【点睛】本题考查利用一元一次不等式解决实际问题，读懂题目意思，找到问题中的不等量关系是解题的关键，属于基础题.‎ ‎16.在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.‎ ‎【详解】取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.‎ 三、解答题：本题共6小题，其中17题10分，其他每题12分，共计70分.‎ ‎17.已知等差数列前n项和为，，且，，构成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的的n项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的关系，求出，由已知条件求出，进而求出公差，即可求出数列的通项公式；‎ ‎（4）求出的通项公式，证其为等比数列，按等比数列的前n项和公式，即可求出结论.‎ ‎【详解】（1）设的公差为，，‎ ‎，‎ 则，得，‎ 所以，，得公差.‎ 所以.‎ ‎（2），所以，且，‎ 所以数列是以32为首项，以4为公比的等比数列，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查数列的前n项和与通项的关系，考查等差数列通项、等比数列的性质、等比数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎18.已知函数，.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）若角A为的一个内角，且，求角A的大小.‎ ‎【答案】（1），；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）化简，根据周期公式求出最小正周期，结合的单调递增区间，即可求出的单调递增区间；‎ ‎（2）结合角A的范围，可求出角A.‎ ‎【详解】（1）由题意得 ‎.‎ 可得：函数的最小正周期 由，，‎ 得，，‎ 所以函数的单调递增区间，.‎ ‎（2），‎ ‎，所以或 解得或.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数化简，涉及到二倍角公式、辅助角公式，考查三角函数的性质，以及特殊角的三角函数值，属于中档题.‎ ‎19.在平面四边形中，，，，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；‎ ‎（2）根据题设条件以及第一问结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.‎ ‎【详解】（1）在中，由正弦定理得.‎ 由题设知，，所以.‎ 由题设知，，所以；‎ ‎（2）由题设及（1）知，.‎ 在中，由余弦定理得 所以.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.‎ ‎20.如图，已知是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且，二面角的平面角大小为，F是BE的中点，求证：‎ ‎（1）平面ABC；‎ ‎（2）平面EDB；‎ ‎（3）求几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取BA的中点M，连结CM，通过证明四边形FMCD是平行四边形，证得，从而证得结论；‎ ‎（2）先证面EAB，，得到，再由已知可得，即可得出结论；‎ ‎（3）几何体为四棱锥，取AC中点N，连接BN，可证平面ACDE，即可求出体积.‎ ‎【详解】（1）平面ABC，，‎ 取BA的中点M，连结CM，DM，‎ ‎，平面，‎ 为二面角的平面角，‎ 所以，‎ ‎∵，，则.‎ ‎∵F，M分别是BE，AB的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵EA、CD都垂直于平面ABC，∴，‎ ‎∴，又 ‎∴四边形FMCD是平行四边形，∴，‎ 平面ABC，平面ABC，∴平面ABC.‎ ‎（2）因M是AB的中点，是正三角形，所以 又EA垂直于平面ABC∴，‎ 又，所以面EAB，∵面EAB ‎∴，又，从而，‎ 因F是BE的中点，所以.‎ EB，FD是平面EDB内两条相交直线，所以平面EDB.‎ ‎（3）几何体的体积等于 N为AC中点，连接BN ‎，平面ACDE ‎，‎ 所以几何体的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，以及多面体的体积，关键要对空间中有关平行、垂直判断定理要熟练掌握，属于中档题.‎ ‎21.如图1，等腰梯形ABCD中，，，，O为BE中点，F为BC中点.将沿BE折起到的位置，如图2.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若平面平面BCDE，求点F到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先证，接着证，根据已知条件得，即可得结论；‎ ‎（2）点F到平面的距离转化为点B到平面的距离的一半，取的中点记为H，证明平面，求出，即可得结论.‎ ‎【详解】（1），∴，即，‎ ‎∵，∴‎ O为BE中点，F为BC中点.∴，∴‎ ‎∵，O为BE中点，∴，∴‎ 而，∴平面.‎ ‎（2）∴点F到平面AEC的距离即为点O到平面的距离，‎ 即点B到平面的距离的一半.‎ 取的中点记为H，连结BH，则 ‎∵平面平面BCDE，且交线为BE，‎ 由（1）知，‎ ‎∴平面，∴，‎ 又 ‎∴平面，，‎ ‎∴B到平面的距离为，‎ ‎∴点F到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面立体转化的问题，运用好折叠之前，之后的图像，考查线面垂直以及点的面的距离，解题的关键是对空间直线与平面的位置关系定理要熟练，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，为的导数.‎ ‎（1）求函数在的切线方程；‎ ‎（2）若时，，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对函数求导求出，即可求出切线方程；‎ ‎（2）构造函数,，转化为,，用求导数的方法结合对a分类讨论，通过讨论单调性，即可求出a的取值范围.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ ‎∴在处的切线方程为 ‎（2）令 则，‎ 令 则 ‎∴在单调递增，‎ ‎（i）若，即，则，‎ 在单调递增，则，‎ 满足，符合条件；‎ ‎（ii）若，即，，‎ 而在单调递增，∴必存在，‎ 使得时，，此时在单调递减，‎ ‎，不符合条件.‎ 综上所述：‎ ‎【点睛】本题考查了切线方程的求法，考查了利用导数研究函数的单调区间和函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值是关键，属于中档题.‎ ‎ ‎